Перейти к основному содержанию

217 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 217 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №217 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 217 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №217 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Пётр Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 28 миль в час? Считайте, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округлите до целого числа. 

Ответ: 45
Скрыть

1 миля = 1609/1000 км = 1,609 км 28 миль = 28 * 1,609км = 45,052 км. Округлим до целого и получим 45 км

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 29 сентября 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — курс евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьший курс евро в период с  21 по 28 сентября. Ответ дайте в рублях.

 

Ответ: 26,9
Скрыть

В период с 21 по 28 наименьшая температура зафиксирована 25 числа, и составила она 26,9

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности 

Ответ: 3,5
Скрыть

Диаметр окружности составляет 7 клеток (проведите горизонтальный отрезок через середину круга), следовательно, радиус равен 3,5 (половина диаметра)

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В торговом центре два одинаковых автомата продают чипсы. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончатся чипсы, равна 0,4. Вероятность того, что чипсы закончатся в обоих автоматах, равна 0,24. Найдите вероятность того, что к концу дня чипсы останутся в обоих автоматах.  

Ответ: 0.44
Скрыть

Вероятность того, что чипсы закончатся хотя бы в одном автомате равна P= 0.4 + 0.4 - 0.24 = 0.56 ( то есть мы складываем вероятности, что закончатся в каждом, и вычитаем вероятность, что одновременно в обоих закончится ). Вероятность же, что останутся в обоих автоматах чипсы противоположна найденной, следовательно, мы ее можем вычислить как: 1 - 0,56 = 0,44

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

 Найдите корень уравнения $$8^{9-x}=64^{x}$$

Ответ: 3
Скрыть
$$8^{9-x}=64^{x}$$
$$8^{9-x}=(8^{2})^{x}$$
$$8^{9-x}=8^{2x}$$
$$9-x=2x$$
$$9=3x$$
$$x=3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и углом при основании 75 описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.  

Ответ: 8
Скрыть

Введем обозначения как показано на рисунке

∠BAC = 75 - он вписанный, значит, дуга, на которую он опирается (BC) в два раза больше, то есть 150.
∠BOC - центральный, значит, его величина равна величине дуги, на которую он опирается (BC), то есть 150
Площадь треугольника можнор вычислить как половину произведения длин сторон на синус угла между ними. Пусть OB = OC = x, тогда:
$$S=\frac{1}{2}x^{2}\sin 150$$
$$16=\frac{1}{2}x^{2}*\frac{1}{2}$$
$$x^{2}=64$$
$$x=8$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Ответ: 4
Скрыть

Значение производной отрицательное в том случае, если функция убывает. Функция убывает на промежутке от -2 до 0, причем -2 и 0 это точки экстремума, и, следовательно, там производная равна 0, а значит отрицательна она только в -1 (если рассматривать только целые абсциссы), на промежутке от 2 до 5,5 (примерно), 2 так же точка экстремума, значит мы считаем только 3; 4; 5 и на промежутке от 7 до 8, где 7 и 8 точки экстремум, то есть нас устраивающих точек нет. В итоге всего 4 точки

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Ребро куба равно $$\sqrt{6}$$. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали.

Ответ: 2
Скрыть

Введем обозначение, как показано на рисунке

Из прямоугольного треугольника B1C1D1: $$B_{1}D_{1} = \sqrt{B_{1}C_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}}=\sqrt{6+6}=\sqrt{12}$$
Из прямогольного треугольника B1D1D: $$B_{1}D=\sqrt{B_{1}D_{1}^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{12+6}=\sqrt{18}$$
Высоту в прямоугольном треугольнике можно вычислить как отношение произведения длин катетов и длины гипотенузы:
$$D_{1}H=\frac{D_{1}D*D_{1}B_{1}}{B_{1}D}=\frac{\sqrt{12}\sqrt{6}}{\sqrt{18}}=\sqrt{4}=2$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{4\cos 146}{\cos 34}$$

Ответ: -4
Скрыть

$$\frac{4\cos 146}{\cos 34}=\frac{4\cos (180-34)}{\cos 34}=\frac{-4\cos 34}{\cos 34}=-4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $$pV^{a}=const$$, где p (Па) – давление в газе, – объeм газа в кубических метрах, a – положительная константа. При каком наименьшем значении константы а уменьшение вдвое объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза? 

Ответ: 2
Скрыть

Пусть p2 - новое давление, V2 - новый объем, тогда: p2 = 4p1 ; V2=0.5V1

$$p_{1}V_{1}^{a}=p_{2}V_{2}^{a}$$ Подставим значения:
$$p_{1}V_{1}^{a}=4p_{1}(0,5V_{1})^{a}$$ поделим обе части на p1V1 :
$$1=4 * 0,5^{a}$$
$$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^{a}$$
$$a=2$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.  

Ответ: 400
Скрыть

Так как поезда двигаются в одном направлении, то мы можем рассматривать ситуацию, когда один поезд стоит, а второй двигается относительно первого со скоростью, равной разности их первоначальных скоростей, то есть товарный у нас стоит, а пассажирский двигается со скоростью 90 - 30 = 60 км/ч
В таком случае передняя точка пассажирского поезда проходит сначала длину товарного, а затем собственную длину пассажирского, так как он прошел мимо товарного. То есть расстояние, если длину пассажирского принять за х км, будет равно х + 0,6 (0,6 - это 600 метров, выраженное в километрах), за время 1/60 часа ( это 1 минута ). Тогда:
$$\frac{x+0,6}{60} = \frac{1}{60} $$
$$x+0.6 = 1$$
$$x = 0.4$$ - длина пассажирского в км. Тогда в метрах 0,4*1000=400 метров

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=6+12x-4x\sqrt{x}$$ на отрезке [2;11].

Ответ: 22
Скрыть

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
$$y'=12 - 4 * \frac{3}{2} * \sqrt{x} = 0$$
$$\sqrt{x}=2$$
$$x=4$$ - это точка максимума функции (можно проверить, что на промежутке от 0 до 4 производная положительна, а далее - отрицательна, просто подставив значения, например, 1 и 9, в производную). Тогда значение функции в этой точке:
$$f(4)=6+12*4-4*4\sqrt{4}=6+48-32=22$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\frac{\sin^{2} x +2\sin x}{1-\cos x}=2(1+\cos x)$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ]$$

Ответ: a) $$\pi +2\pi n, n\in Z$$ ; б)$$\pi$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания, равен 450.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC. 

Ответ: 36
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_2 ((7^{-x^{2}}-3)(7^{-x^{2}+16}-1))+\log_2 \frac{7^{-x^{2}}-3}{7^{-x^{2}+16}-1} > \log_2 (7^{7-x^{2}}-2)^{2}$$

Ответ: $$(-\infty ;-4)\cup (4;+\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В трапеции ABCD BC||AD, ∠ABC=90. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке M, а сторону CD – в точке N.
а) Докажите подобие треугольников АВN и DCM
б) Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС = 5, BN = 3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.
Ответ: 3,6
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Мебельная фабрика производит книжные шкафы и серванты. На изготовление одного книжного шкафа расходуется 4/3 м2 древесно‐стружечной плиты, 4/3 м2 сосновой доски и 2/3 человеко‐часа рабочего времени. На изготовление одного серванта расходуется 2 м2 древесно‐стружечной плиты, 1,5 м2 сосновой доски и 2 человеко‐часа рабочего времени. Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 500 руб., а серванта – 1200 руб. В течении одного месяца в распоряжении фабрики имеются: 180 м2 древесно‐стружечной плиты, 165 м2 сосновых досок и 160 человеко‐часов рабочего времени. Какова максимально ожидаемая месячная прибыль?

Ответ: 99000
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения a, при каждом из которых система
$$\left\{\begin{matrix}x\sin a-y\cos a+3\sin a+\cos a=0\\ 2x+y-1=0\end{matrix}\right.$$
имеет решение (x;y) в квадрате $$-4\leq x\leq -1 , 2\leq y\leq 5$$

Ответ: $$[\frac{\pi }{4}+\pi n;\arctan 4 +\pi n] ,n\in Z$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? 
Ответ: да, нет, 39