354 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.

Это обратная пропорция.

$$\frac{8}{12}=\frac{x}{6}$$

$$6\cdot8=12x$$

$$12x=48$$

$$x=4$$

Май, июнь, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь $$\Rightarrow 6$$

По формуле Пика:

$$S=6+\frac{4}{2}-1=7$$

Трёхзначных чисел всего $$999-99=900$$.

На 4 делится каждое 4 число.

Следовательно $$P(A)=\frac{225}{900}=0,25$$

$$4x^4-11x^2-9x-2=0$$

Целочисленные делители $$(-2)$$ равны $$\pm1$$ и $$\pm2$$.

Заметим, что $$(-1)$$ является корнем. Тогда:

$$4x^4-11x^2-9x-2=(x+1)(4x^3-4x^2-7x-2)$$.

При этом $$4x^3-4x^2-7x-2=(x-2)(4x^2+4x+1)$$.

Получим: $$(x+1)(x-2)(2x+1)^2=0$$.

Тогда: $$x=-1;-0,5;2$$.

Пусть O - центр второй окружности. BH - высота $$\Delta ABC$$.

$$BH=\sqrt{25^2-15^2}=20$$. Тогда $$BK=15$$ и $$HK=20-15=5$$. При этом $$OK=OC=R$$ - радиусы второй окружности.

$$(R-5)^2+15^2=R^2\Leftrightarrow R^2-10R+25+225=R^2\Rightarrow R=25$$.

$$\left\{\begin{matrix} (2x)'=(7x^2+bx+5\frac{1}{7})'\\ 2x=7x^2+bx+\frac{36}{7} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=14x+b\\ 2x=7x^2+bx+\frac{36}{7} \end{matrix}\right.$$

$$14x=49x^2+14x-98x^2+36$$

$$49x^2=36$$

$$x^2=\frac{36}{49}\Rightarrow x=\pm\frac{6}{7}$$

Так как $$x>0$$: $$b=2-14\cdot\frac{6}{7}=-10$$

Объем призмы вычислим как произведение площади основания на ее высоту

$$V=S_{осн}\cdot h$$.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со сторонами 5. Его площадь равна площади 6 равносторонним треугольникам со сторонами 5 (см. рисунок ниже).

Площадь одного такого треугольника можно найти как

$$S=\frac{1}{2}ab\cdot\sin60^{\circ}$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$

и площадь основания равна

$$S_{осн}=6S=6\cdot\frac{25\sqrt{3}}{4}=\frac{75\sqrt{3}}{2}$$

Так как ребра призмы наклонены под 60° к основанию, то высота призмы будет равна

$$h=7\cdot\sin60^{\circ}=7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, объем призмы равен

$$V=\frac{75\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{7\sqrt{3}}{2}=393,75$$

$$\cos\frac{\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\cdot\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{4}\sin\frac{4\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{8}\sin\frac{8\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{16}\sin\frac{16\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{32}\sin\frac{32\pi}{33}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{32}\sin(\pi-\frac{\pi}{33})=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{32}\sin\frac{\pi}{33}=\frac{1}{32}=0,03125$$

$$​3,2\sin\pi t\geq1,6​$$

$$\sin\pi t\geq0,5$$

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\leq\pi t\leq\frac{5\pi}{6}+2\pi n​$$

так как просят в течении первой секунды, то ​$$n=0​$$

$$\frac{​1}{6}\leq t\leq\frac{5}{6}​$$

$$\tau=\frac{\frac{5}{6}−\frac{1}{6}}{1}=\frac{2}{3}\approx0,67$$

Пусть $$x$$ - скорость лодки относительно берега по течению реки, $$y$$ - скорость лодки относительно берега против течения реки. Тогда $$\frac{x+y}{2}$$ - собственная скорость лодки. Если $$t$$ - время, за которое лодка проходит участок от A к B (или от B к A), где нет течения реки, то участок от B к C она проходит за $$(6-t)$$ ч, участок от C к B - за $$(7-t)$$ ч.

Имеем $$\frac{6-t}{7-t}=\frac{y}{x}$$.

Если бы течение появилось на участке от A до B, то лодка прошла бы участок от A до B за (t-0,5) ч (по условию). Таким образом, $$\frac{z-0,5}{z}=\frac{\frac{x+y}{2}}{x}$$. Получили систему:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{6-t}{7-t}=\frac{y}{x}\\ \frac{2t-1}{t}=\frac{x+y}{x} \end{matrix}\right.\Rightarrow\frac{6-t}{7-t}=\frac{t-1}{t}\Rightarrow z=\frac{7}{2}\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{5}{7}$$.

Следовательно, участок от C до A лодка прошла бы в $$\frac{7}{5}$$ медленнее, чем участок от A до C, т.е. за $$5,5\cdot\frac{7}{5}=7,7$$ ч.

$$y'=(4\cdot(x^2+16)^{-\frac{1}{2}})'=4\cdot(-\frac{1}{2})(x^2+16)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x=0$$

$$\frac{-4x}{\sqrt[2]{(x^2+16)^3}}=0\Rightarrow x=0$$ - точка максимума.

$$y(\pm3)=\frac{4}{\sqrt{9+16}}=\frac{4}{5}=0,8$$