Перейти к основному содержанию

354 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.



Решаем ЕГЭ 354 вариант Ларина ЕГЭ 2021 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №354 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

8 рабочих выполнили работу за 6 дней. За сколько дней выполнили бы ту же работу 12 рабочих при той же производительности труда?
Ответ: 4
Скрыть

Это обратная пропорция.

$$\frac{8}{12}=\frac{x}{6}$$

$$6\cdot8=12x$$

$$12x=48$$

$$x=4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показаны средние цены в интернет-магазинах на пылесосы модели А и модели Б в период с мая по декабрь 2019 года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - цены (в рублях). По диаграмме определите, сколько месяцев с мая по декабрь 2019 года средняя цена пылесоса модели Б была выше средней цены пылесоса модели А.

Ответ: 6
Скрыть

Май, июнь, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь $$\Rightarrow 6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге изображен с размером клетки 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 7
Скрыть

По формуле Пика:

$$S=6+\frac{4}{2}-1=7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится на 4.
Ответ: 0,25
Скрыть

Трёхзначных чисел всего $$999-99=900$$.

На 4 делится каждое 4 число.

Следовательно $$P(A)=\frac{225}{900}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение: $$4x^4-11x^2-9x-2=0$$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите наибольший корень.
Ответ: 2
Скрыть

$$4x^4-11x^2-9x-2=0$$

Целочисленные делители $$(-2)$$ равны $$\pm1$$ и $$\pm2$$.

Заметим, что $$(-1)$$ является корнем. Тогда:

$$4x^4-11x^2-9x-2=(x+1)(4x^3-4x^2-7x-2)$$.

При этом $$4x^3-4x^2-7x-2=(x-2)(4x^2+4x+1)$$.

Получим: $$(x+1)(x-2)(2x+1)^2=0$$.

Тогда: $$x=-1;-0,5;2$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Даны треугольник АВС, в котором АВ=ВС=25, АС = 30, и окружность с центром в точке В радиуса 15. Вторая окружность проходит через точки А и С и касается первой внешним образом. Найдите радиус второй окружности.
Ответ: 25
Скрыть

Пусть O - центр второй окружности. BH - высота $$\Delta ABC$$.

$$BH=\sqrt{25^2-15^2}=20$$. Тогда $$BK=15$$ и $$HK=20-15=5$$. При этом $$OK=OC=R$$ - радиусы второй окружности.

$$(R-5)^2+15^2=R^2\Leftrightarrow R^2-10R+25+225=R^2\Rightarrow R=25$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Прямая $$y=2x$$ является касательной к графику функции $$y=7x^2+bx+5\frac{1}{7}$$. Найдите $$b$$, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Ответ: -10
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix} (2x)'=(7x^2+bx+5\frac{1}{7})'\\ 2x=7x^2+bx+\frac{36}{7} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=14x+b\\ 2x=7x^2+bx+\frac{36}{7} \end{matrix}\right.$$

$$14x=49x^2+14x-98x^2+36$$

$$49x^2=36$$

$$x^2=\frac{36}{49}\Rightarrow x=\pm\frac{6}{7}$$

Так как $$x>0$$: $$b=2-14\cdot\frac{6}{7}=-10$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 5, а боковые ребра равны 7 и наклонены к плоскости основания под углом 60o.

Ответ: 393,75
Скрыть

Объем призмы вычислим как произведение площади основания на ее высоту

$$V=S_{осн}\cdot h$$.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со сторонами 5. Его площадь равна площади 6 равносторонним треугольникам со сторонами 5 (см. рисунок ниже).

Площадь одного такого треугольника можно найти как

$$S=\frac{1}{2}ab\cdot\sin60^{\circ}$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$

и площадь основания равна

$$S_{осн}=6S=6\cdot\frac{25\sqrt{3}}{4}=\frac{75\sqrt{3}}{2}$$

Так как ребра призмы наклонены под 60° к основанию, то высота призмы будет равна

$$h=7\cdot\sin60^{\circ}=7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, объем призмы равен

$$V=\frac{75\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{7\sqrt{3}}{2}=393,75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Вычислить: $$\cos\frac{\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}.$$
Ответ: 0,03125
Скрыть

$$\cos\frac{\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\cdot\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{4}\sin\frac{4\pi}{33}\cos\frac{4\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{8}\sin\frac{8\pi}{33}\cos\frac{8\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{16}\sin\frac{16\pi}{33}\cos\frac{16\pi}{33}=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{32}\sin\frac{32\pi}{33}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{32}\sin(\pi-\frac{\pi}{33})=$$

$$=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{33}}\frac{1}{32}\sin\frac{\pi}{33}=\frac{1}{32}=0,03125$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $$v(t)=3,2\sin\pi t$$ (см/с), где $$t$$ - время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 1,6 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, округлив до сотых.
Ответ: 0,67
Скрыть

$$​3,2\sin\pi t\geq1,6​$$

$$\sin\pi t\geq0,5$$

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\leq\pi t\leq\frac{5\pi}{6}+2\pi n​$$

так как просят в течении первой секунды, то ​$$n=0​$$

$$\frac{​1}{6}\leq t\leq\frac{5}{6}​$$

$$\tau=\frac{\frac{5}{6}−\frac{1}{6}}{1}=\frac{2}{3}\approx0,67$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

На участке реки от А до В течение так невелико, что им можно пренебречь; на участке от В до С течение оказывает заметное влияние на движение лодки. Лодка покрывает расстояние вниз от А до С за 6 ч, а вверх от С до А за 7 ч. Если бы на участке от А до В течение было бы таким же, как на участке от В до С, то весь путь от А до С занял бы 5,5 ч. Сколько часов в этом случае понадобилось бы той же лодке на движение вверх от С до А? Собственная скорость лодки принимается неизменной во всех случаях.
Ответ: 7,7
Скрыть

Пусть $$x$$ - скорость лодки относительно берега по течению реки, $$y$$ - скорость лодки относительно берега против течения реки. Тогда $$\frac{x+y}{2}$$ - собственная скорость лодки. Если $$t$$ - время, за которое лодка проходит участок от A к B (или от B к A), где нет течения реки, то участок от B к C она проходит за $$(6-t)$$ ч, участок от C к B - за $$(7-t)$$ ч.

Имеем $$\frac{6-t}{7-t}=\frac{y}{x}$$.

Если бы течение появилось на участке от A до B, то лодка прошла бы участок от A до B за (t-0,5) ч (по условию). Таким образом, $$\frac{z-0,5}{z}=\frac{\frac{x+y}{2}}{x}$$. Получили систему:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{6-t}{7-t}=\frac{y}{x}\\ \frac{2t-1}{t}=\frac{x+y}{x} \end{matrix}\right.\Rightarrow\frac{6-t}{7-t}=\frac{t-1}{t}\Rightarrow z=\frac{7}{2}\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{5}{7}$$.

Следовательно, участок от C до A лодка прошла бы в $$\frac{7}{5}$$ медленнее, чем участок от A до C, т.е. за $$5,5\cdot\frac{7}{5}=7,7$$ ч.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{4}{\sqrt{x^2+16}}$$. на отрезке $$[-3;3]$$.
Ответ: 0,8
Скрыть

$$y'=(4\cdot(x^2+16)^{-\frac{1}{2}})'=4\cdot(-\frac{1}{2})(x^2+16)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x=0$$

$$\frac{-4x}{\sqrt[2]{(x^2+16)^3}}=0\Rightarrow x=0$$ - точка максимума.

$$y(\pm3)=\frac{4}{\sqrt{9+16}}=\frac{4}{5}=0,8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

А) Решите уравнение

$$\sin^3x+\cos^3x=\sin^2x+\cos^2x$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{5\pi}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильном тетраэдре SABC точка М - середина ребра АВ, а точка N расположена на ребре SC так, что SN : NC = 3:1.

а) Докажите, что плоскости SMC и ANB перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка MN, если длина ребра АВ равна 8.

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство:

$$\log_{x+2}(7x^2-x^3)+\log_{\frac{1}{x+2}}(x^2-3x)\geq\log_{\sqrt{x+2}}\sqrt{5-x}$$

Ответ: $$(-2;-1)\cup(3;5)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точка О - центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка К так, что $$\angle ВАС + АКС = 90^{\circ}$$.

a) Докажите, что четырехугольник ОВКС вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВКС, если известно, что радиус описанной окружности треугольника АВС равен 12, а $$\cos\angle BAC = 0,6$$.

Ответ: 10
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Страховая компания положила в банк некоторую сумму денег под 10% годовых для обеспечения страховых выплат. Какова была эта сумма (в рублях), если она оказалась полностью истрачена за три года на следующие выплаты: 880000 рублей в конце первого года, 605000 рублей в конце второго года и 1331000 рублей в конце третьего года (все выплаты производились после начисления банком процентов).
Ответ: 2 300 000
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} |x-4|+3|y|=2\\ 9y^2+x^2-8x+4(a+3)=0 \end{matrix}\right.$$

имеет ровно четыре решения.

Ответ: 0,5; 0
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

По кругу записано несколько (два и более) различных натуральных чисел. Каждое число или в три раза больше соседнего слева числа, или на два меньше.

а) Могут ли быть выписаны и число 5, и число 6?

б) Могут ли быть выписаны ровно семь чисел?

в) Какое максимальное значение может иметь наибольшее из выписанных чисел, если сумма всех выписанных чисел не превосходит 2021?

Ответ: А) нет, Б) да, В) 93