Перейти к основному содержанию

318 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.

Решаем ЕГЭ 318 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №318 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В начале первой недели в пруд запустили 9 инфузорий. К концу каждой недели карась съедает 6 инфузорий, после чего каждая оставшаяся инфузория делится на 3 части. Сколько инфузорий будет в пруду в начале 31-й недели?

Ответ: 9
Скрыть К концу первой недели в пруду останется 3 инфузории. К началу второй их станет $$3*3=9$$ штук. Далее повторяется $$\to $$ в начале 31-ой недели их будет 9 шт.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На тренировке в 50-метровом бассейне пловец проплыл 200-метровую дистанцию. На рисунке изображен график зависимости расстояния S (в метрах) между пловцом и точкой старта от времени движения t (в секундах) пловца. Определите по графику, за какое время пловец преодолел первые 110 метров.

Ответ: 80
Скрыть Бассейн длиной 50 метров. Тогда 110 метров это - туда, обратно +10 метров $$\to $$ преодолел за 80 секунд.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Из картонного листа размером 0,6 м $$\times$$ 0,6 м, изображенного на рисунке, нужно вырезать закрашенный четырехугольник. Найдите его массу (в граммах), если известно, что плотность картона равна $$160\frac{г}{м^2}$$

Ответ: 18,4
Скрыть Лист $$6\cdot 6=36$$ клеток и 0,36 м$${}^{2}$$ $$\to $$ 1 клетка - $$0,01$$ м$${}^{2}$$ Площадь фигуры: $$S_1-\left(S_2+S_3+S_4+S_5\right)=6\cdot 6-\left(\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1+\frac{4+5}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 6\right)=11,5$$ клеток $$\to $$ 0,115 см$${}^{2}$$. Масса: $${}^{ }$$$${\rm 0,115}\cdot 160=18,4$$ г.
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Лампы определенного типа выпускают только два завода. Среди продукции первого завода $$2\%$$ бракованных ламп, среди продукции второго - $$3\%$$. Известно, что при случайном выборе вероятность купить неисправную лампу этого типа равна 0,024. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лампа произведена на первом заводе.

Ответ: 0,6
Скрыть Пусть $$x$$ ламп всего с первого, тогда $$0,02\cdot x$$ ламп брака с первого, $$y$$ всего со второго, $$0,03\cdot y$$ брака со второго. Получим: $$0,02\cdot x+0,03\cdot y=0,024\cdot \left(x+y\right)\to 0,004\cdot x=0,006\cdot y\to x=1,5\cdot y$$. То есть всего $$1,5\cdot y+y=2,5\cdot y$$ ламп, а вероятность что лампа будет с первого завода: $$\frac{1,5\cdot y}{2,5\cdot y}=0,6$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите произведение всех различных корней уравнения: $${{\log }_3 x\ }-6\cdot {{\log }_x 9\ }=3$$

Ответ: 27
Скрыть $${{\log }_3 x\ }-6\cdot {{\log }_x 9\ }=3; M\left(x\right):\left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ x\ne 1 \end{array} \right.$$ Учтем, что $${{\log }_x 9\ }=2\cdot {{\log }_x 3\ }=\frac{2}{{{\log }_3 x\ }}$$; Замена: $${{\log }_3 x\ }=y$$; $$y-6\cdot \frac{2}{y}=3\to \frac{y^2-3\cdot y-12}{y}=0\to \left\{ \begin{array}{c} y_1+y_2=3 \\ y_1\cdot y_2=12 \end{array} \right.$$ т.е. $${{\log }_3 x_1+{{\log }_3 x_2=3\to {{\log }_3 {(x}_1\cdot x_2)=3\to x_1\cdot x_2=27\ }\ }\ }$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Длины диагоналей трапеции равны 9 и 12, а длина ее средней линии равна 7,5. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 54
Скрыть Пусть $$AF\parallel BD\ \to FC=AB+CD=7,5\cdot 2=15$$. Тогда $$\triangle FAC$$ - прямоугольный $$\left(9^2+{12}^2={15}^2\right)$$. Пусть AH - высота $$\triangle FAC$$ (и ABCD) $$\to AH=\frac{9\cdot 12}{15}\to S_{ABCD}=\frac{15\cdot 9\cdot 12}{15\cdot 2}=\frac{108}{2}=54$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция $$y=f\left(x\right)$$ определена на промежутке $$\left(-2;7\right)$$. На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку $$x_0$$, в которой функция $$f\left(x\right)$$ принимает наибольшее значение.

Ответ: 3
Скрыть На графике производной $$f'\left(3\right)=0$$, при этом при $$x<3:f'(x)>0$$, при $$x>3:f'\left(x\right)<0\to x=3$$ - точка максимума и в ней на данном промежутке наибольшее значение функции.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите объем правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1{E_1F}_1$$, если известно, что объем многогранника с вершинами в точках $$E,\ B_1,A_1,F_1,E_1$$ равен 12.

Ответ: 72
Скрыть $$V_{EB_1A_1F_1E_1}=\frac{1}{3}S_{B_1A_1F_1E_1}\cdot EE_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{S}{2}\cdot h=\frac{S\cdot h}{6}=\frac{V_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}}{6}$$ $$\to V_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}=12\cdot 6=72$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $${{\log }_5 81\ }\cdot {{\log }_3 49\ }\cdot {{\log }_7 125\ }$$

Ответ: 24
Скрыть $${{\log }_5 81\ }\cdot {{\log }_3 49\ }\cdot {{\log }_7 125\ }=4\cdot {{\log }_5 3\ }\cdot 2\cdot {{\log }_3 7\ }\cdot 3\cdot {{\log }_7 5\ }=$$ $$=24\cdot \frac{{{\log }_3 7\ }}{{{\log }_3 5\ }}\cdot {{\log }_7 5\ }=24\cdot {{\log }_5 7\ }\cdot {{\log }_7 5\ }=24$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Автомобиль, масса которого равна $$m=2400$$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $$t$$ секунд остается неизменным, и проходит за это время путь $$S=480$$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $$F=\frac{2\cdot m\cdot S}{t^2}$$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила $$F$$, приложенная к автомобилю, не меньше 4 кН. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 24
Скрыть $$4000=\frac{2\cdot 2400\cdot 480}{t^2}\to t=\sqrt{\frac{2\cdot 24\cdot 48\cdot 1000}{4000}}=24$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Два велосипедиста с постоянными скоростями стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы. Через 10 минут после старта один из велосипедистов в первый раз догнал другого. Через какое время после старта первый велосипедист во второй раз догонит другого? Ответ дайте в минутах.

Ответ: 30
Скрыть За 10 минут догнал на полкруга, соответственно, за 20 минут опередит на полный круг. Тогда с начала старта пройдет $$10+20=30$$ минут
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14$$

Ответ: 10
Скрыть $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14={{\log }_2 x\ }\cdot \left(4+{{\log }_2 x\ }\right)+14={{{{\rm (log}}_2 x\ })}^2+4\cdot {{\log }_2 x\ }+14$$ Пусть $${{\log }_2 x\ }=m$$, получим $$f\left(m\right)=m^2+4\cdot m+14$$. Тогда $$f_{{\rm min}}\left(m\right)=f(m_0)$$, где $$m_0=\frac{-4}{2}=-2$$ (вершина параболы) $$\to y_{min}={\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+14=10$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $${{\log }_4 \left(2^{2x}-\sqrt{3}{\cos x\ }-{\sin 2x\ }\right)=x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$x\in \left[\pi ;;\frac{7\pi }{2}\right]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{2}+\pi n;-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{4\pi}{3}+2\pi n, n \in Z$$ б)$$\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{3};\frac{5\pi}{2};\frac{10\pi}{3};\frac{7\pi}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

На боковом ребре $$SA$$ правильной треугольной пирамиды $$SABC$$ взята точка $$D$$, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней $$SAC$$ и $$SAB$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Известно, что прямые $$DM$$ и $$DN$$ образуют углы $$\beta $$ с плоскостью основания пирамиды, а величины углов $$DMS$$ и $$DNS$$ равны $$\alpha $$, $$\left(\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$$

а) Докажите, что секущая плоскость параллельна ребру $$BC$$

б) Найдите угол $$MDN$$, если $$\alpha =30{}^\circ ,\ \beta =45{}^\circ $$

Ответ: $$arccos \frac{2-\sqrt{3}}{4}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $${{\log }_{(x+3)} \left(2\left(x^2-10x+24\right)\right)\ }\ge {{\log }_{(x+3)} (x^2-9)\ }$$

Ответ: $$(3;10-\sqrt{43}],[10+\sqrt{43};+\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Окружность с центром $$O$$, вписанная в прямоугольный треугольникa $$ABC$$, касается гипотенузы $$AB$$ в точке $$M$$, а катета $$AC$$ - в точке $$N$$, $$AC<BC$$. Прямые $$MN$$ и $$CO$$ пересекаются в точке $$K$$. 

а) Докажите, что угол $$CKN$$ в два раза меньше угла $$ABC$$

б) Найдите $$BK$$, если $$BC=2\sqrt{2}$$
 

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

15 декабря планируется взять кредит в банке на 480 тысяч рублей на 27 месяцев.

Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $$3\%$$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа первые два месяца и последний месяц долг должен уменьшиться на $$a$$ тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на $$b$$ тысяч рублей.

Найдите $$a$$, если всего было выплачено банку 656,4 тысяч рублей?

Ответ: 80
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых система неравенств

$$\left\{ \begin{array}{c} x^2+18px+77p^2\le 0 \\ {\left(x-324\right)}^2\ge {\left(29p\right)}^2 \end{array} \right.$$

имеет единственное решение.

Ответ: -9;0;18
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Имеется прямоугольная таблица размером $$M\times N$$, заполненная числами 0 и 1, обладающая следующими свойствами. Во-первых, в каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы один элемент, равный 1. Во-вторых, нет ни одной пары одинаковых строк, а также ни одной пары одинаковых столбцов. Таблицы, обладающие этими свойствами, назовем «хорошими».

Две таблицы назовем эквивалентными в том (и только в том) случае, если из одной из них можно получить другую путем перестановки строк и/или столбцов. Приведем пример двух эквивалентных таблиц размером $$3\times 3$$.

1 1 1
1 1 0
0 1 0

 

1 0 1
0 0 1
1 1 1

 

Вторая таблица получается из первой сначала перестановкой в ней 1-й и 3-й строк, потом 2-го и 3-го столбца в полученной таблице, а затем 1-й и 2-й строки в последней полученной таблице.

а) Сколько существует различных попарно неэквивалентных «хороших» таблиц размером $$2\times 3$$?

б) Укажите количество всех таблиц, эквивалентных «хорошей» таблице

1 1 0
1 0 1
0 1 1

в) Какое максимальное число столбцов может быть в «хорошей» таблице, содержащей М строк?

Ответ: а)1 б)6 в)$$2^{M}-1$$