219 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Решаем ЕГЭ 219 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №219 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 219 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №219 (alexlarin.com)
Задание 1
Аня отправила SMS‐сообщения с новогодними поздравлениями своим 19 друзьям. Стоимость одного SMS‐сообщения 1 рубль 90 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Ани было 37 рублей. Сколько рублей останется у Ани после отправки всех сообщений?
$$19\cdot 1,9=36,1$$ руб - потратила $$37-36,1=0,9$$ руб - осталось
Задание 2
На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 24 октября 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену золота на момент закрытия торгов в период с 4 по 16 октября (в долларах США за унцию).
15 число - 313
Задание 3
На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 5. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
$$R_{1}=3$$ клетки $$R_{2}=6$$ клеток $$\frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{3}{6})^{2}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow S_{2}=4S_{1}=20$$ S - площадь закрашенной $$S=S_{2}-S_{1}=20-5=15$$
Задание 4
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Саратов» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Саратов» начнёт игру с мячом не более одного раза.
|
$$+ - - $$ $$- + +$$ $$- + -$$ $$- - -$$ |
В данном случае три враианта, что начнет 1 раз и 1 вариант, что ни разу |
$$P=4\cdot\frac{1}{8}=0,5$$
Задание 5
В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 14.
из $$\bigtriangleup BCH$$: он прямоугольный и равнобедренный $$\Rightarrow$$ NH- медиана и высота $$\Rightarrow$$ $$NH=NC$$, аналогично $$HM=MD$$
Пусть $$NH=x$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=2x$$; $$HM=y$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=2y$$
$$S_{ABCD}=\frac{2x+2y}{2}\cdot(x+y)=(x+y)^{2}=14^{2}=196$$
Задание 6
На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (- 8; 4). В какой точке отрезка [- 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
На отрезке [- 2; 3] везде $$f'(x)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$f(x)$$ везде возрастает $$\Rightarrow$$ $$f_{min}$$ в начале отрезка, т.е. в т. -2
Задание 7
Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, если её боковая поверхность равна 72, а высота равна 2.
1) $$S_{b}=72$$ $$DH=2$$
$$S_{DCB}=\frac{72}{3}=24$$
2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$HM=\frac{1}{3}AM$$
$$AM=\frac{\sqrt{3}AB}{2}$$
Пусть $$AB=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=\frac{\sqrt{3}x}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$HM=\frac{\sqrt{3}x}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$DM=\sqrt{DH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{2^{2}+\frac{3X^{2}}{36}}=\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$
$$\Rightarrow$$ $$S_{BDC}=\frac{1}{2}\cdot DM\cdot BC$$ $$\Rightarrow$$ $$24=\frac{1}{2}x\cdot\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$
$$48=x\cdot\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$
$$2304=x^{2}\cdot(4+\frac{x^{2}}{12})$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{x^{4}}{12}+4x^{2}-2304=0$$
$$D=16+768=784$$
$$x^{2}=\frac{-4+28}{\frac{1}{6}}=24\cdot6$$ $$\Leftrightarrow x=12$$
Задание 8
Найдите значение выражения: $$\frac{a^{\frac{5}{8}}}{a^{\frac{1}{24}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}$$ при $$a=16$$
$$\frac{a^{\frac{5}{8}}}{a^{\frac{1}{24}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{15}{24}}}{a^{\frac{9}{24}}}=a^{\frac{6}{24}}=\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{16}=2$$
Задание 9
Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле: $$R=r_{pok}-\frac{r_{pok}-r_{eks}}{(K+1)^{m}}$$, где $$m=\frac{0,02K}{r_{pok}+0,1}$$ $$r_{pok}$$ — средняя оценка магазина покупателями, $$r_{eks}$$ — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет‐магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 26, их средняя оценка равна 0,68, а оценка экспертов равна 0,23.
$$m=\frac{0,02K}{r_{pok}+0,1}=m=\frac{0,02\cdot26}{0,68+0,1}=\frac{0,52}{0,78}=\frac{2}{3}$$ $$R=0,68-\frac{0,68-0,23}{(26+1)^{\frac{2}{3}}}=0,68-\frac{0,45}{9}=0,68-0,05=0,63$$
Задание 10
Двое рабочих получили задание сделать 72 детали. Первый рабочий сделал за 3 часа часть задания, а затем второй рабочий сделал за 4 часа оставшуюся часть задания. Сколько деталей делает за час первый рабочий, если 18 деталей он сделает на полчаса быстрее, чем второй рабочий?
Пусть х -количество дет/час 1ым
у - 2ым
$$\frac{18}{y}-\frac{18}{x}=\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{36}$$
$$\frac{1}{y}=\frac{1}{36}+\frac{1}{x}=\frac{x+36}{36x}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{72-3x}{\frac{36x}{x+36}}=4$$
$$(72-3x)(x+36)=4\cdot36x$$
$$72x+72\cdot36-3x^{2}-108x-144x=0$$
$$-3x^{2}-180x+72\cdot36=0$$
$$x^{2}+60x-864=0$$
$$D=3600+3456=7056=84^{2}$$
$$x_{1}=\frac{-60+84}{2}=12$$
Задание 11
Найдите наименьшее значение функции: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$
$$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})$$ $$\Rightarrow 4x^{2}+4x+3\Rightarrow f(x)$$ y будет наименьшим, если $$f(x)$$ будет наименьшим: $$x_{0}=-\frac{4}{4\cdot2}=-0,5$$ $$f(-0,5)=4\cdot\frac{1}{4}-4\cdot\frac{1}{2}+3=1-2+3=2$$ $$y_{min}=-(1+\frac{4}{2})=-3$$
Задание 12
$$\cos3x=\sqrt{3}\sin4x+\cos5x$$ $$\cos3x-\cos5x=\sqrt{3}\sin4x$$ $$2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2}-\sqrt{3}\sin4x=0$$ $$2\sin4x\cdot\sin x-\sqrt{3}\sin4x=0$$ $$\sin4x(2\sin x-\sqrt{3})=0$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin4x=0\\2\sin x=\sqrt{3}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}4x=\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{3}+2\pi k\\x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{4},n\in Z\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$
Задание 13
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а)
1) Опустим $$BN\perp$$ основанию $$\Rightarrow$$ $$BN\perp CD$$
2) Проведем $$MN\parallel AB$$ $$\Rightarrow$$ $$CD\parallel MN$$ $$\Rightarrow$$ $$(ABNM)$$ - ИСКОМАЯ
3) т.к. $$MN\parallel AB$$ и $$AB=MN$$ $$\Rightarrow$$ ABNM - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$MB=AN$$ ч.т.д.
б) $$V_{CABNM}=\frac{1}{3}CR\cdot S_{ABNM}=\frac{1}{3}(CO+OR)\cdot AB\cdot BN$$
$$AB=CO=6$$; $$BN=12$$
из $$\bigtriangleup OMN$$ - равносторонний:
$$OR=\frac{\sqrt{3}}{2}OM$$ $$(\angle M=60^{\circ})$$ $$\Rightarrow$$ $$OR=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot6=3\sqrt{3}$$
$$V_{CABNM}=\frac{1}{3}\cdot(6+3\sqrt{3})\cdot6\cdot12=144+72\sqrt{3}$$
Задание 15
На стороне BC треугольника ABC отмечена K точка так, что AK = 4, ВК = 9, КС = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD и $$\angle APB=\angle BAC$$
Задание 16
Брокерская фирма выставила на торги пакет акций, состоящий из акций двух компаний: нефтяной компании (по 100 долларов за акцию) и газовой компании (по 65 долларов 60 центов за акцию). Всего было выставлено 200 акций. Все акции газовой компании были проданы, а часть акций нефтяной компании осталась непроданной. Общая сумма выручки оказалась равной 13120 долларов. Определите процент акций газовой компании в выставленном на продажу пакете и найдите сумму выручки, полученной за акции газовой компании.
Задание 18
а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в два раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.
б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.