ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 202
Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 202 (alexlarin.com)
Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 202 (alexlarin.com)
Задание 1
Летом килограмм клубники стоил 60 рублей. Маша купила 2 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна была получить с 200 рублей?
$$2,2\cdot 60=132$$ (руб) $$200-132=68$$
Задание 2
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры $$60^{\circ}$$С до температуры $$90^{\circ}$$С.
Задание 3
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
$$S=\frac{2+6}{2}\cdot 4=8\cdot 2=16$$
Задание 4
На олимпиаде по русскому языку 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
$$400-2\cdot 120=160$$ $$P=\frac{160}{400}=0,4$$
Задание 5
В треугольнике ABC угол A равен 46°, внешний угол при вершине B равен 118°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B=180^{\circ}-118^{\circ}=62^{\circ}$$ $$\angle C=180^{\circ}-62^{\circ}-46^{\circ}=72^{\circ}$$
Задание 7
Площадь основания конуса равна $$16\pi $$, высота – 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Sосн$$=16\pi=\pi R^{2}\Rightarrow R^{2}=16$$ $$\Rightarrow R=4$$
Sсечен$$=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24$$
Задание 8
Найдите значение выражения: $$6^{2+\log_{6}8}$$
$$6^{2+\log_{6}8}=$$ $$=36\cdot 6^{\log_{6}8}=36\cdot 8=288$$
Задание 9
Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине сос коростью, меняющейся по закону $$v=v_{0}\cos \frac{2\pi t}{T}$$, где t - время с момента начала колебаний, Т=2 с - период колебаний, $$v_{0}=1,6$$ м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по фурмуле $$E=\frac{mv^{2}}{2}$$, где m - масса груза в килограммах, v - скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 56 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
$$v=1,6\cdot \cos \frac{2\pi\cdot56}{2}=1,6$$ $$E=\frac{0,25\cdot 1,6^{2}}{2}=0,32$$
Задание 10
Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Пусть у- часть резервуара, которую заполняет первая труба за минуту, х - 2ая труба.1 - объем.
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=27\\\frac{1}{x+y}=18\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{18}{1-18y}=27\\x=\frac{1}{18}-y=\frac{1-18y}{18}\end{matrix}\right.$$
$$\frac{1-18y-18y}{y-18y^{2}}=27$$
$$1-36y=27y-486y^{2}$$
$$486y^{2}-63y+1=0$$
$$D=3969-1944=2025=45^{2}$$
$$y_{1}=\frac{63+45}{486\cdot 2}=\frac{1}{9}$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{1}=\frac{1-18\cdot \frac{1}{9}}{18}< 0$$
$$y_{2}=\frac{63-45}{486\cdot 2}=\frac{9}{486}=\frac{1}{54}$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{2}=\frac{1-18\cdot \frac{1}{54}}{18}=\frac{\frac{2}{3}}{18}=\frac{1}{27}$$
Задание 11
Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-8)^{2}(x-1)+10$$ на отрезке [6; 14].
$$y=(x-8)^{2}(x-1)+10$$ $$y{}'=2(x-8)^{2}(x-1)+(x-8)^{2}=$$ $$=2(x^{2}-9x+8)+x^{2}-16x+64=$$ $$=2x^{2}-18x+16+x^{2}-16x+64=$$ $$=3x^{2}-34x+80=0$$ $$D=1156-960=196=14^{2}$$ $$x_{1}=\frac{34+14}{6}=8$$ $$x_{2}=\frac{34-14}{6}=\frac{10}{3}$$ $$y(8)=(8-8)^{2}(8-1)+10=10$$
Задание 12
Дано уравнение: $$\frac{2}{\cos (\pi -x)}-\tan ^{2}x=1$$
a) $$\frac{2}{\cos(\pi-x)}-\tan^{2}x=1$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos(\pi -x)\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k(k\in Z)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\cos x\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k(k\in Z)\end{matrix}\right.$$ $$\frac{2}{-\cos x}=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ $$\frac{1}{\cos x}=y^{2}$$ $$-2y=y^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+2y=0$$ $$y(y+2)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\cos x}=0\\\frac{1}{\cos x}=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow\cos x=-\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k(k\in Z)$$
б)
$$-3\pi +\frac{\pi}{3}=-\frac{8\pi}{3}$$
Задание 13
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 $$AB=2$$, $$AD=1$$, $$AA_{1}=3$$. Точка К лежит на ребре СС1 так, что $$CK\div C_{1}K=5\div 4$$.
А) Докажите,что прямые DB1 и D1K перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние от точки D1 до полоски KA1D.
 |
A) введем ортогональную систему координат: B1(0;0;3); D(1;2;0); K(1;0;$$\frac{5}{9}\cdot3$$); D1(1;2;3); $$\vec{B_{1}D}\left \{ 1;2;-3\right\}$$; $$\vec{K_{1}D}\left \{ 0;2;\frac{4}{3}\right\}$$; |
Задание 15
В прямоугольнике АВСD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК=2СК.
А) Докажите, что ВD делит площадь треугольника АКС в отношении 3:7.
Б) Пусть М – точка пересечения АК и BD, Р – точка пересечения DK и АС. Найдите длину отрезка МР, если АВ=8, ВС=6.
Задание 16
1 апреля 2017 года Юрий открыл в банке счёт «Пополняй», вложив 6 млн. рублей сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.
1 апреля 2018 года и 1 апреля 2020 года Юрий решил пополнять счёт на п тысяч рублей (п – целое число).
1 апреля 2021 года Юрий собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.
Найдите наибольшее значение п, при котором доход Юрия от вложений в банк за эти 4 года окажется не более 3 млн. рублей.
Задание 18
На доске записаны 20 чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно В.
А) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться равным $$\frac{A+B}{2}$$?
Б) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться меньше, чем $$\frac{A+B}{2}$$?
В) Найдите наименьшее возможное значение выражения $$\frac{A+B}{2}$$.