Перейти к основному содержанию

228 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 228 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №228 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 228 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №228 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Большой корабль не может подойти к берегу, поэтому пассажиров отвозят с корабля на шлюпке, вмещающей 8 пассажиров. Сколько раз шлюпка приставала к берегу, если на берег отвезли 30 пассажиров?

Ответ: 4
Скрыть

Учитывая то, что количество шлюпок целое, мы должны поделить 30 на 8 и округлить до большего целого: $$\frac{30}{8}\approx 4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показаны среднесуточная температура в Москве в период с 12 июля 2010 года по 11 августа 2010 года и климатические нормы среднесуточной температуры за соответствующий период. По горизонтали указываются дни, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки, соответствующие среднесуточной температуре, соединены сплошной линией, а точки, соответствующие климатической норме, — пунктирной линией. Определите по рисунку наименьшую среднесуточную температуру с 1 по 11 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 26
Скрыть

Наименьшая температура была 1 августа и составила 26

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге изображена фигура. Найдите $$\angle ABD - \angle ACD$$ .Ответ выразите в градусах.

Ответ: 0
Скрыть

Пусть точка пересечения хорд О, тогда по свойству хорд: CO*OD=AO*OB. Если обе части поделить на OD и OB, то получим: $$\frac{CO}{OB}=\frac{AO}{OD}$$ С учетом того, что углы BOD и COD равны как вертикальные, то треугольники BOD и COA подобны, а значит $$\angle ABD = \angle ACD$$, и тогда их разность равна 0.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На столе лежат 10 карточек, на которых написаны числа от 1 до 10. Даша случайно вытягивает одну карточку. С какой вероятностью число на выбранной карточке больше 7?

Ответ: 0,3
Скрыть

Карточек с числом больше 7 всего 3 (8,9,10). Всего карточек 10. Тогда вероятность $$P=\frac{3}{10}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение: $$\cos \frac{\pi x}{7}=-1$$. В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: -7
Скрыть

$$\cos \frac{\pi x}{7}=-1 \Leftrightarrow $$$$\frac{\pi x}{7}=\pi +2*\pi*n ,n \in Z \Leftrightarrow $$$$ x=7+14n ,n \in Z$$
С учетом того, что n принадлежит целым числам, и нужен наибольший отрицательный, мы можем решить неравенство: $$7+14n< 0\Leftrightarrow $$$$n< -\frac{1}{2}$$. Получаем, что $$n=-1$$, тогда $$x=7+14*(-1)=-7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Известно, что $$\angle ACB = 30^{\circ}$$ и $$\angle BAL = 22^{\circ}$$. Найдите $$\angle ABC$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 106
Скрыть

AL - биссектриса, значит $$\angle BAL =\angle CAL = 22^{\circ}$$, тогда $$\angle CAB = 44^{\circ}$$. Следовательно, по свойству треугольника: $$\angle ABC = 180 - 44 - 30 = 106^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f(x)$$, определенной на интервале (‐1;13). Определите количество целых чисел $$x_{i}$$, для которых $$f(x_{i})$$ отрицательно.

Ответ: 8
Скрыть

Следует понимать, что фразу первообразная F(x) для функции f(x), можно переделывать для себя, как функция g(x) для производной g'(x). И тогда нам необходимо найти все целые абсциссы, где производная отрицательная, а отрицательная он там , где функция убывает. Данные точки отмечены на графике:

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Прямоугольник ABCD, у которого AB=4, AD=3, вращается вокруг прямой AD. Найдите площадь S поверхности тела вращения. В ответе укажите $$\frac{S}{\pi}$$ .

Ответ: 56
Скрыть

В данном случае мы получаем цилиндр. Площадь поверхности цилиндра вычисляется как: $$S=2\pi *R(R+h)$$, где R - радиус основания, в нашем случае он равен AB, и h - высота, в нашем случае она равна AD. Тогда: $$S=2\pi *4(4+3)=56\pi$$. Ответ необходимо указать без $$\pi$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$1,75^{\frac{1}{9}}*4^{\frac{2}{9}}*7^{\frac{8}{9}}$$

Ответ: 28
Скрыть

$$1,75^{\frac{1}{9}}*4^{\frac{2}{9}}*28^{\frac{8}{9}}=$$$$(\frac{7}{4})^{\frac{1}{9}}*4^{\frac{2}{9}}*(4*7)^{\frac{8}{9}}=$$$$4^{-\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{8}{9}}*7^{\frac{1}{9}+\frac{8}{9}}=4*7=28$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На верфи инженеры проектируют новый подводный зонд для изучения морских глубин. Конструкция будет крепиться ко дну при помощи троса. Зонд имеет кубическую форму, а значит, сила натяжения троса определяется по формуле: $$T=\rho gl^{3}-mg$$ , где l —линейный размер аппарата в метрах, ρ=1000 кг/м3— плотность воды, g—ускорение свободного падения (считайте g=10 Н/кг), а m=83кг— масса зонда. Каковы могут быть максимальные линейные размеры зонда, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда сила натяжения троса будет не больше, чем 2600 Н? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 0,7
Скрыть

Подставим имеющиеся значения в формулу: $$2600=1000*10*l^{3}-10*83\Leftrightarrow $$$$l^{3}=\frac{2600+830}{10000}\Leftrightarrow $$$$l=\frac{343}{1000}=0,7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй ‐ длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Ответ: 6
Скрыть

Необходимо понять, как протекает данный процесс. За точку, которая передвигается, принимается нос второго сухогруза. В таком случае он проходит сначала расстояние 400 метров, потом длину первого 120 метров, потом свою длину 80 метров, и только с этого момента начинает его опережать, то есть проходит еще 600 метров. В таком случае общий путь S=1200 метров = 1,2 км. Далее можно рассмотреть эту задачу немного иначе. Раз один догоняет другого, мы можем представить, что первый стоит, а второй двигается к нему со скоростью, равной разности их скоростей, то есть то, что мы ищем. Время представляем в часах: 0,2 часа. И далее применяем стандартную формулу нахождения скорости через расстояние и время. Получаем: $$v=\frac{1,2}{0,2}=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=5-(x-14)\sqrt{x+13}$$ на отрезке [-9;3]

Ответ: 59
Скрыть

Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$y'=-(\sqrt{x+13}+\frac{1}{2\sqrt{x+13}}*(x-14))=0 \Leftrightarrow $$$$\frac{2x+26+x-14}{\sqrt{x+13}}=0 \Leftrightarrow $$$$x=-4$$. Нарисуем координатную прямую, отметим эту точку, расставим знаки производной и получим, что она является точкой максимума, так как она еще и попадает на заданный отрезок, то наибольшее значение будет именно там: $$y(-4)=5-(-4-14)\sqrt{-4+13}=5+18*3=59$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

A) Решите уравнение: $$3\sin^{2} x -\cos (\frac{9\pi}{2}-x)\sin (\frac{3\pi}{2}+x) -2 =0$$
Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[3\pi ; 4\pi]$$

Ответ: а)$$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n ; x=-arctg2 +\pi*n , n \in Z$$ б) $$\frac{13\pi}{4} ; 4\pi - arctg2$$
Скрыть

а)Воспользуемся формулами приведения: $$3\sin^{2} x -\cos (\frac{9\pi}{2}-x)\sin (\frac{3\pi}{2}+x) -2 =0\Leftrightarrow $$$$3\sin^{2} x +\sin x \cos x - 2(\sin^{2} x +\cos ^{2} x =0\Leftrightarrow $$$$\sin^{2} x +\sin x \cos x -2\cos^{2} x=0$$

Поделим обе части на $$\cos^{2} x \neq 0$$ и решим уравнение относительно $$tg x$$:

$$tg^{2} x +tg-2=0 \Leftrightarrow $$$$tgx=1 ; tgx=-2 \Leftrightarrow $$$$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n ; x=-arctg2 +\pi*n , n \in Z$$

б)Отметим на единичной окружности полученные решения и отрезок. Полученные решения представим как $$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi*n ; x=-\frac{3\pi}{4}+\pi*n$$

$$ x=-arctg2 +\pi*n \Leftrightarrow x=-arctg2 +2\pi*n ; x=\pi-arctg2 +\pi*n$$

Как видим, попадает только два. Чтобы найти первый мы к $$3\pi$$ прибавляем $$\frac{\pi}{4}$$ и получаем $$\frac{13\pi}{4}$$. Чтобы найти второй мы из $$4\pi$$ вычитаем $$arctg2$$ и получаем $$4\pi - arctg2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра АВ=6, AD=12, AA1=10. Точка Е принадлежит отрезку BD, причем ВЕ:ED=1:2. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки А, Е и середину ребра ВВ1
А) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью $$\alpha$$ является равнобедренным треугольником.
Б) Найдите расстояние от точки В1 до плоскости сечения
Ответ: $$\frac{30}{\sqrt{86}}$$
Скрыть

а) 1) Достроим AE до пересечения с BC в точке N. Тогда $$(AMN)=\alpha$$

2) $$\bigtriangleup AED \sim \bigtriangleup BFE$$ (по двум углам). Тогда $$\frac{BE}{ED}=\frac{BF}{AD}\Leftrightarrow $$$$BF=\frac{BE*AD}{ED}=\frac{1}{2}*12=6$$

3)$$AB=BF; BG\perp (ABC);BG$$-общая, значит $$\bigtriangleup ABG =\bigtriangleup GBF ; AG = GF$$

б)1)Расстояние от B до плоскости сечения такое же, как и от B1. Построим $$BH \perp AF$$: $$BH=\frac{1}{2}AF$$ ($$\bigtriangleup ABF$$ - прямоугольный и равнобедренный). $$BH = \frac{1}{2}*\sqrt{6^{2}+6^{2}}=3\sqrt{2}$$

2) Построим $$BF \perp GH ; BR \perp AF$$ (т.к. $$BH \perp AF$$, то по теореме о трех перпендикулярах). Тогда $$BR \perp \alpha$$, значит BR - расстояние

3) из $$\bigtriangleup GBH: BR=\frac{BG*BH}{GH}=$$$$\frac{5*3\sqrt{2}}{\sqrt{5^{2}+9*2}}=$$$$\frac{30}{\sqrt{86}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство : $$\log_{4} (x-1) * \log_{x-1} (x+2)> \log_{4}^{2} (x+2)$$

Ответ: (1;2)
Скрыть

Найдем ОДЗ:$$\left\{\begin{matrix}x-1> 0\\ x-1 \neq 1\\ x+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ x\in (1;2)\cup (2;+\infty )$$

Далее преобразуем неравенство используя свойства логарифмов:

$$\frac{1}{\log_{(x-1)} (4)} * \log_{x-1} (x+2)-\log_{4}^{2} (x+2)> 0\Leftrightarrow $$$$\frac{ \log_{x-1} (x+2)}{\log_{(x-1)} (4)}-\log_{4}^{2} (x+2)> 0 \Leftrightarrow $$$$\log_{4} (x+2)-\log_{4}^{2} (x+2)> 0 \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\log_{4} (x+2)> 0\\ \log_{4} (x+2)< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x> -1\\x< 2\end{matrix}\right.$$

С учетом ОДЗ получаем: $$\left\{\begin{matrix}x> 1\\x< 2\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Из вершин А и В тупоугольного треугольника АВС проведены высоты BQ и AH. Известно, что угол В – тупой, BC:CH=4:5, BH=BQ
А) Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника ABQ окружности в $$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ раз больше BQ
Б) Найдите площадь четырехугольника AHBQ, если площадь треугольника HQC равна 25
Ответ: $$13\frac{1}{3}$$
Скрыть

а)1)Пусть BC = 4x, тогда HB = BQ = x
2)$$\bigtriangleup BQC: QC = \sqrt{BC^{2}-QB^{2}}=\sqrt{15}x$$
3)$$\bigtriangleup AHC \sim \bigtriangleup BQC$$ (прямоугольные с общим острым углом). Тогда $$\frac{AH}{BQ}=\frac{HC}{QC}$$, значит $$AH=\frac{QB*HC}{QC}=\frac{\sqrt{15}x}{3}$$
4)По т. Пифагора из $$\bigtriangleup AHB: AB=\sqrt{AH^{2}+HB^{2}}=$$$$\frac{2\sqrt{6}}{3}x=\frac{2\sqrt{6}}{3}BQ$$
б)1)$$S_{AHQ}=S_{AHC}-S_{HQC}$$
так как треугольники имеют общий угол, то:$$\frac{S_{AHC}}{S_{HQC}}=\frac{CH*AC}{CH*CQ}\Leftrightarrow $$$$S_{AHC}=\frac{AC}{CQ}*S_{HQC}$$
2)$$\bigtriangleup AHB=\bigtriangleup AQB$$ (HB=BQ; общая гипотенуза). Тогда $$AQ=AH=\frac{\sqrt{15}}x{3}$$
$$AC=QC+AQ=\frac{4\sqrt{15}x}{3}$$
$$S_{AHC}=\frac{\frac{4\sqrt{15}x}{3}}{\sqrt{15}x}*25=\frac{100}{3}$$
$$S_{AHQ}=\frac{100}{3}-25=\frac{25}{3}$$
3)$$S_{HQB}=S_{HQC}-S_{QCB}$$
$$\frac{S_{QCB}}{S_{HQC}}=\frac{CB*CQ}{CH*CQ}\Leftrightarrow $$$$S_{QCB}=\frac{CB}{CH}*S_{HQC}=$$$$\frac{4x}{5x}*25=20$$
$$S_{HQB}=25-20=5$$
4)$$S_{AHQB}=\frac{25}{3}+5=13\frac{1}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Руслан вложил 1 млн. в банк под 14% годовых (начисление в конце года на общую сумму). При этом каждый месяц он снимает по Х тыс. рублей на проживание (начиная со 2 года) в течении 4 лет, и в конце 5 года после начисления процентов сумма оказалась не менее 1 млн. Определите какую максимальную сумму он мог снимать ежемесячно. В ответе укажите целочисленное значение в тысячах рублей?

Ответ: 13
Скрыть

Пусть начальная сумма $$S=10^{6}$$, процент $$a=14% , b =1 +\frac{a}{100}=\frac{57}{50}$$, M - сумма, которую снимал.

После 1го года на счет: Sb.

После 2го: Sb-12M - до начисления процента; (Sb-12M)b - после начисления процента.

После 3го: (Sb-12M)b-12M - до начисления процента; ((Sb-12M)b-12M)b - после начисления процента.

После 4го: ((Sb-12M)b-12M)b-12M - до начисления процента; (((Sb-12M)b-12M)b-12M)b - после начисления процента.

После 5го: (((Sb-12M)b-12M)b-12M)b-12M - до начисления процента; ((((Sb-12M)b-12M)b-12M)b-12M)b - после начисления процента.

Раскроем скобки и сделаем группировку слагаемых с 12M и запишем условие, сумма на счету больше первоначальной:

$$Sb^{5}-12M(b^{4}+b^{3}+b^{2}+b)> S$$

Вынесем еще b за скобки, и воспользуемся формулой:

$$b^{n-1}+b^{n-2}+b^{n-3}+....+1=\frac{b^{n}-1}{b-1}$$ $$Sb^{5}-12Mb(\frac{b^{4}-1}{b-1})> S$$

Подставим наши данные:

$$10^{6}(\frac{57}{50})^{5}-12M*\frac{57}{50}*(\frac{(\frac{57}{50})^{4}-1}{\frac{57}{50}-1})> 10^{6}$$

$$M< \frac{10^{6}*7(57^{5}-50^{5})}{12*15*50(57^{4}-50^{4})}$$

$$M< 13746,25...$$ Так как требуется наибольшее целое, то получаем M=13

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$a(2\log_{2} (|x|+2) - a -3)\sqrt{\log_{2} (|x|+2) -a +2}=0$$ имеет ровно два различных корня

Ответ: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$
Скрыть

1)$$a\neq 0$$ - иначе получаем 0 = 0, и, следовательно, множество корней

2)Пусть $$\log_{2} (|x|+2) = $$ y при этом будет строго больше 1, так как $$|x|+2 \geq 2 \Rightarrow \log_{2} (|x|+2)\geq 1$$ при всех х, и если y равен единице, то x = 0 и мы получаем всего один корень. Так же получаем ОДЗ с учетом корня четной степени: $$y \geq a-2$$

$$a(2y-a-3)\sqrt{y-a+2}=0\Leftrightarrow $$$$y_{1}=\frac{a+3}{2} ; y_{2} =a-2$$

Если мы имеем какой-либо корень y=m, то, из-за модуля, при обратной замене мы получим два корня по х. Следовательно, чтобы выполнялось условия существования именно двух корней по x, один корень по y не должен входить в ОДЗ. Отсюда 2 случая:

а) $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}\leq a-2\\ a-2> 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}a\geq 7\\ a> 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ a\geq 7$$

б)$$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}> a-2\\ \frac{a+3}{2}> 1\\ a-2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a< 7\\a> -1 \\ a< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$a\in (-1;3)$$

В результате получим: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На листочке написано несколько натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое‐то число m, выписываемое на доску, посторяется несколько раз, то на доске оставляется только одно такое число m, а все остальные числа, равные m, стираются. Например, если задуманы числа 2,3,4,5, то на доске будет записан набор 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14
А) Приведите пример записанных на листочке чисел, при которых на доске будет записан набор 2,4,6,8
Б) Существует ли пример таких записанных на листочке чисел, для которых на доске записан набор чисел 1,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14,17,18,19,20,22?
В) Приведите все примеры записанных на листочке чисел, для которых на доске будет записан набор чисел 9,10,11,19,20,21,22,30,31,32,33,41,42,43,52.
Ответ: а)2,2,2,2 б)нет в)9,10,11,11,11 или 9,10,11,22
Скрыть

а) Можно смело утверждать, что первое число из последовательности однозначно было записано на листке. В таком случае у нас точно была 2. Далее, чтобы получить 4, у нас должна была быть еще одно 2 или просто число 4. В первом случае затем, чтобы получить шесть придется добавить еще 2. И так же еще 2, чтобы получить 8. В итоге получаем последовательность чисел на листочке: 2,2,2,2. Для второго случая необходимо будет добавить еще одну 2. И получим 2,2,4.

б)Аналогично рассуждая получаем, что точно есть 1. Чтобы получить 3 она изначально должна присутствовать, или нужно число 2, или же изначально три единицы. Число 2 явно отсутствует, иначе оно было бы в последовательности, как и три единицы, так же была бы двойка. Значит уже есть 1 и 3. Далее у нас есть 5, чтобы ее получить у нас должна быть или 5, или 1,1,3 или 1,1,1,1,1 (варианты с 2ками уже отбросили). Крайние два не подходят, при сумме появилась бы двойка, значит есть 5, но тогда 3+5=8, а 8 отсутствует в последовательности, то есть не может быть

в) Аналогично с пунктом б рассуждая получаем, что точно есть 9, 10 и 11. А далее путем подборов находим, что нам понадобится еще 11 и 11, или же 22.