Перейти к основному содержанию

370 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 370 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №370 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$\log_2^2 x-\log_2 40\cdot\log_2 x+\log_2 125=0.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их произведение.
Ответ: 40
Скрыть

ОДЗ:

$$x>0$$

Замена: $$​log_2 x=t$$​

$$​t^2−(log_2 5+log_2 2^3)t+log_2 5^3​$$

Находим корни:

$$​t=\frac{\log_2 40\pm\sqrt{(3+\log_2 5)^2−12\log_2 5}}{2}​$$

​$$t=\frac{\log_2 40\pm\sqrt{(3−log_2 5)^2}}{2}$$​

$$​t=log_2 5​$$

$$​t=3​$$

Обратная замена:

$$\log_2 x=\log_2 5$$

$$\log_2 x=3$$

Откуда ​$$x=5​$$ и $$​x=8$$​ оба подходят под ОДЗ

$$5\cdot8=40$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Сергей получает паспорт. Последние три цифры номера паспорта — случайные. Найдите вероятность того, что последние три цифры — это цифры 1, 2 и 3 в каком-то порядке.
Ответ: 0,006
Скрыть

Всего возможных вариантов ​$$10\cdot10\cdot10=1000​$$

Благоприятных вариантов всего $$3!=6$$​ (это комбинации: 123,132,213,231,321,312)

$$​P(A)=\frac{6}{1000}=0,006$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

В параллеллограмме ABCD известно, что АВ=18, ВС=27, $$\sin \angle C=\frac{8}{9}.$$ Найдите большую высоту параллелограмма.

Ответ: 24
Скрыть

$$S=BC\cdot CD\cdot\sin\angle C=18\cdot27\cdot\frac{8}{9}=24\cdot18​$$

С другой стороны

​$$S=CD\cdot h=18\cdot h=24\cdot 18​$$

Откуда $$​h=24$$​ – это и есть большая высота (проверьте с $$S=BC\cdot h$$)

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\frac{2^{\log_{\sqrt[4]{2}}4}-3^{\log_{27}17^3}-8}{7^{4\log_{49}4}-5}$$
Ответ: 21
Скрыть

$$2^{\log_{\sqrt[4]{2}}4}=2^8$$

$$3^{\log_{27}17^3}=17$$

$$7^{4\log_{49}4}=16$$

$$\frac{256-17-8}{16-5}=21$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды, равен 5. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Ответ: 30
Скрыть

$$V=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h​$$

Высота h у SABC и всей пирамиды общая.

Значит отличаться они будут только площадями оснований.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна ​$$a.$$​

$$S_{ABC}=0,5\cdot a\cdot a\cdot\sin120=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$​ (т.к ABC - р.б., $$BC=AB=a$$ и $$\angle CBA=120$$)

$$​S_{шестиуг}=6\cdot S_{OBA}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$​

Значит, ​$$V=6V_{SABC}=6\cdot5=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$ - производной функции $$f(x).$$ Найдите целочисленную абсциссу точки, в которой касательная к графику $$y=f(x)$$ параллельна прямой $$y=2x+12$$ или совпадает с ней.

Ответ: 1
Скрыть

По геометрическому смыслу производной:

$$f​'(x_0)=k=2$$​

Значит мы ищем точку, где производная равна 2. Таких точек две, но т.к. просят целочисленную, то это ​$$x=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Скорость движения автомобиля $$v$$ (км/ч) и угловая скорость вращения вала двигателя $$\omega$$ (об/мин) связаны соотношением $$v=\frac{0,0006\cdot\pi d\omega}{kb},$$ где $$d$$ — диаметр колеса (см), $$k$$ — передаточное число дифференциала автомобиля, а $$b$$ - передаточное число коробки передач при выбранной передаче. В таблице указаны передаточные числа для автомобиля «Лада-Калина».

У автомобиля «Лада-Калина» диаметр колеса равен 46 см. Водитель двигается на 4-й передаче с постоянной скоростью. Прибор (тахометр) показывает, что число оборотов двигателя равно 2500 об/мин. Приняв $$\pi=3,14,$$ найдите скорость автомобиля в км/ч. Результат округлите до целого числа.

Ответ: 62
Скрыть

$$v=\frac{0,0006\cdot3,14\cdot46\cdot2500}{3,706\cdot0,941}\approx62$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Цифры некоторого трехзначного числа составляют геометрическую прогрессию. Если в этом числе переставить местами цифры сотен и единиц, то новое трехзначное число будет на 594 меньше искомого. Если же в искомом числе зачеркнуть цифру сотен и в полученном двузначном числе переставить его цифры, то новое двузначное число будет на 18 меньше числа, выраженного двумя последними цифрами искомого числа. Найти это число.
Ответ: 842
Скрыть

Пусть искомое число ​$$abc​$$

Тогда из условия

​$$b=b_0q$$​ и ​$$c=b_0q^2​,$$ где ​$$b_0$$​ – первый член геометрической прогрессии, а $$​q$$​ знаменатель

$$​abc=100b0+10b0q+b_0q^2​$$

Так же из условия

​$$abc=100b_0q^2+10b_0q+b_0+594​$$

Тогда приравнивая и преобразовывая

$$​99b_0q^2+594=99b_0​$$

$$​b_0q^2+6=b_0​$$

Еще одно уравнения также берем из условия

$$​10b_0q+b_0q^2=10b_0q^2+b_0q+18​$$

​$$b_0q^2+2=b_0q​$$

Теперь решая систему

$$​b_0q^2+6=b_0​$$

$$​b_0q^2+2=b_0q​$$

​$$q=0,5​$$ ($$q=1$$ нам не подходит, т.к будет деление на 0)

​$$b_0=8$$

$$abc=100\cdot8+10\cdot8\cdot0,5+8\cdot0,5^2=842$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображен график функции $$f(х)=a^{x+b}.$$ Найдите $$f(-7).$$

Ответ: 0,25
Скрыть

$$4=a^{1+b}​$$

$$​1=a^{-3+b}$$​

Откуда, логарифмируя, можно получить ​$$b=3​$$

​$$4=a^4$$​ пока так и оставим

$$​f(−7)=a^{−4}=\frac{1}{a^4}=\frac{1}{4}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».
Ответ: 0,12
Скрыть

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}​$$

​$$B$$ −​ “3” не выпало ни разу

​$$A$$ −​ сумма выпавших очков равна 8

$$​AB$$​ – {4,4}, {6,2},{2,6}

$$​P(B)=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}​$$

$$​P(AB)=\frac{3}{36}$$​

$$​P(A|B)=\frac{\frac{3}{36}}{\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}}=0,12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=x^3-3x^2-45x+7$$ на отрезке $$[5;7].$$
Ответ: -168
Скрыть

Найдем критические точки

​$$y'=0​$$

$$​3x^2−6x−45=0$$​

​$$x=−3​$$

$$​x=5​$$

По методу интервалов $$​x=5$$​ – точка минимума

​$$y(5)=−168$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$\frac{2\tg^2 x+5\tg x}{\sin2x+5\cos^2 x}=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{4\pi}{11};\frac{11\pi}{4}]$$

Ответ: А)$$\pi n,n\in Z$$ Б)$$\pi;2\pi$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 8. На ребрах ВС и A1D1 взяты соответственно точки К и L, а на ребре CD - точки М и N так, что BK=D1L=CM=DN=2.

А) Докажите, что косинус угла между прямыми KN и ML равен $$\frac{1}{\sqrt{13}}$$

Б) Найдите расстояние между прямыми KN и ML

Ответ: $$\frac{4}{\sqrt{3}}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\frac{|\log_9(2x+1)|-2}{\log_3\sqrt{2x+1}+1}<-1$$
Ответ: $$(-\frac{4}{9};1)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Фабрика получила заказ на изготовление 1005 деталей типа А и 2010 деталей типа В. Каждый из 192 рабочих фабрики затрачивает на изготовление двух деталей типа А время, за которое он мог бы изготовить одну деталь типа В. Каким образом следует разделить рабочих фабрики на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?
Ответ: 39 и 153
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Высота ВН треугольника АВС в $$\sqrt{2}$$ раз больше радиуса описанной около треугольника АВС окружности с центром О.

А) Доказать, что прямая, проходящая через точки К и М - основания перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АВ и ВС соответственно, проходит через точку О.

Б) Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности, если $$АВ=6, ВС=3\sqrt{2}$$

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$p,$$ при каждом из которых уравнение

$$36\cdot\sin(\arcsin\frac{x}{36})=\frac{(x-p)^2}{4}$$

имеет единственный корень

Ответ: $$\left\{-1\right\},(24;48]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

А) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

Б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

В) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Ответ: А) да, Б) нет, В)$$\frac{267}{7}$$