ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 203
Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 203 (alexlarin.com)
Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 203 (alexlarin.com)
Задание 4
В чемпионате мира участвуют 12 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Канады окажется в третьей группе?
В третьей группе 3 команды. Всего команд 12. $$P=\frac{3}{12}=0,25$$
Задание 6
Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=\frac{1}{6}t^{3}-2t^{2}-4t+3$$, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с?
$${x}'(t)=\frac{1}{2}t^{2}-4t-4=38$$
$$\frac{1}{2}t^{2}-4t-42=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$t^{2}-8t-84=0$$
$$D=64+336=20^{2}$$
$$t_{1}=\frac{8+20}{2}=14$$
$$t_{2}<0$$
Задание 7
Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые).
$$S=1\cdot3+1\cdot1+1\cdot2+1\cdot1+1\cdot1+1\cdot2+1\cdot2\cdot2+1\cdot2\cdot2=18$$
Задание 8
Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt[48]{3}\cdot\sqrt[16]{3}}{\sqrt[12]{3}}$$
$$\frac{\sqrt[48]{3}\cdot\sqrt[16]{3}}{\sqrt[12]{3}}=$$ $$=3^{\frac{1}{48}+\frac{1}{16}-\frac{1}{12}}=3^{0}=1$$
Задание 9
Плоский замкнутый контур площадью S = 0,625 м находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $$\varepsilon_{i}=aS\cos a$$, где α - острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, а = 16∙10‐4 Тл/с - постоянная, S - площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле α (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 5∙10‐4 В?
$$16\cdot10^{-4}\cdot0,625\cos\alpha\leq 5\cdot10^{-4}$$
$$10\cos\alpha\leq 5$$
$$\cos\alpha\leq\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha=60^{\circ}$$
Задание 10
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 800 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 45 секундам. Ответ дайте в метрах.
Пусть х - длина скорого поезда. $$\frac{0,8+x}{70+50}=\frac{45}{3600}$$
$$\frac{0,8+x}{120}=\frac{1}{80}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{0,8+x}{12}=\frac{1}{8}$$
$$6,4+8x=12$$ $$\Leftrightarrow$$ $$8x=5,6$$
$$\Leftrightarrow$$ $$x=0,7$$ км
Задание 11
Найдите точку минимума функции: $$y=(73-x)\cdot e^{73-x}$$
$$y=(73-x)\cdot e^{73-x}$$
$${y}'={(73-x)}'\cdot e^{73-x}+(73-x){(e^{73-x})}'=$$ $$=- e^{73-x}+(73-x)\cdot(-e^{73-x})=$$ $$-e^{73-x}(1+73-x)=0$$
$$x=74$$
Задание 13
Дана прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$.
Задание 15
Окружности с центрами в точках $$A, B$$ и $$C$$ и радиусами, равными $$a,b$$ и $$c$$ соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка $$K, M, P$$.
Задание 16
В июне планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
На сколько лет был взят кредит, если известно, что сумма выплат банку сверх взятого кредита после его полного погашения составила 3 млн. рублей?
Задание 18
На доске записано несколько (не менее трёх) различных натуральных чисел, меньших 100, среди которых есть число 51. Известно, что сумма любых двух из записанных чисел делится на какое‐либо из оставшихся чисел (*).
а) Да, например 17, 34, 51.
б) Да, например все нечетные и число 2. Любые суммы двух нечетных делятся на 2, 2 + 1 делится на 3, а все прочие суммы делятся на 1.
в) Очевидно, он мог стереть число 1 (поскольку 99 + 2 больше ни на что не делилось). Если он стер 2, то свойство сохранится. В самом деле, любая сумма делится на 1. Если же использовать сумму 1 + n, где n < 99, то она будет делиться на n + 1, а в том случае, если n = 99, полученная сумма будет делиться на 4. Если он стер p — нечетное простое число, то 1 + (p − 1) ни на что больше не делится. Если же он стер составное число, то свойство сохранится. В самом деле, любая сумма делится на 1. Если же использовать сумму 1 + (n − 1), то она будет делиться на любой делитель n, кроме единицы и самого числа (они под запретом). n − 1 не может быть делителем n при n > 2.