279 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.
Решаем ЕГЭ 279 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №279 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 279 вариант Ларина. Подробное решение 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №279 (alexlarin.com)
Задание 2
На диаграмме показана средняя температура в Самаре за каждый месяц 2001 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по приведенной диаграмме, сколько в 2001 году было месяцев с положительной средней температурой. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Задание 4
Вероятность того, что планшет выйдет из строя в течение первого года работы, равна 0,2. Если планшет проработал какое‐то время, то вероятность его поломки в течение следующего года такая же (планшет не содержит изнашивающихся деталей, поэтому вероятность его поломки не растет со временем). Найдите вероятность, что такой новый планшет выйдет из строя не позже чем через два года после покупки.
Задание 9
Небольшой мячик бросают под острым углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $$H=\frac{v_{0}^{2}}{4g}(1-\cos 2\alpha)$$ , где $$v_{0}=20$$ м/с – начальная скорость мячика, а g ‐ ускорение свободного падения (считайте м/с2). При каком значении угла $$\alpha$$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?
Задание 10
Расстояние в 180 км между пунктами А и Б автомобиль проехал со средней скоростью 40 км/ч. Часть пути по ровной дороге он ехал со скоростью 80 км/ч, а другую часть, по бездорожью, со скоростью 20 км/ч. Какое расстояние автомобиль проехал по ровной дороге?
Задание 13
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребрах AB и В1С1 отмечены точки K и L соответственно, причём АК=В1L= 2. Точка M – середина ребра A1C1. Плоскость $$\gamma$$ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
A) 1) Пусть $$KR\parallel AC$$; через $$L$$ проведем прямую $$\parallel KR=LH$$ $$\Rightarrow$$ $$LHKR=\gamma$$
2) $$B_{1}M\perp A_{1}C_{1}$$; $$BN\perp AC$$; $$(B_{1}MNB)\cup\gamma=QO$$; $$MB\cup QO=z$$
3) $$\bigtriangleup KRB\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BO}{BN}=\frac{BK}{BA}=\frac{2}{3}$$ $$(KR\parallel AC)$$, аналогично $$\bigtriangleup B_{1}HL\sim\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}Q}{B_{1}M}=\frac{B_{1}L}{b_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=\frac{2}{3}B_{1}M$$; $$BO=\frac{2}{3}BN_{1}$$, но $$B_{1}M=BN$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=B_{1}M$$. $$MB_{1}\parallel NB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle QMZ=\angle ZBO$$; $$\angle MQZ=\angle ZOB$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MQZ=\bigtriangleup OZB$$ $$\Rightarrow$$ $$MZ=ZB=\frac{1}{2}BM$$
4) $$BM=\sqrt{NM^{2}+NB^{2}}$$; $$NB=BC\cdot\sin C=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$MB=6$$ $$\Rightarrow$$ $$MZ=3$$; $$MQ=\frac{2}{3}MB_{1}=2\sqrt{3}$$
$$OQ=\sqrt{(OB-QB_{1})^{2}+MN^{2}}=\sqrt{12}$$
$$\cos\angle MZQ=\frac{MZ^{2}+ZQ^{2}-MQ^{2}}{2MZ\cdot ZQ}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MZQ=90^{\circ}$$
5) $$NB\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$MB\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ $$M\perp\gamma$$
Б) 1) $$MZ$$ - высота пирамиды $$HL=\frac{1}{3}A_{1}C_{1}=2$$; $$KR=\frac{2}{3}AC=4$$; $$QO=\sqrt{12}$$ и $$QO\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot S_{HLRK}\cdot MZ=\frac{1}{3}\cdot\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt{12}\cdot3=6\sqrt{3}$$
Задание 14
Решите неравенство $$\log_{3}(1+\frac{1}{x})-2\log_{9}(x-1)\leq \log_{3}(3x+4)-\log_{27} x^{6}$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+\frac{1}{x}>0&\\x-1>0&\\3x+4>0&\\x^{6}>0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+1}{x}>0&\\x>1&\\x>-\frac{3}{4}&\\x\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0&\\x>1&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x>1$$
Решение: $$\log_{3}(x+\frac{1}{x})-2\cdot\frac{1}{2}\log_{3}(x-1)\leq\log_{3}(3x-4)-3\cdot\frac{1}{3}\log_{3} x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{3}\frac{x^{2}+1}{x})-\log_{3}(x-1)\leq\log_{3}(3x-4)-\log_{3} x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+1}{x(x-1)}\leq\frac{3x-4}{x^{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x(x^{2}+1)-(3x-4)x}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)(x^{2}-4x+4)}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)(x-2)^{2}}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+1}{x-1}\leq0&\\x-2=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\geq-1&\\x<1&\end{matrix}\right.&\\x=2&\end{bmatrix}$$
С учетом ОДЗ: $$x=2$$
Задание 15
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е.
A) 1) $$\angle BCK=\angle KAB$$ (вписанные и опираются на одну хорду); $$\angle OAB=\angle ODB$$ (аналогично). Пусть они равны $$\alpha$$
2) $$\angle CAK=\angle KCE=1$$ (вписанный и угол между касательной и хордой); $$\angle OAD=\angle ODE=2$$ (аналогично); $$\angle CEM=\angle3$$; $$\angle MED=\angle4$$
3) из $$\bigtriangleup CDE$$: $$\angle C+\angle D+\angle E=180^{\circ}$$ или $$(\angle1+\alpha)+(\angle2-\alpha)+\angle3+\angle4=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle1+\angle2+\angle3+\angle4=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CAD+\angle CED=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ около $$ACED$$ можно описать окружность
Б) Т.к. около $$ACED$$ можно описать окружность, то $$\angle DCE=\angle EAD$$ (опираются на одну хорду), но $$\angle DCE=\angle BAC$$ $$\Rightarrow$$ $$angle BAC=\angle EAD$$; $$\angle ACD=\angle AED$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup ADE$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$$ $$\Rightarrow$$ $$AE=\frac{AC\cdot AD}{AB}=\frac{16\cdot15}{10}=24$$
Задание 16
В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:
Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?
По условию задания уменьшается долг на 100 тыс. или на сумму $$x$$ (которая понижается затем на 50 тыс. в год платежа). Т.е. сумма каждого платежа включает не только сумму в 100 или $$x$$ тыс, но и начисленные проценты за текущий год. Составим таблицу (лучше сначала заполнить "долг на начало")
| Год | Долг на начало (тыс.руб.) | Начисленный % | Итого выплачено |
| 2020 | 1000 | 50 | 100+(50) |
| 2021 | 900 | 45 | 45+($$x$$) |
| 2022 | $$900-x$$ | $$45-0,05x$$ | $$100+(45-0,05x)$$ |
| 2023 | $$800-x$$ | $$40-0,05x$$ | $$x-50+(40-0,05x)$$ |
| 2024 | $$850-2x$$ | $$4,25-0,1x$$ | $$100+(4,25-0,1x)$$ |
| 2025 | $$750-2x$$ | $$37,5-0,1x$$ | $$x-100+(37,5-0,1x)$$ |
| 2026 | $$850-3x$$ | $$42,5-0,15x$$ | $$100+(42,5-0,15x)$$ |
| 2027 | $$750-3x$$ | $$37,5-0,15x$$ | $$x-150+(37,5-0,15x)$$ |
| июль 2027 | 0 |
Получим,что $$750-3x=x-150$$ $$\Rightarrow$$ $$x=225$$. Сложим все суммы платежа: $$440+3,4x=440+3,4\cdot225=1205$$ тыс. было выплачено
Задание 17
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство $$a(1+(4-\sin x)^{4})>3-\cos^{2}x$$ выполнено при любом значении x
Пусть $$g(x)=3-\cos^{2}x$$. С учетом, что $$\cos^{2}x\in[0;1]$$, то $$g(x)\in[2;3]$$.
Пусть $$f(x)=1+(4+\sin x)^{4}$$. Т.к. $$\sin x\in[-1;1]$$, то $$4-\sin x\in[3;5]$$, тогда $$(4-\sin x)^{4}\in[81;625]$$ и $$f(x)\in[82;626]$$, тогда $$af(x)\in[a\cdot82;a\cdot626]$$
При этом $$af_{min}(x)=82\cdot a$$ при $$\sin x=1$$; $$g_{max}(x)=3$$, при $$\cos x=0$$. Т.е.: $$\left\{\begin{matrix}\sin x=1&\\\cos x=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi k&\\x=\frac{\pi}{2}+\pi n&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z$$
Т.е. принимают в одной точке, тогда чтобы решение было для любого $$a$$ необходимо выполнение $$af_{min}(x)>g_{max}(x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$82a>3$$ $$\Rightarrow$$ $$a>\frac{3}{82}$$
Задание 18
Имеется несколько камней, массы которых – различные натуральные числа
Какое минимальное количество таких кучек придется задействовать, чтобы гарантированно распределить данные камни.
а) Суммарная масса камней: $$\frac{1+10}{2}\cdot10=55$$. $$\frac{55}{6}=9\frac{1}{6}$$, т.е. не превосходит $$6\cdot10$$ (шесть кучек на максимальную массу одной), следовательно, необходимо подбирать. Например: $$1+9$$; $$2+8$$; $$3+7$$; $$4+6$$, $$5$$ - пять кучек, разобьем одну из них и получим $$6$$ $$\Rightarrow$$ да, можно.
б) Найдем общее количество камней, используя формулы арифметической прогрессии: $$468=370+2(n-6)$$ $$\Rightarrow$$ $$n=50$$ камней. Если разбивать попровну, то получим 7 кучек по 7 и одну кучку по 8 камней. Минимальное значение кучки с 8 камнями: $$370+372+...+384=3016$$, что больше 3000. При любом другом разбиении будет хотя бы одна кучка с 8 или более камнями $$\Rightarrow$$ нет, нельзя.
в) Очевидно, что необходимо использовать максимальные массы , начиная со 100 (100, 99, 98 и т.д.). При этом понадобится $$n$$ камней, чтобы набрать 4000 (т.е. рассмотреть арифметическую прогрессию, убывающую,где $$a_{1}=100$$, $$d=-1$$): $$\frac{2\cdot100-1(n-1)}{2}\cdot n\leq4000$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(200-n+1)\cdot n\leq8000$$ $$\Rightarrow$$ $$-n^{2}+201n-8000\leq0$$ $$\Rightarrow$$ $$n^{2}-201n+8000\leq0$$
$$D=40401-32000=8401\in(91^{2};92^{2})$$
$$n_{1}=\frac{201+\sqrt{8401}}{2}\in(146;147)$$
$$n_{2}=\frac{201-\sqrt{8401}}{2}\in(54;55)$$
Т.к. $$n\leq100$$, то рассматриваем $$n_{2}$$, т.е. $$n=54$$
При этом $$a_{54}=47$$ Т.к. сумма $$\leq100$$, то $$47+53$$; $$48+52$$; $$49+51$$ дают $$\leq100$$ $$\Rightarrow$$ число кучи будет не 54, а $$54-3=51$$