Перейти к основному содержанию

279 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.

Решаем ЕГЭ 279 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №279 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 279 вариант Ларина. Подробное решение 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №279 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Летом килограмм клубники стоит 60 рублей. Маша купила 3 кг 800 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна была получить с 250 рублей?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показана средняя температура в Самаре за каждый месяц 2001 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по приведенной диаграмме, сколько в 2001 году было месяцев с положительной средней температурой. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 5. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Вероятность того, что планшет выйдет из строя в течение первого года работы, равна 0,2. Если планшет проработал какое‐то время, то вероятность его поломки в течение следующего года такая же (планшет не содержит изнашивающихся деталей, поэтому вероятность его поломки не растет со временем). Найдите вероятность, что такой новый планшет выйдет из строя не позже чем через два года после покупки.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\sqrt{x+4}+x-2=0$$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 45. Найдите радиус окружности.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ ‐ производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале $$(-10;10)$$. Найдите количество точек максимума функции $$f(x)$$ , принадлежащих отрезку $$[-9;8]$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 площадь основания равна 13, а боковое ребро равно 12. Найдите объем призмы ACDFA1C1D1F1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$((\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{27})^{2}+7)((\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{27})^{2}-7)$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Небольшой мячик бросают под острым углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $$H=\frac{v_{0}^{2}}{4g}(1-\cos 2\alpha)$$ , где $$v_{0}=20$$ м/с – начальная скорость мячика, а g ‐ ускорение свободного падения (считайте м/с2). При каком значении угла $$\alpha$$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Расстояние в 180 км между пунктами А и Б автомобиль проехал со средней скоростью 40 км/ч. Часть пути по ровной дороге он ехал со скоростью 80 км/ч, а другую часть, по бездорожью, со скоростью 20 км/ч. Какое расстояние автомобиль проехал по ровной дороге?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=14\sqrt{2}\sin x-14x+3,5\pi+3$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sin(\pi-x)-\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\frac{3\pi}{2}]$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребрах AB и В1С1 отмечены точки K и L соответственно, причём АК=В1L= 2. Точка M – середина ребра A1C1. Плоскость $$\gamma$$ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости $$\gamma$$ .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка M, а основание – сечение данной призмы плоскостью $$\gamma$$
Ответ: $$6\sqrt{3}$$
Скрыть

A) 1) Пусть $$KR\parallel AC$$; через $$L$$ проведем прямую $$\parallel KR=LH$$ $$\Rightarrow$$ $$LHKR=\gamma$$

2) $$B_{1}M\perp A_{1}C_{1}$$; $$BN\perp AC$$; $$(B_{1}MNB)\cup\gamma=QO$$; $$MB\cup QO=z$$

3) $$\bigtriangleup KRB\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BO}{BN}=\frac{BK}{BA}=\frac{2}{3}$$ $$(KR\parallel AC)$$, аналогично $$\bigtriangleup B_{1}HL\sim\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}Q}{B_{1}M}=\frac{B_{1}L}{b_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=\frac{2}{3}B_{1}M$$; $$BO=\frac{2}{3}BN_{1}$$, но $$B_{1}M=BN$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=B_{1}M$$. $$MB_{1}\parallel NB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle QMZ=\angle ZBO$$; $$\angle MQZ=\angle ZOB$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MQZ=\bigtriangleup OZB$$ $$\Rightarrow$$ $$MZ=ZB=\frac{1}{2}BM$$

4) $$BM=\sqrt{NM^{2}+NB^{2}}$$; $$NB=BC\cdot\sin C=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$MB=6$$ $$\Rightarrow$$ $$MZ=3$$; $$MQ=\frac{2}{3}MB_{1}=2\sqrt{3}$$

$$OQ=\sqrt{(OB-QB_{1})^{2}+MN^{2}}=\sqrt{12}$$

$$\cos\angle MZQ=\frac{MZ^{2}+ZQ^{2}-MQ^{2}}{2MZ\cdot ZQ}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MZQ=90^{\circ}$$

5) $$NB\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$MB\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ $$M\perp\gamma$$

Б) 1) $$MZ$$ - высота пирамиды $$HL=\frac{1}{3}A_{1}C_{1}=2$$; $$KR=\frac{2}{3}AC=4$$; $$QO=\sqrt{12}$$ и $$QO\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot S_{HLRK}\cdot MZ=\frac{1}{3}\cdot\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt{12}\cdot3=6\sqrt{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{3}(1+\frac{1}{x})-2\log_{9}(x-1)\leq \log_{3}(3x+4)-\log_{27} x^{6}$$

Ответ: $$x=2$$
Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+\frac{1}{x}>0&\\x-1>0&\\3x+4>0&\\x^{6}>0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+1}{x}>0&\\x>1&\\x>-\frac{3}{4}&\\x\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0&\\x>1&\end{matrix}\right.$$  $$\Rightarrow$$ $$x>1$$ 

Решение: $$\log_{3}(x+\frac{1}{x})-2\cdot\frac{1}{2}\log_{3}(x-1)\leq\log_{3}(3x-4)-3\cdot\frac{1}{3}\log_{3} x^{2}$$  $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{3}\frac{x^{2}+1}{x})-\log_{3}(x-1)\leq\log_{3}(3x-4)-\log_{3} x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+1}{x(x-1)}\leq\frac{3x-4}{x^{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x(x^{2}+1)-(3x-4)x}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)(x^{2}-4x+4)}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)(x-2)^{2}}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+1}{x-1}\leq0&\\x-2=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\geq-1&\\x<1&\end{matrix}\right.&\\x=2&\end{bmatrix}$$

С учетом ОДЗ: $$x=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е.

   а) Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность
   б) Найдите АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15.
Ответ: 24
Скрыть

A) 1) $$\angle BCK=\angle KAB$$ (вписанные и опираются на одну хорду); $$\angle OAB=\angle ODB$$ (аналогично). Пусть они равны $$\alpha$$

2) $$\angle CAK=\angle KCE=1$$ (вписанный и угол между касательной и хордой); $$\angle OAD=\angle ODE=2$$ (аналогично); $$\angle CEM=\angle3$$; $$\angle MED=\angle4$$

3) из $$\bigtriangleup CDE$$: $$\angle C+\angle D+\angle E=180^{\circ}$$ или $$(\angle1+\alpha)+(\angle2-\alpha)+\angle3+\angle4=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle1+\angle2+\angle3+\angle4=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CAD+\angle CED=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ около $$ACED$$ можно описать окружность

Б) Т.к. около $$ACED$$ можно описать окружность, то $$\angle DCE=\angle EAD$$ (опираются на одну хорду), но $$\angle DCE=\angle BAC$$ $$\Rightarrow$$ $$angle BAC=\angle EAD$$; $$\angle ACD=\angle AED$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup ADE$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$$ $$\Rightarrow$$ $$AE=\frac{AC\cdot AD}{AB}=\frac{16\cdot15}{10}=24$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:

   ‐ каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года
   ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
   ‐ в 2020, 2022, 2024, 2026 годах надо выплатить 100 000 рублей;
   ‐ в остальные годы необходимо выплатить суммы, отличающиеся друг от друга на 50 000 рублей (в 2021 самая крупная выплата, в 2023 – на 50 000 рублей меньше и т.д.)
   ‐ в июле 2027 года сумма долга должна равняться нулю.

Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 1205
Скрыть

По условию задания уменьшается долг на 100 тыс. или на сумму $$x$$ (которая понижается затем на 50 тыс. в год платежа). Т.е. сумма каждого платежа включает не только сумму в 100 или $$x$$ тыс, но и начисленные проценты за текущий год. Составим таблицу (лучше сначала заполнить "долг на начало")

Год Долг на начало (тыс.руб.) Начисленный % Итого выплачено
2020 1000 50 100+(50)
2021 900 45 45+($$x$$)
2022 $$900-x$$ $$45-0,05x$$ $$100+(45-0,05x)$$
2023 $$800-x$$ $$40-0,05x$$ $$x-50+(40-0,05x)$$
2024 $$850-2x$$ $$4,25-0,1x$$ $$100+(4,25-0,1x)$$
2025 $$750-2x$$ $$37,5-0,1x$$ $$x-100+(37,5-0,1x)$$
2026 $$850-3x$$ $$42,5-0,15x$$ $$100+(42,5-0,15x)$$
2027 $$750-3x$$ $$37,5-0,15x$$ $$x-150+(37,5-0,15x)$$
июль 2027 0    

Получим,что $$750-3x=x-150$$ $$\Rightarrow$$ $$x=225$$. Сложим все суммы платежа: $$440+3,4x=440+3,4\cdot225=1205$$ тыс. было выплачено

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство $$a(1+(4-\sin x)^{4})>3-\cos^{2}x$$ выполнено при любом значении x

Ответ: $$a>\frac{3}{82}$$
Скрыть

Пусть $$g(x)=3-\cos^{2}x$$. С учетом, что $$\cos^{2}x\in[0;1]$$, то $$g(x)\in[2;3]$$.

Пусть $$f(x)=1+(4+\sin x)^{4}$$. Т.к. $$\sin x\in[-1;1]$$, то $$4-\sin x\in[3;5]$$, тогда $$(4-\sin x)^{4}\in[81;625]$$ и $$f(x)\in[82;626]$$, тогда $$af(x)\in[a\cdot82;a\cdot626]$$

При этом $$af_{min}(x)=82\cdot a$$ при $$\sin x=1$$; $$g_{max}(x)=3$$, при $$\cos x=0$$. Т.е.: $$\left\{\begin{matrix}\sin x=1&\\\cos x=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi k&\\x=\frac{\pi}{2}+\pi n&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z$$

Т.е. принимают в одной точке, тогда чтобы решение было для любого $$a$$ необходимо выполнение $$af_{min}(x)>g_{max}(x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$82a>3$$ $$\Rightarrow$$ $$a>\frac{3}{82}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Имеется несколько камней, массы которых – различные натуральные числа

   а) Можно ли разложить 50 камней с массами 1,2,3…,10 по 6‐ти кучкам, чтобы вес каждой кучки не превосходил 10?
   б) Можно ли разложить камни массами 370,372,374…468 на семь кучек, чтобы вес каждой кучки не превосходил 3000?
   в) Дополнительно известно, что общая сумма масс камней равна 4000, а масса каждой кучки, как и каждого камня не превосходит 100.

Какое минимальное количество таких кучек придется задействовать, чтобы гарантированно распределить данные камни.

Ответ: а) можно; б) нельзя; в) 51
Скрыть

а) Суммарная масса камней: $$\frac{1+10}{2}\cdot10=55$$. $$\frac{55}{6}=9\frac{1}{6}$$, т.е. не превосходит $$6\cdot10$$ (шесть кучек на максимальную массу одной), следовательно, необходимо подбирать. Например: $$1+9$$; $$2+8$$; $$3+7$$; $$4+6$$, $$5$$ - пять кучек, разобьем одну из них и получим $$6$$ $$\Rightarrow$$ да, можно.

б) Найдем общее количество камней, используя формулы арифметической прогрессии: $$468=370+2(n-6)$$ $$\Rightarrow$$ $$n=50$$ камней. Если разбивать попровну, то получим 7 кучек по 7 и одну кучку по 8 камней. Минимальное значение кучки с 8 камнями: $$370+372+...+384=3016$$, что больше 3000. При любом другом разбиении будет хотя бы одна кучка с 8 или более камнями $$\Rightarrow$$ нет, нельзя.

в) Очевидно, что необходимо использовать максимальные массы , начиная со 100 (100, 99, 98 и т.д.). При этом понадобится $$n$$ камней, чтобы набрать 4000 (т.е. рассмотреть арифметическую прогрессию, убывающую,где $$a_{1}=100$$, $$d=-1$$): $$\frac{2\cdot100-1(n-1)}{2}\cdot n\leq4000$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(200-n+1)\cdot n\leq8000$$ $$\Rightarrow$$ $$-n^{2}+201n-8000\leq0$$ $$\Rightarrow$$ $$n^{2}-201n+8000\leq0$$

$$D=40401-32000=8401\in(91^{2};92^{2})$$

$$n_{1}=\frac{201+\sqrt{8401}}{2}\in(146;147)$$

$$n_{2}=\frac{201-\sqrt{8401}}{2}\in(54;55)$$

Т.к. $$n\leq100$$, то рассматриваем $$n_{2}$$, т.е. $$n=54$$

При этом $$a_{54}=47$$ Т.к. сумма $$\leq100$$, то $$47+53$$; $$48+52$$; $$49+51$$ дают $$\leq100$$ $$\Rightarrow$$ число кучи будет не 54, а $$54-3=51$$