Перейти к основному содержанию

215 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 215 вариант Ларина 215. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №215 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 215 вариант Ларина 215. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №215 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 8%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 500 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Ответ: 550
Скрыть

$$500-92$$ %
$$x-100$$ %
$$x=\frac{500\cdot100}{92}=543,47$$ $$\Rightarrow 550$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показано количество выплавляемой меди в 10 странах мира в 2006 году. По горизонтали указываются страны, по вертикали – количество выплавляемой
меди (в тысячах тонн). Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место – Казахстан. Какое место занимала Индонезия?

 

Ответ: 5
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Ответ: 10,5
Скрыть

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{3+4}{2}\cdot3=3,5\cdot3=10,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Петров полетит третьим рейсом вертолёта. (Известно, что в туристической группе однофамильцев нет).

Ответ: 0,125
Скрыть

$$P=\frac{n}{N}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0,125$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения: $$\log_{5}(3x+5)=-1$$

Ответ: -1,6
Скрыть

$$\log_{5}(3x+5)=-1$$
$$3x+5=5^{-1}=0,2$$
$$3x=-4,8$$
$$x=-1,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC AC=BC, AD – высота, угол BAD равен 8°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

 

Ответ: 16
Скрыть

$$\bigtriangleup ABD$$: $$\angle B=90-\angle A=90-8=82^{\circ}$$
$$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle C=180-\angle A-\angle B=180-2\cdot82^{\circ}=16^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция у = f (x) определена на промежутке [‐4; 5]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек графика функции у = f (x), касательная в которых параллельна прямой 5х – 2у = 1 или совпадает с ней.

 

Ответ: 4
Скрыть

$$5x-2y=1$$
$$5x-1=2y$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{5x}{2}-\frac{1}{2}$$
$$y'=\frac{5}{2}$$ $$\Rightarrow$$ 4 точки

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Площадь поверхности шара равна 60. Найдите площадь большого круга шара.

 

Ответ: 15
Скрыть

Sкруга$$=\pi R^{2}$$

Sшара$$=4\pi R^{2}$$=4Sкруга $$\Rightarrow$$

Sкруга$$=\frac{60}{4}=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$\frac{2^{12}\cdot5^{11}}{100^{6}}$$

Ответ: 0,2
Скрыть

$$\frac{2^{12}\cdot5^{11}}{100^{6}}=\frac{2^{12}\cdot5^{11}}{(2^{2}\cdot5^{2})^{6}}=$$

$$\frac{2^{12}\cdot5^{11}}{2^{12}\cdot5^{12}}=\frac{1}{5}=0,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в мин.) для нагревателя некоторого прибора задается выражением $$T(t)=T_{0}+at+bt^{2}$$, где Т0=1000 К, а=48 К/мин, b = – 0,4 К/мин2. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1440 К прибор может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

Ответ: 10
Скрыть

$$1440=1000+48t-0,4t^{2}$$
$$t^{2}-120t+1100=0$$
$$\left\{\begin{matrix}t_{1}+t_{2}=120\\t_{1}\cdot t_{2}=1100\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$t_{1}=10$$
$$t_{2}=110$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 24
Скрыть

tплота$$=\frac{40}{4}=10$$ (ч) - время плота

$$10-1=9$$ (ч) - время яхты

Пусть х - собственная скорость яхты

$$\frac{105}{x+4}+\frac{105}{x-4}=9$$

$$105x-420+105x+420=9(x^{2}-16)$$

$$9x^{2}-210x-144=0$$

$$3x^{2}-70x-48=0$$

$$D=4900+576=5476=74^{2}$$

$$x_{1}=\frac{70+74}{6}=24$$

$$x_{2}<0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции: $$f(x)=6-\log_{2}(16x-x^{2})$$

Ответ: 0
Скрыть

$$f(x)=6-\log_{2}(16x-x^{2})$$
$$x_{0}=\frac{-16}{-2}=8$$
$$f(8)=6-\log_{2}(16\cdot8-8^{2})=f(8)=6-\log_{2}64=6-6=0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Дано уравнение $$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ .
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Ответ: а) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n$$; $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$; б) $$\frac{17\pi}{4}$$; $$\frac{19\pi}{4}$$
Скрыть

$$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x>0\\\cos^{2}x>0\\\sin x\neq1\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x\in(2\pi n;\pi+2\pi n)\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$
$$\frac{1}{\log_{\sin x}2}\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$
$$\frac{\log_{\sin x}\cos^{2}x}{\log_{\sin x}2}=-1$$
$$\log_{2}\cos^{2}x=-1$$
$$\cos^{2}x=\frac{1}{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\\x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$
С учетом ОДЗ: $$x_{1}=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$
$$x_{2}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$
б) $$4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}$$
$$5\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{19\pi}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 точка К – середина ребра АВ.
а) Докажите, что плоскость СКD1 делит объем параллелепипеда в отношении 7:17.
Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD1, если известно, что ребра АВ, АD и АА1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.

Ответ: $$\frac{24\sqrt{41}}{41}$$
Скрыть

a) 1) C и K соединим, C и D1 соединим

2) т.к. $$(ABB_{1})\parallel(DCC_{1})$$ $$\Rightarrow$$ $$CD_{1}\parallel a$$, а через точку К $$a\cap AA_{1}=M$$ $$\Rightarrow$$ $$D_{1}$$ и М соединим $$\Rightarrow$$ $$CD_{1}MK$$ - сечение

3) Продолжим $$D_{1}M$$ и $$CK$$ до пересечения в Н.

4) Пусть $$DD_{1}=x$$ $$DC=y$$ $$AD=z$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=x\cdot y\cdot z$$

$$V_{AMKDD_{1}C}=\frac{1}{3}AD(S_{AMK}+\sqrt{S_{AMK}\cdot S_{DD_{1}C}}+S_{DD_{1}C})$$

т.к. $$AK=\frac{1}{2}DC$$  и $$AK\parallel CD$$, $$CD_{1}\parallel KM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMK\sim \bigtriangleup DD_{1}C$$

$$S_{DD_{1}C}=\frac{1}{2}x\cdot y$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AMK}=\frac{1}{4}S_{DD_{1}C}=\frac{1}{8}x\cdot y$$

$$V_{AMKDD_{1}C}=\frac{1}{3}z\cdot(\frac{1}{8}xy+\sqrt{\frac{1}{8}xy\cdot\frac{1}{2}xy}+\frac{1}{2}xy)=$$

$$=\frac{1}{3}z\cdot(\frac{1}{8}xy+\frac{1}{4}xy+\frac{1}{2}xy)=\frac{1}{3}z\cdot\frac{7}{8}xy=$$

$$={7}{24}xyz$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ocm}=xyz-\frac{7}{24}xyz=\frac{17}{24}xyz$$

5) $$\frac{V_{AMKDD_{1}C}}{V_{ocm}}=\frac{\frac{7}{24}xyz}{\frac{17}{24}xyz}=\frac{7}{17}$$

ч.т.д.

б) Вводим ортгональную систему координат:

$$C(6;0;0)$$

$$K(3;4;0)$$

$$D_{1}(0;0;6)$$

Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ уравнение $$(CKD_{1})$$:

$$\left\{\begin{matrix}6a+0b+0c+d=0\\3a+4b+0c+d=0\\0a+0b+6c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}6a+d=0\\3a+4b+d=0\\6c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{6}\\-\frac{d}{6}+4b+d=0\\c=-\frac{d}{6}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{6}\\b=-\frac{d}{8}\\c=-\frac{d}{6}\end{matrix}\right.$$

$$-\frac{d}{6}x-\frac{d}{8}y-\frac{d}{6}z+d=0$$

$$-\frac{1}{6}x-\frac{1}{8}y-\frac{1}{6}z+1=0$$

$$D(0;0;0)$$

$$d(D;(CKD_{1}))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$

$$=\frac{|-\frac{1}{6}\cdot0-\frac{1}{8}\cdot0-\frac{1}{6}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{1}{64}+\frac{1}{36}}}=$$

$$=\frac{1}{\sqrt{\frac{41}{64\cdot9}}}=\frac{3\cdot8}{\sqrt{41}}=\frac{24\sqrt{41}}{41}$$