215 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Решаем ЕГЭ 215 вариант Ларина 215. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №215 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 215 вариант Ларина 215. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №215 (alexlarin.com)
Задание 1
При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 8%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 500 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?
$$500-92$$ % $$x-100$$ % $$x=\frac{500\cdot100}{92}=543,47$$ $$\Rightarrow 550$$
Задание 2
На диаграмме показано количество выплавляемой меди в 10 странах мира в 2006 году. По горизонтали указываются страны, по вертикали – количество выплавляемой меди (в тысячах тонн). Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место – Казахстан. Какое место занимала Индонезия?
Задание 3
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{3+4}{2}\cdot3=3,5\cdot3=10,5$$
Задание 4
В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Петров полетит третьим рейсом вертолёта. (Известно, что в туристической группе однофамильцев нет).
$$P=\frac{n}{N}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0,125$$
Задание 5
В треугольнике ABC AC=BC, AD – высота, угол BAD равен 8°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
$$\bigtriangleup ABD$$: $$\angle B=90-\angle A=90-8=82^{\circ}$$ $$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle C=180-\angle A-\angle B=180-2\cdot82^{\circ}=16^{\circ}$$
Задание 6
Функция у = f (x) определена на промежутке [‐4; 5]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек графика функции у = f (x), касательная в которых параллельна прямой 5х – 2у = 1 или совпадает с ней.
$$5x-2y=1$$ $$5x-1=2y$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{5x}{2}-\frac{1}{2}$$ $$y'=\frac{5}{2}$$ $$\Rightarrow$$ 4 точки
Задание 8
Найдите значение выражения: $$\frac{2^{12}\cdot5^{11}}{100^{6}}$$
$$\frac{2^{12}\cdot5^{11}}{100^{6}}=\frac{2^{12}\cdot5^{11}}{(2^{2}\cdot5^{2})^{6}}=$$
$$\frac{2^{12}\cdot5^{11}}{2^{12}\cdot5^{12}}=\frac{1}{5}=0,2$$
Задание 9
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в мин.) для нагревателя некоторого прибора задается выражением $$T(t)=T_{0}+at+bt^{2}$$, где Т0=1000 К, а=48 К/мин, b = – 0,4 К/мин2. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1440 К прибор может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
$$1440=1000+48t-0,4t^{2}$$ $$t^{2}-120t+1100=0$$ $$\left\{\begin{matrix}t_{1}+t_{2}=120\\t_{1}\cdot t_{2}=1100\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$t_{1}=10$$ $$t_{2}=110$$
Задание 10
Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
tплота$$=\frac{40}{4}=10$$ (ч) - время плота
$$10-1=9$$ (ч) - время яхты
Пусть х - собственная скорость яхты
$$\frac{105}{x+4}+\frac{105}{x-4}=9$$
$$105x-420+105x+420=9(x^{2}-16)$$
$$9x^{2}-210x-144=0$$
$$3x^{2}-70x-48=0$$
$$D=4900+576=5476=74^{2}$$
$$x_{1}=\frac{70+74}{6}=24$$
$$x_{2}<0$$
Задание 11
Найдите наименьшее значение функции: $$f(x)=6-\log_{2}(16x-x^{2})$$
$$f(x)=6-\log_{2}(16x-x^{2})$$ $$x_{0}=\frac{-16}{-2}=8$$ $$f(8)=6-\log_{2}(16\cdot8-8^{2})=f(8)=6-\log_{2}64=6-6=0$$
Задание 12
Дано уравнение $$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ .
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x>0\\\cos^{2}x>0\\\sin x\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x\in(2\pi n;\pi+2\pi n)\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\frac{1}{\log_{\sin x}2}\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\frac{\log_{\sin x}\cos^{2}x}{\log_{\sin x}2}=-1$$ $$\log_{2}\cos^{2}x=-1$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\\x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ С учетом ОДЗ: $$x_{1}=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ $$x_{2}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ б) $$4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}$$ $$5\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{19\pi}{4}$$
Задание 13
В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 точка К – середина ребра АВ.
а) Докажите, что плоскость СКD1 делит объем параллелепипеда в отношении 7:17.
Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD1, если известно, что ребра АВ, АD и АА1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.
a) 1) C и K соединим, C и D1 соединим
2) т.к. $$(ABB_{1})\parallel(DCC_{1})$$ $$\Rightarrow$$ $$CD_{1}\parallel a$$, а через точку К $$a\cap AA_{1}=M$$ $$\Rightarrow$$ $$D_{1}$$ и М соединим $$\Rightarrow$$ $$CD_{1}MK$$ - сечение
3) Продолжим $$D_{1}M$$ и $$CK$$ до пересечения в Н.
4) Пусть $$DD_{1}=x$$ $$DC=y$$ $$AD=z$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=x\cdot y\cdot z$$
$$V_{AMKDD_{1}C}=\frac{1}{3}AD(S_{AMK}+\sqrt{S_{AMK}\cdot S_{DD_{1}C}}+S_{DD_{1}C})$$
т.к. $$AK=\frac{1}{2}DC$$ и $$AK\parallel CD$$, $$CD_{1}\parallel KM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMK\sim \bigtriangleup DD_{1}C$$
$$S_{DD_{1}C}=\frac{1}{2}x\cdot y$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AMK}=\frac{1}{4}S_{DD_{1}C}=\frac{1}{8}x\cdot y$$
$$V_{AMKDD_{1}C}=\frac{1}{3}z\cdot(\frac{1}{8}xy+\sqrt{\frac{1}{8}xy\cdot\frac{1}{2}xy}+\frac{1}{2}xy)=$$
$$=\frac{1}{3}z\cdot(\frac{1}{8}xy+\frac{1}{4}xy+\frac{1}{2}xy)=\frac{1}{3}z\cdot\frac{7}{8}xy=$$
$$={7}{24}xyz$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ocm}=xyz-\frac{7}{24}xyz=\frac{17}{24}xyz$$
5) $$\frac{V_{AMKDD_{1}C}}{V_{ocm}}=\frac{\frac{7}{24}xyz}{\frac{17}{24}xyz}=\frac{7}{17}$$
ч.т.д.
б) Вводим ортгональную систему координат:
$$C(6;0;0)$$
$$K(3;4;0)$$
$$D_{1}(0;0;6)$$
Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ уравнение $$(CKD_{1})$$:
$$\left\{\begin{matrix}6a+0b+0c+d=0\\3a+4b+0c+d=0\\0a+0b+6c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}6a+d=0\\3a+4b+d=0\\6c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{6}\\-\frac{d}{6}+4b+d=0\\c=-\frac{d}{6}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{6}\\b=-\frac{d}{8}\\c=-\frac{d}{6}\end{matrix}\right.$$
$$-\frac{d}{6}x-\frac{d}{8}y-\frac{d}{6}z+d=0$$
$$-\frac{1}{6}x-\frac{1}{8}y-\frac{1}{6}z+1=0$$
$$D(0;0;0)$$
$$d(D;(CKD_{1}))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$
$$=\frac{|-\frac{1}{6}\cdot0-\frac{1}{8}\cdot0-\frac{1}{6}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{1}{64}+\frac{1}{36}}}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{\frac{41}{64\cdot9}}}=\frac{3\cdot8}{\sqrt{41}}=\frac{24\sqrt{41}}{41}$$
Задание 15
Две окружности касаются внутренним образом в точке $$K$$. Пусть $$AB$$ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке $$L$$.
Задание 16
Спонсор выделил школе 50 тысяч рублей на покупку мячей. Известно, что футбольный мяч стоит 700 рублей, баскетбольный – 600 рублей, волейбольный – 500 рублей. Необходимо приобрести мячи всех трёх видов, причём их количества не должны отличаться более, чем на 10 штук. Какое наибольшее количество мячей сможет приобрести школа, не превысив на их покупку выделенной суммы?
Задание 18
Подковывая лошадь, кузнец тратит на одну подкову 5 минут.