218 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Решаем ЕГЭ 218 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №218 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 218 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №218 (alexlarin.com)
Задание 1
На контрольной работе по математике 60% учеников писали первый вариант, треть учеников класса писали второй вариант, а двое не писали контрольную (Саша – по болезни, а Маша проспала). Сколько учеников в классе?
Пусть всего учеников х, тогда $$0,6x$$ - 1 вариант $$\frac{1}{3}x$$ - 2 вариант $$0,6x+\frac{1}{3}x+2=x$$ $$2=\frac{30x}{30}-\frac{18x}{30}-\frac{10x}{30}=\frac{2x}{30}$$ $$x=\frac{30\cdot2}{2}=30$$
Задание 2
На гистограмме показано распределение больных больницы по температуре. По горизонтали указывается температура, по вертикали – количество больных с данной температурой. Определите по гистограмме, сколько больных имеют нормальную температуру (от 36 до 37 градусов).
$$12+25+21=58$$
Задание 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
$$BC=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$$ $$AC=\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}$$ $$AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}$$ $$\cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{20+13-17}{2\cdot\sqrt{20\cdot13}}=$$ $$=\frac{8}{2\cdot\sqrt{5\cdot13}}=\frac{4}{\sqrt{5\cdot13}}$$ $$-1+\frac{1}{\cos^{2}\alpha}=\tan^{2}\alpha$$ $$-1+\frac{\frac{1}{16}}{65}=\tan^{2}\alpha$$ $$\tan\alpha=\sqrt{\frac{65}{16}-1}=\frac{49}{16}=\frac{7}{4}=1,75$$
Задание 4
В поход пошли 9 школьников: 6 мальчиков и 3 девочки. Жребий определяет двух дежурных. Какова вероятность того, что дежурить будут 1 мальчик и 1 девочка?
Сначала выбрали мальчика:$$\frac{6}{9}$$ Потом девочку $$\frac{3}{8}$$, и наоборот: $$\frac{3}{9}$$ и $$\frac{6}{8}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{6}{9}\cdot\frac{3}{8}+\frac{3}{9}\cdot\frac{6}{8}=\frac{2}{8}+\frac{2}{8}=0,5$$
Задание 5
В трапеции ABCD (AD||BC) диагонали пересекаются в точке O. Площади треугольников BCO и ADO равны, соответственно, 2 и 8. Найдите площадь трапеции.
$$S_{BOC}=2$$ $$S_{AOD}=8$$ $$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$k=\frac{BO}{OD}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$$ Пусть $$BO=x$$ $$\Rightarrow$$ $$OD=2x$$; $$OC=y$$ $$\Rightarrow$$ $$AO=2y$$ $$\angle AOD=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOA=180^{\circ}-\alpha$$ $$S_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot2y\cdot2x\cdot\sin\alpha=8$$ $$\Rightarrow$$ $$xy\sin\alpha=4$$ $$S_{ABO}=S_{COD}=\frac{1}{2}x\cdot2y\cdot\sin(180^{\circ}-\alpha)=xy\sin\alpha=4$$ $$S_{ABCD}=2+8+4+4=18$$
Задание 6
На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ – производной непрерывной функции $$f(x)$$ , определенной на интервале (-4; 7). Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$ , принадлежащих отрезку [-3; 6].
Первая точка, когда график пересекает ось Ох в точке -2 (значение производной было отрицательным, стало положительным), вторая в точке 2, так как функция по условию непрерывна, а значение производной до этого было отрицательным, значит в этой точке хоть производная и не найдена, но значение функции минимальное на отрезке) и третья в точке 5.
Задание 7
Радиус основания конуса равен 3, а высота 4. Центр шара совпадает с центром основания конуса и касается боковой поверхности конуса. Найдите отношение объемов шара и конуса.
$$OB-R$$ конуса
$$OH-R$$ шара
из $$\bigtriangleup AOB$$: $$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$$
$$OH=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{4\cdot3}{5}=2,4$$
Vконуса$$=\frac{1}{3}\cdot S_{osn}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^{2}\cdot4=12\pi$$
Vшара$$=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^{3}=18,432\pi$$
Vшара/Vконуса$$=\frac{18,432\pi}{12\pi}=1,536$$
Задание 8
Найдите значение выражения: $$(\log_{0,5}\sqrt{8\sqrt[3]{2}})^{-1}$$
$$(\log_{0,5}\sqrt{8\sqrt[3]{2}})^{-1}=$$ $$=(\log_{0,5}(2^{3}\cdot2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}})^{-1}=$$ $$=(-1\cdot\log_{2}2^{\frac{5}{3}})^{-1}=(-\frac{5}{3})^{-1}=-\frac{3}{5}=-0,6$$
Задание 9
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона) — устанавливает зависимость между давлением, объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид: $$p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T$$, где p – давление (Па), V – объем газа (м3), m – масса газа (кг), M – молярная масса, R≈8.31 дж/моль·K - универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура газа (К). Определите температуру (K) кислорода массой 64 г, находящегося в сосуде объёмом 1 л при давлении 5 • 106 Па. Молярная масса кислорода М = 0,032 кг/моль. Ответ округлите до
целого числа.
$$p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T$$
$$m=64$$г=$$\frac{64}{1000}$$ кг
$$V=1$$л=$$\frac{1}{1000}$$ м3
$$T=\frac{pV\cdot M}{m\cdot R}=\frac{5\cdot10^{6}\cdot\frac{1}{1000}\cdot\frac{32}{1000}}{\frac{64}{1000}\cdot\frac{831}{100}}=$$
$$=\frac{pV\cdot M}{m\cdot R}=\frac{5\cdot10^{3}\cdot32\cdot10^{2}}{2\cdot64\cdot831}=$$
$$=\frac{500000}{2\cdot831}\approx300,8\approx301$$
Задание 10
90% рабочих предприятия стали работать на 50% производительней, а производительность остальных рабочих снизилась на 10%. На сколько процентов возросло производство продукции на предприятии?
Пусть х - число рабочих, у - производительность одного ху - была производительность общая $$0,9x\cdot1,5y+0,1x\cdot0,9y=1,44xy$$ - стала $$xy-100$$ % $$1,44xy-a$$ % $$a=\frac{1,44xy\cdot100}{xy}=144$$ % $$144-100=44$$ %
Задание 11
Найдите точку минимума функции $$f(x)=x^{8}\cdot e^{5x+6}$$
$$f'(x)=(x^{8})'\cdot\exp^{5x+6}+x^{8}\cdot(\exp^{5x+6})'=$$ $$=8x^{7}\cdot\exp^{5x+6}+x^{8}\cdot\exp^{5x+6}\cdot5=$$ $$=\exp^{5x+6}\cdot x^{7}\cdot(8+5x)=0$$ $$x=0$$ или $$x=-\frac{8}{5}=-1,6$$
Задание 12
а) Решите уравнение $$\frac{25\sin2x-24x}{3\tan x-4}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$$
$$3\tan x-4\neq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\tan x\neq\frac{4}{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\arctan\frac{4}{3}+\pi n$$, $$n\in Z$$ Если $$\tan x\neq\frac{4}{3}$$, то $$\sin x\neq\frac{4}{5}$$; $$\cos x\neq\frac{3}{5}$$ или $$\sin x\neq-\frac{4}{5}$$; $$\cos x\neq-\frac{3}{5}$$ $$25\sin2x-2=0$$ $$\sin2x=\frac{24}{25}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n\\x=\frac{\pi}{2}-\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ $$\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$$ Имеем совпадение, нужно сравнивать с ОДЗ
Задание 15
Два борта бильярдного стола образуют угол 7°, как указано на рисунке. На столе лежит бильярдный шар A, который катится без трения в сторону одного из бортов под углом 113°. Отражения от бортов абсолютно упругие. Сколько раз шар отразится от бортов?
Задание 16
В начале рабочего дня на некотором предприятии был подключен генератор А, мощность которого зависела от времени работы $$p_{A}(t)=\frac{20}{t+5}$$ кВт. Когда мощность упала в 2 раза, генератор заменили на более совершенный генератор В, мощность которого также зависела от врмеени работы $$p_{B}(t)=\frac{48}{t+8}$$ кВт. Сколько всего энергии (кДж) выработали генераторы в течение восьмичасового рабочего дня?
Задание 18
В роте 2 взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше, чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.