324 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.
Задание 1
В 14-ти этажном доме расположены 336 квартир по 4 квартиры на этаже. Между этажами по два лестничных пролета. Сколько всего лестничных пролетов (межэтажных) в этом доме?
Задание 2
На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной - давление в миллиметрах ртутного столба.
Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 540 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.
Задание 3
Клетка имеет размер $$1\times 1$$. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.
Задание 4
65 студентов отправляются на экскурсию. Их случайным образом рассаживают в пять микроавтобусов по 13 человек в каждый. Какова вероятность того, что подруги Галя и Таня окажутся в одном микроавтобусе?
Задание 5
Найдите корень уравнения $$\sqrt{x+5}=x+3$$. Если корней несколько, то в ответе укажите их сумму.
Задание 6
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $$45{}^\circ $$. Найдите площадь этой трапеции.
Пусть $$BH,\ CM$$ - высоты$$\ \to BC=HM\to AH=\frac{7-3}{2}=2$$, но треугольник ABH - прямоугольный и равнобедренный $$\to BH=2\to S=\frac{3+7}{2}\cdot 2=10$$.
Задание 7
Функция $$f(x)$$ определена при всех действительных $$x$$. На рисунке изображен график $$f'(x)$$ её производной. Найдите значение выражения $$f\left(3\right)-f(1)$$.
Задание 8
Найдите площадь полной поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Перенесем грани, чтобы получить параллелепипед. Учтем, что получим 2 окошка $$2\times 2$$. Тогда: $$S=\left(5\cdot 6+6\cdot 1+5\cdot 1+2\cdot 2\right)\cdot 2=74$$.
Задание 9
Найдите значение выражения $$\frac{{\left(\sqrt[7]{27}\cdot \sqrt[3]{16}\right)}^{21}}{{12}^9}$$.
Задание 10
Задание 11
Отец и сын должны вскопать огород. Производительность работы у отца в три раза меньше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать огород за 3 часа. Однако вместе они проработали только один час, потом некоторое время работал один отец, а заканчивал работу один сын. Сколько времени в общей сложности проработал отец, если вся работа на огороде была выполнена за 7 часов?
Задание 12
Задание 13
а) Решите уравнение $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{2})$$.
а) $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin x\ }{\cos x\ }\leftrightarrow {\cos x\ }\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x\ }=0 \\ {\tan x\ }=1 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z \end{array} \right..$$
б) С помощью единичной окружности отберем корни: 1) $$-\frac{\pi }{2}$$; 2) $$\frac{3\pi }{2}$$; 3) $$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$; 4) $$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$; 5) $$\frac{\pi }{2}$$; 6) $$\frac{7\pi }{4}$$.
Задание 14
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.
а) Доказать, что плоскость $$\alpha $$ делит ребро SD в отношении $$2 : 1$$, считая от точки D.
б) Найдите синус угла между плоскостью $$\alpha $$ и плоскостью ASC, если угол SAC равен $$30{}^\circ $$.
Задание 15
Решите неравенство: $$5^{{{\log }^2_3 {\left(x-2\right)}^2\ }}\cdot \frac{1}{125}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}$$.
Задание 16
Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.
а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.
б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.
Задание 17
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок. Условия возврата таковы:
- в январь n-го года после взятия кредита долг возрастает на $$5(n-1)\%$$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный и максимальный срок следует взять кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 3 млн рублей?
Распишем платежи долга для кредита на m лет:
1 год: долг в январе - 10; выплата - $$\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}$$.
2 год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}\cdot 1,05$$; выплата - $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}\cdot 0,05+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}$$.
3 год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}\cdot 1,1$$; выплата - $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}\cdot 0,1+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-3\right)}{m}$$.
$$n$$ год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-(n-1)\right)}{m}\cdot (1+\frac{\left(n-1\right)5}{100})$$; выплата - $$\frac{10\left(m-(n-1)\right)}{m}\cdot \frac{5\left(n-1\right)}{100}+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}$$.
$$n+1$$ год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot (1+\frac{5n}{100})$$; выплата - $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot \frac{5n}{100}+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-n-1\right)}{m}$$.
Видим, что платеж меняется. Найдем, когда платёж в предыдущий год $$(n)$$ будет больше (или равен), чем в последующий (n+1). Это и будет максимальная выплата: $$\frac{10\left(m+1-n\right)}{m}\cdot \frac{n-1}{20}+\frac{10}{m}-\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot \frac{n}{20}-\frac{10}{m}\ge 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left(m+1-n\right)\left(n-1\right)-\left(m-n\right)\cdot n\ge 0\leftrightarrow mn-m+n-1-n^2+n-mn+n^2\ge 0$$ $$\leftrightarrow 2n-m-1\ge 0\to n\ge \frac{m+1}{2}$$.
Подставим $$n=\frac{m+1}{2}$$ в n-ый год: $$\frac{10\left(m+1-\frac{m+1}{2}\right)}{m}\cdot \frac{\frac{m+1}{2}-1}{20}+\frac{10}{m}\le 3$$.
$$\frac{\left(2m+2-m-1\right)\left(m+1-2\right)}{2m\cdot 4}+\frac{10}{m}-3\le 0\leftrightarrow \left(m+1\right)\left(m-1\right)+80-24m\le 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow m^2-24m+79\le 0:D=576-316=260\to m_{1,2}=\frac{24\pm \sqrt{260}}{2}=12\pm \sqrt{65}$$. Т.е. $$m\in [12-\sqrt{65};12+\sqrt{65}]$$, т.к $$m\in N$$ и $$12-\sqrt{65}$$ чуть меньше 4, а $$12+\sqrt{65}$$ чуть больше 20, то $$m\in [4;20]\to $$ на 4 и 20 лет.
Задание 18
Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left|y\right|+\left|2x-x^2\right|=4 \\ y^2+{\left(2x-x^2\right)}^2=a^2 \end{array} \right.$$ будет иметь ровно 8 решений.
Задание 19
Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа $$a$$ и $$b$$ , оба меньше 1000. Если $$\frac{3a+b}{4}$$ и $$\frac{a+3b}{4}$$ оба натуральные, то Аня делает ход - заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается.
а) Может ли игра продолжаться ровно три хода?
б) Существует ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов?
в) Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению предыдущих двух чисел.