Перейти к основному содержанию

324 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.

Решаем ЕГЭ 324 вариант Ларина ЕГЭ 2021 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №324 (alexlarin.com)
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В 14-ти этажном доме расположены 336 квартир по 4 квартиры на этаже. Между этажами по два лестничных пролета. Сколько всего лестничных пролетов (межэтажных) в этом доме?

Ответ: 156
Скрыть Всего этажей $$\frac{336}{4}=84$$ этажа, т.е. $$\frac{84}{14}=6$$ подъездов. В 1 подъезде $$\left(14-1\right)\cdot 2=26$$ пролетов $$\to 6\cdot 26=156$$ пролетов.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной - давление в миллиметрах ртутного столба.

Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 540 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Ответ: 2,5
Скрыть 540 мм. рт. ст. будет на 2,5 км (см. рис.)
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Клетка имеет размер $$1\times 1$$. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть $$\angle ABC=\angle \frac{AOC}{2}$$, где $$O$$ - центр окружности $$\to \ \angle ABC=45{}^\circ $$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

65 студентов отправляются на экскурсию. Их случайным образом рассаживают в пять микроавтобусов по 13 человек в каждый. Какова вероятность того, что подруги Галя и Таня окажутся в одном микроавтобусе?

Ответ: 0,1875
Скрыть Вероятность, что Галя попадет в один из пяти автобусов $$\frac{13}{65}$$, что туда попадет Таня $$\frac{12}{64}$$ (12 мест, 64 претендента). Т.е. вероятность обеим попасть в один автобус из 5-ти: $$\frac{13}{65}\cdot \frac{12}{64}=0,0375$$. Таких автобусов пять, поэтому вероятность оказаться в одном автобусе $$0,0375\cdot 5=0,1875$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\sqrt{x+5}=x+3$$. Если корней несколько, то в ответе укажите их сумму.

Ответ: -1
Скрыть $$\sqrt{x+5}=x+3\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x+5=x^2+6x+9 \\ x+3\ge 0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x^2+5x+4=0 \\ x+3\ge 0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x=-1 \\ x=-4 \end{array} \right. \\ x\ge -3 \end{array} \right.$$ Значит $$x=-1$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $$45{}^\circ $$. Найдите площадь этой трапеции.

Ответ: 10
Скрыть Пусть $$BH,\ CM$$ - высоты$$\ \to BC=HM\to AH=\frac{7-3}{2}=2$$, но треугольник ABH - прямоугольный и равнобедренный $$\to BH=2\to S=\frac{3+7}{2}\cdot 2=10$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция $$f(x)$$ определена при всех действительных $$x$$. На рисунке изображен график $$f'(x)$$ её производной. Найдите значение выражения $$f\left(3\right)-f(1)$$.

Ответ: 6
Скрыть $$f'\left(x\right)=2x-1\to f\left(x\right)=x^2-x+C$$. Тогда $$f\left(3\right)-f\left(1\right)=9-3+C-1+1-C=6$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите площадь полной поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 74
Скрыть Перенесем грани, чтобы получить параллелепипед. Учтем, что получим 2 окошка $$2\times 2$$. Тогда: $$S=\left(5\cdot 6+6\cdot 1+5\cdot 1+2\cdot 2\right)\cdot 2=74$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{{\left(\sqrt[7]{27}\cdot \sqrt[3]{16}\right)}^{21}}{{12}^9}$$.

Ответ: 1024
Скрыть $$\frac{{\left(\sqrt[7]{27}\cdot \sqrt[3]{16}\right)}^{21}}{{12}^9}=\frac{{\left(3^3\right)}^{\frac{21}{7}}\cdot {\left(2^4\right)}^{\frac{21}{3}}}{{\left(2^2\cdot 3\right)}^9}=\frac{3^9\cdot 2^{28}}{3^9\cdot 2^{18}}=2^{10}=1024.$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой $$\mu =\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100\%$$. При каком наименьшем значении температуры нагревателя $$T_1$$ КПД этого двигателя будет не меньше 75%, если температура холодильника $$T_2=120$$?
Ответ: 480
Скрыть Подставим известные: $$75-\frac{T_1-120}{T_1}\cdot 100\leftrightarrow \frac{3}{4}=\frac{T_1-120}{T_1}\leftrightarrow 3T_1=4T_1-480\to T_1=480$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Отец и сын должны вскопать огород. Производительность работы у отца в три раза меньше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать огород за 3 часа. Однако вместе они проработали только один час, потом некоторое время работал один отец, а заканчивал работу один сын. Сколько времени в общей сложности проработал отец, если вся работа на огороде была выполнена за 7 часов?

Ответ: 6
Скрыть Пусть $$x$$ частей огорода за час вскапывает отец, тогда сын - $$3x$$. Пусть весь огород - 1. Тогда: $$\left(x+3x\right)\cdot 3=1\to 12x=1;x=\frac{1}{12}$$. Пусть отец один работал $$y$$ часов, тогда $$6-y$$ - один сын: $$\frac{1}{12}\cdot 4\cdot 1+\frac{1}{12}y+\frac{3}{12}\left(6-y\right)=1\leftrightarrow \frac{y}{12}+\frac{6-y}{4}=\frac{2}{3}\leftrightarrow y+18-3y=8\to $$ $$\to 2y=10\to y=5$$ часов, т.е. отец всего работал $$5+1=6$$ часов.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=x^3-9x^2+3$$ на отрезке$$\ [-3;7]$$.
Ответ: -105
Скрыть $$y'=3x^2-18x=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=6 \end{array} \right.$$. Получим, что 6 - точка минимума, тогда на отрезке $$[-3;7]$$. $${\min \left(y\right)\ }=y\left(6\right)=216-324+3=-105$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{2})$$.

Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z; \frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z$$ б)$$-\frac{\pi }{2}$$;$$\frac{3\pi }{2}$$;$$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$;$$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$;$$\frac{\pi }{2}$$;$$\frac{7\pi }{4}$$.
Скрыть

а) $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin x\ }{\cos x\ }\leftrightarrow {\cos x\ }\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x\ }=0 \\ {\tan x\ }=1 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z \end{array} \right..$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни: 1) $$-\frac{\pi }{2}$$; 2) $$\frac{3\pi }{2}$$; 3) $$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$; 4) $$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$; 5) $$\frac{\pi }{2}$$; 6) $$\frac{7\pi }{4}$$.

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.

а) Доказать, что плоскость $$\alpha $$ делит ребро SD в отношении $$2 : 1$$, считая от точки D.

б) Найдите синус угла между плоскостью $$\alpha $$ и плоскостью ASC, если угол SAC равен $$30{}^\circ $$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{39}}{13}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$5^{{{\log }^2_3 {\left(x-2\right)}^2\ }}\cdot \frac{1}{125}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}$$.

Ответ: $$x\in (2; \frac{1}{\sqrt[4]{27}}+2]\cup [5;+\infty]$$
Скрыть $$5^{{{\log }^2_3 {\left(x-2\right)}^2\ }}\cdot \frac{1}{125}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}\leftrightarrow 5^{{4{\log }^2_3 \left|x-2\right|-3\ }}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}.$$ По области определения логарифма: $$x-2>0\to \left|x-2\right|=x-2$$. $$5^{{{{\rm 4}\log }^2_3 \left(x-2\right)-3\ }}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}\leftrightarrow {{{\rm 4}\log }^2_3 \left(x-2\right)-3\ }={{\log }_3 \left(x-2\right)\ }.$$ Пусть $${{\log }_3 \left(x-2\right)\ }=y$$: $$4y^2-y-3\ge 0\leftrightarrow (y-1)(y+\frac{3}{4})\ge 0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y\le -\frac{3}{4} \\ y\ge 1 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {{\log }_3 \left(x-2\right)\ }\le -\frac{3}{4} \\ {{\log }_3 \left(x-2\right)\ }\ge 1 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x\le \frac{1}{\sqrt[4]{3^3}}+2 \\ x\ge 5 \end{array} \right.$$ т.е. $$x>2$$, то $$x\in (2; \frac{1}{\sqrt[4]{27}}+2]\cup [5;+\infty]$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.

а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.

б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.

Ответ: 18
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок. Условия возврата таковы:

- в январь n-го года после взятия кредита долг возрастает на $$5(n-1)\%$$ по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный и максимальный срок следует взять кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 3 млн рублей?

Ответ: 4 и 20 лет
Скрыть

Распишем платежи долга для кредита на m лет:

1 год: долг в январе - 10; выплата - $$\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}$$.

2 год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}\cdot 1,05$$; выплата - $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}\cdot 0,05+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}$$.

3 год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}\cdot 1,1$$; выплата - $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}\cdot 0,1+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-3\right)}{m}$$.

$$n$$ год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-(n-1)\right)}{m}\cdot (1+\frac{\left(n-1\right)5}{100})$$; выплата - $$\frac{10\left(m-(n-1)\right)}{m}\cdot \frac{5\left(n-1\right)}{100}+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}$$.

$$n+1$$ год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot (1+\frac{5n}{100})$$; выплата - $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot \frac{5n}{100}+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-n-1\right)}{m}$$.

Видим, что платеж меняется. Найдем, когда платёж в предыдущий год $$(n)$$ будет больше (или равен), чем в последующий (n+1). Это и будет максимальная выплата: $$\frac{10\left(m+1-n\right)}{m}\cdot \frac{n-1}{20}+\frac{10}{m}-\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot \frac{n}{20}-\frac{10}{m}\ge 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left(m+1-n\right)\left(n-1\right)-\left(m-n\right)\cdot n\ge 0\leftrightarrow mn-m+n-1-n^2+n-mn+n^2\ge 0$$ $$\leftrightarrow 2n-m-1\ge 0\to n\ge \frac{m+1}{2}$$.

Подставим $$n=\frac{m+1}{2}$$ в n-ый год: $$\frac{10\left(m+1-\frac{m+1}{2}\right)}{m}\cdot \frac{\frac{m+1}{2}-1}{20}+\frac{10}{m}\le 3$$.

$$\frac{\left(2m+2-m-1\right)\left(m+1-2\right)}{2m\cdot 4}+\frac{10}{m}-3\le 0\leftrightarrow \left(m+1\right)\left(m-1\right)+80-24m\le 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow m^2-24m+79\le 0:D=576-316=260\to m_{1,2}=\frac{24\pm \sqrt{260}}{2}=12\pm \sqrt{65}$$. Т.е. $$m\in [12-\sqrt{65};12+\sqrt{65}]$$, т.к $$m\in N$$ и $$12-\sqrt{65}$$ чуть меньше 4, а $$12+\sqrt{65}$$ чуть больше 20, то $$m\in [4;20]\to $$ на 4 и 20 лет.

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left|y\right|+\left|2x-x^2\right|=4 \\ y^2+{\left(2x-x^2\right)}^2=a^2 \end{array} \right.$$ будет иметь ровно 8 решений.

Ответ: $$(-\sqrt{10};-2\sqrt{2});(2\sqrt{2};\sqrt{10})$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа $$a$$ и $$b$$ , оба меньше 1000. Если $$\frac{3a+b}{4}$$ и $$\frac{a+3b}{4}$$ оба натуральные, то Аня делает ход - заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается.

а) Может ли игра продолжаться ровно три хода?

б) Существует ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов?

в) Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению предыдущих двух чисел.

Ответ: да, нет, $$\frac{187000}{997}$$