221 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Решаем ЕГЭ 221 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №221 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 221 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №221 (alexlarin.com)
Задание 1
Когда Аристарх Луков‐Арбалетов сдал ОГЭ, друзья подарили ему 10 биткоинов. Сколько раз Аристарх может оплатить 6‐летннее обучение в ВУЗе, если стоимость обучения 300 тыс. рублей за год, к моменту оплаты курс биткоина был 17000 долларов США, а один доллар стоил 57 рублей?
$$17000\cdot57=969000$$ - один биткоин
$$969000\cdot10=9690000$$ - стоимость подарка
$$300000\cdot6=1800000$$ - стоимость 6 лет обучения
$$\frac{9690000}{1800000}\approx5$$
Задание 3
На клетчатой бумаге (сторона клетки 1 см) изображён четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.
$$S=2\cdot3-1\cdot1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=6-1-1-3=1$$
Задание 4
Аристарх Луков‐Арбалетов совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие—в поле F или в болото M. Найдите вероятность того, что Аристарх забредет в болото. Результат округлите до сотых.
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\approx0,42$$
Задание 5
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём BC =CD. Известно, что угол ADC равен 93°. Найдите, под каким острым углом пересекаются диагонали этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
1) $$\bigtriangleup AOD\sim \bigtriangleup COB$$ $$\Rightarrow$$
$$\angle ADO=\angle OCB=\alpha$$
$$\angle DAO=\angle OBC=\beta$$
2) $$\bigtriangleup DOC\sim \bigtriangleup AOB$$ $$\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup DCB$$ - равнобедренный
$$\angle COB=\angle DCB=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha+\beta=93^{\circ}$$
$$\angle AOD=180^{\circ}-\alpha-\beta=87^{\circ}$$
Задание 6
Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции $$y=f(x)$$. Найдите $$f(2)$$.
Достроим прямоугольный треугольник, вычислим тангенс угла:
$$\tan\alpha=-\frac{4}{2}=-2$$
Задание 7
В правильной треугольной призме $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, стороны оснований которой равны 2, боковые ребра равны 1, проведите сечение через вершины $$ABC_{1}$$. Найдите его площадь.
1) По т. Пифагора: $$AC_{1}=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}C_{1}^{2}}=\sqrt{5}$$
$$AC_{1}=BC_{1}$$
2) Построим $$C_{1}H\perp AB$$, $$C_{1}H$$ - медиана, высота $$\Rightarrow$$
$$C_{1}H=\sqrt{C_{1}B^{2}-HB^{2}}=\sqrt{5-1}=2$$
3) $$S_{AC_{1}B}=\frac{1}{2}\cdot C_{1}H\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$$
Задание 8
Найдите значение выражения: $$\frac{b^{3}\cdot\sqrt[12]{b}}{\sqrt[21]{b}\cdot\sqrt[28]{b}}$$ при $$b=4$$
$$\frac{b^{3}\cdot\sqrt[12]{b}}{\sqrt[21]{b}\cdot\sqrt[28]{b}}=$$
$$=\frac{b^{3}\cdot b^{\frac{1}{12}}}{b\frac{1}{21}\cdot b\frac{1}{28}}=$$
$$=b^{3+\frac{1}{12}-\frac{1}{21}-\frac{1}{28}}=$$
$$=b^{3}=4^{3}=64$$
Задание 9
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой $$y=ax^{2}+bx$$, $$a=-\frac{1}{25}$$, $$b=\frac{7}{5}$$ постоянные параметры, x (м)—смещение камня по горизонтали, y (м)—высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
$$-\frac{1}{25}x^{2}+\frac{7}{5}x=10|\cdot25$$
$$250+x^{2}-35x=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=35\\x_{1}\cdot x_{2}=250\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=25\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$
Задание 10
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в два раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 1 час позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?
Пусть $$2x-v_{1}$$; $$x-v_{2}$$; $$S_{AB}=1$$
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow x=0,5$$
Пусть $$t_{1}$$ - время встречи в первом случае:
$$t_{1}=\frac{1}{0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$$
Пусть $$t_{2}$$ - во втором:
$$t_{2}=\frac{1}{2\cdot0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{2}$$
$$t_{1}-t_{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$ (ч) - разница
$$\frac{1}{6}\cdot60=10$$ минут
Задание 11
Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-6x+36}{x}$$ на отрезке $$[3;9]$$
$$y'=\frac{(2x-6)x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$
$$=\frac{2x^{2}-6x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$
$$=\frac{x^{2}-36}{x^{2}}$$
$$f_{min}=f(6)=\frac{6^{2}-6\cdot6+36}{6}=6$$
Задание 12
$$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$
$$-7\sin(\frac{5\pi-2x}{2})+9\cos x+1=0$$
$$-7\cos2x+9\cos x+1=0$$
$$-7(2\cos^{2}x-1)+9\cos x+1=0$$
$$-14\cos^{2}x+7+9\cos x+1=0$$
$$14\cos^{2}x-9\cos x-8=0$$
$$D=81+448=529=23^{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{9+23}{2\cdot14}=\frac{16}{14}\\\cos x=\frac{9-23}{2\cdot14}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\varnothing;|\cos x|\leq1\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$
б) $$-\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{4\pi}{3}$$
$$-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$
Задание 13
Основание пирамиды DABC - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Высота пирамиды проходит через середину ребра AC, а боковая грань ACD - равносторонний треугольник.
а) 1) Пусть $$DH$$ - высота; $$\Rightarrow DH\perp ABC$$
2) Пусть $$MC\cap DH=N\Rightarrow NH\perp AC$$
$$\Rightarrow CH$$ - проекция $$NC$$ на $$(ABC)$$
3) т.к. $$AC\perp CB$$, то по теореме о трех перпендикулярах $$NC\perp CB$$
$$\Rightarrow$$ $$MC\perp CB$$
$$\Rightarrow\bigtriangleup MCB$$ - прямоугольный
б) 1) т.к. $$AC\perp CB$$ и $$CB\perp MC$$ $$\Rightarrow CB\perp(ADC)$$
$$\Rightarrow(BCM)\perp(ACD)$$
$$\Rightarrow$$ расстояние от D до $$(CBM)$$ - перпендикуляр $$DL\in(ADC)$$
2) т.к. $$\bigtriangleup ACD$$ - равносторонний и $$AM-MD, то $$CM\perp AD$$
$$\Rightarrow DM$$ - искомое расстояние
3) $$DC=\frac{DH}{\sin C}=\frac{6}{\sin60^{\circ}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$
$$\Rightarrow$$ $$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}DC=2\sqrt{3}$$
Задание 14
Решите неравенство: $$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\geq2\log_{0,5}x+1$$
$$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\geq2\log_{0,5}x+1$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\log_{0,5}x\neq2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$
Пусть $$\log_{0,5}x=y$$
$$\frac{3y}{2-y}\geq2y+1$$
$$\frac{3y-(2y+1)(2-y)}{2-y}\geq0$$
$$\frac{3y-4y+2y^{2}-2+y}{2-y}\geq0$$
$$\frac{2y^{2}-2}{2-y}\geq0$$
$$\Leftrightarrow\frac{(y-1)(y+1)}{2-y}\geq0$$
$$\left\{\begin{matrix}y\leq-1\\\left\{\begin{matrix}y\geq1\\y<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}\log_{0,5}x\leq-1\\\left\{\begin{matrix}\log_{0,5}x\geq1\\\log_{0,5}x<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x\geq2\\\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{1}{2}\\x>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Задание 15
Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р - середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что $$2CD=3RD$$. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, $$AD=2BC$$.
А) 1) $$RD=\frac{2CD}{3}\Rightarrow CR=\frac{1}{3}CD$$
2) Построим $$AR\cap BC=M$$
$$\Rightarrow\bigtriangleup ARD\sim\bigtriangleup CMR$$ (по 2м углам)
$$\frac{CR}{RD}=\frac{CM}{AD}=\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow$$ $$CM=\frac{1}{2}AD=BC\Rightarrow BM=AD$$
$$\Rightarrow ABMD$$ - параллелограмм
3) Тогда: $$\bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup MQD$$:
$$\frac{AP}{MD}=\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow AQ=\frac{1}{3}AM$$; $$QM=\frac{2}{3}AM$$
4) из п.2 $$\frac{MR}{AR}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$MR=\frac{1}{3}AM$$
Тогда $$QR=QM-MR=\frac{2}{3}AM-\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}AM$$
$$\Rightarrow$$ $$AQ=QM$$
ч.т.д.
б) 1) $$S_{ABCD}=30=S$$
т.к. $$BC=CM$$, то $$S_{CMD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BM\cdot h$$,
где $$h$$ - высота $$ABMD$$:
$$S_{CMD}=\frac{1}{4}BM\cdot h=\frac{1}{4}S$$
$$\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=\frac{3}{4}S=30$$
$$\Rightarrow S=40$$
2) $$\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{QMD}=\frac{2}{3}S_{AMD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{40}{3}$$
$$\bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup QMD$$:
$$k=\frac{1}{2}\Rightarrow$$
$$\frac{S_{APQ}}{S_{QMD}}=\frac{1}{4}\Rightarrow$$
$$S_{APQ}=\frac{1}{4}S_{QMD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{40}{3}=\frac{10}{3}$$
Задание 16
В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко‐часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется у2 человеко‐часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? (Человеко‐час — единица учёта рабочего времени, соответствует часу работы одного человека, То есть 40 человеко‐часов формируют: 1 человек, работающий 40 часов; или 2 человека, работающие 20 часов; или 4 человека, работающие 10 часов; и т. д.)
| Алюминий | Никель | |||
| Раб. | кг | Раб. | кг | |
| 1 | $$x\cdot10$$ | $$2x$$ | $$(20-x)\cdot10$$ | $$2(20-x)$$ |
| 2 | $$y\cdot10$$ | $$\sqrt{10y}$$ | $$(20-y)\cdot10$$ | $$\sqrt{(20-y)10}$$ |
| Всего | $$2x+\sqrt{10y}$$ | $$2(20-x)+\sqrt{(20-y)10}$$ | ||
$$f=2(2x+\sqrt{10y})$$ - функция массы сплава
$$2x+\sqrt{10y}=2(20-x)+\sqrt{(20-y)10}$$ - т.к. по 1 кг тог и другого
$$2x+2x=40+\sqrt{(20-y)10}-\sqrt{10y}$$
$$x=10+\frac{\sqrt{10(20-y)}-\sqrt{10y}}{4}$$
$$x=20+\frac{\sqrt{200-10y}-\sqrt{10y}+2\sqrt{10y}}{2}$$
$$x=20+\frac{\sqrt{200-10y}+\sqrt{10y}}{2}$$
$$\frac{\sqrt{200-10y}+\sqrt{10y}}{2}=g$$
$$g'=\frac{-10}{2\sqrt{200-10y}}+\frac{10}{2\sqrt{10y}}$$
$$20\sqrt{10y}=20\sqrt{200-10y}$$
$$10y=200-10y$$
$$20y=200$$
$$y=10$$
$$f=20(20+\frac{\sqrt{200-100}+\sqrt{100}}{2})=$$
$$=2(20+\frac{10+10}{2})=2\cdot30=60$$
Задание 18
Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадает первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д. Например, числа 121 и 123321 являются палиндромами.
а) Чтобы делилось на 15, то должно делиться и на 5, и на 3 $$\Rightarrow$$ оканчивается на 0 или 5 (на 0 не может $$\Rightarrow$$ на 5) и сумма цифр делится на 3.
Например: $$5a5$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{5+a+5}{3}\in N$$
$$\Rightarrow$$ $$\frac{10+a}{3}\in N$$ $$\Rightarrow$$ $$a=2$$; $$a=8$$
$$\Rightarrow$$ $$525;585$$
б) Пусть $$5aba5$$ - число $$\Rightarrow$$
$$\frac{5+a+b+a+5}{3}\in N,a,b\in N\in[0....9]$$
$$\frac{10+2a+b}{3}\in N$$, при этом $$2a+b\in[0...27]$$
$$\Rightarrow$$ $$10+2a+b\in[10...37]$$.
Выберем все кратные 3 из этого диапазона: $$12;15;18;21;24;27;30;33;36$$
1) $$10+2a+b=12$$
$$2a+b=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1;b=0$$ или $$a=0;b=2$$
$$52025;20205$$
2) $$10+2a+b=15$$
$$2a+b=5$$
$$a=\frac{5-b}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$a=0;b=5$$ или $$a=2;b=1$$
или $$a=2;b=1$$
$$50505;52125;51315$$
3) $$10+2a+b=18$$
$$2a+b=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4;b=0$$
$$a=3;b=2$$ или $$a=2;b=4$$
$$a=1;b=6$$ или $$a=0;b=0$$
4) $$10+2a+b=21$$
$$2a+b=11$$ $$\Rightarrow$$ $$a=5;b=1$$ или $$a=4;b=3$$
$$a=3;b=5$$ или $$a=2;b=7$$
$$a=1;b=9$$
5) $$10+2a+b=24$$
$$2a+b=14$$ $$\Rightarrow$$
$$a=7;b=0$$ или $$a=6;b=2$$
$$a=5;b=4$$ или $$a=4;b=6$$
$$a=3;b=8$$
6) $$10+2a+b=27$$
$$2a+b=17$$ $$\Rightarrow$$
$$a=8;b=1$$
$$a=7;b=3$$ или $$a=6;b=5$$
$$a=5;b=7$$ или $$a=4;b=9$$
7) $$10+2a+b=30$$
$$2a+b=20$$ $$\Rightarrow$$
$$a=9;b=2$$ или $$a=8;b=4$$
$$a=7;b=6$$ или $$a=6;b=8$$
8) $$10+2a+b=33$$
$$2a+b=23$$ $$\Rightarrow$$
$$a=9;b=5$$ или $$a=8;b=7$$
$$a=7;b=9$$
9) $$10+2a+b=36$$
$$2a+b=26$$ $$\Rightarrow$$
$$a=9;b=8$$
Всего: $$2+3+5+5+5+5+4+3+1=33$$ числа
в) С учетом пункта б) получим: 3хзначных чисел 3 штуки
4х: $$\frac{5aa5}{3}=N$$
$$\frac{10+2a}{3}=N$$
$$2a\in[0...18]$$ $$\Rightarrow$$ $$10+2a\in[10...18]$$
12: $$2a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1$$
15: $$2a=5$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
18: $$2a=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4$$
21: $$2a=11$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
24: $$2a=14$$ $$\Rightarrow$$ $$a=7$$
27: $$2a=17$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
Всего 3 числа.
То есть 3х и 4х значных в сумме 6 штук.
5ти всего 33 $$\Rightarrow$$ вместе 39, нам нужно 37, то есть предпоследнее $$\Rightarrow$$ 59295