ЕГЭ математика 2017. Разбор варианта Алекса Ларина № 195
Подробный разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 задания тренировочного варианта ЕГЭ № 195 Ларина
Задание 1
В физико‐математическом лицее Горгорода обучается 147 учеников. Известно, что число мальчиков составляет менее 83% от числа всех учащихся лицея. Какое наименьшее количество девочек может быть в этом лицее?
Если мальчиков менее 83%, то девочек более 17% (100-87). Найдем это количество:
То есть девочек больше чем 24,99, округлим до целого в большую сторону ( так как количество человек число натуральное) и получим 25.
Задание 2
На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции что-то добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?
7 апреля акции стоили 340р/шт. Значит бизнесмен потратил на них: 340 * 1000 = 340 000 (руб)
10 апреля акции стоили 330р/шт. Значит бизнесмен получил с продажи трех четвертей (0,75*1000=750 акций): 330 * 750 = 247 500 (руб)
13 апреля акции стоили 310р/шт. Значит за оставшиеся 250 акций он получил: 310 * 250 = 77 500 (руб)
В итоге убыток составил: 340 000 - 247 500 - 77 500 = 15 000 (руб)
Задание 3
На рисунке клетка имеет размер 1 см х 1 см. Известно, что точка G удалена от точек А, В и С на одинаковое расстояние. Найдите это расстояние. Ответ приведите в сантиметрах.
Если точка G равноудалена от вершин, то для треугольника ABC она - центр описанной окружности. Треугольник у нас прямоугольный ( прямой угол С). А центр описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника лежит на середине его гипотенузы. Найдем AB по теореме Пифагора если AC = 8 см (8 клеток) и BC = 6 см (6 клеток): $$\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10$$
Значит, половина гипотенузы, и радиус описанной окружности равны 10/2 = 5
Задание 4
На окружности отмечены 6 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.
Для решения подобной задачи нам понадобится вспомнить, что такое сочетание из комбинаторики. Пусть у вас есть три числа, если вам не важен порядок размещения этих чисел, то возможных комбинаций этих чисел будет всего одна, то есть 123, 132 или 231 - это одинаковые множества. Так вот, чтобы определить количество таких комбинаций используют формулу:
$$C_{m}^{n}=\frac{m!}{n!(m-n)!}$$
Найдем количество треугольников, которые можно построить ТОЛЬКО из красных точек. В треугольнике три вершины, значит брать мы будем три точки, красных всего 6. Значит имеем:
$$C_{6}^{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*3!}=20$$
Аналогично найдем четырехугольники, пятиугольники:
$$C_{6}^{4}=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*2!}=15$$
$$C_{6}^{5}=\frac{6!}{5!(6-5)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1!}=6$$
Плюс есть еще 1 шестиугольник. В итоге получаем всего фигур ТОЛЬКО из красных: 20+15+6+1=42
Теперь разберемся с вариантом фигур с одной красной точкой. Возьмем треугольник. Если в нем одна синяя точка, то остается две вершины (то есть n=2), где можно использовать красную точку. А самих красных точек 6 (m=6). Значит треугольников, в которых есть синяя всего:
$$C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*4!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*1*2*3*4}=15$$
Аналогично, для четырехугольников:
$$C_{6}^{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*3!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*1*2*3*}=20$$
Пятиугольников:
$$C_{6}^{4}=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*2!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*1*2}=15$$
Шестиугольников:
$$C_{6}^{5}=\frac{6!}{5!(6-5)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1}=6$$
Плюс есть еще 1 семиугольник. Всего таких фигур:15+20+15+6+1=57
В итоге разница: 57 - 42 = 15
Задание 5
В трапеции АВСD (АВ||СD) угол АBС равен 130°. Окружность с центром в точке В проходит через точки А, D и С. Найдите величину угла ADC. Ответ дайте в градусах.
∠ ABC - центральный, а значит дуга AC, на которую он опирается, равна его величине, то есть 130°. Значит дуга CA (противоположная) равна: 360° - 130° = 230°. ∠ ADC опирается на эту дугу и он вписанный, значит равен половине величины дуги на которую он опирается, то есть 230°/2 = 115°
Задание 6
К графику функции у = f (x) в точке с абсциссой х0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; ‐1) этого графика. Найдите f / (x0).
Пусть прямая, проходящая через точки (4; 3) и (3; ‐1) задается формулой y = k1x+b. Найдем k1, подставив имеющиеся координаты в уравнение прямой:
$$\left\{\begin{matrix}3=4*k_{1}+b\\ -1=3*k_{1}+b\end{matrix}\right.$$ Найдем $$k_{1}$$. Решив систему получим, что $$k_{1}=4$$ Далее воспользуемся свойством: если k1 и k2 угловые коэффициенты двух линейных функций, то их графики буду перпендикулярны в том случае, когда k1k2=-1. Получаем, что k2=-1/k1=-1/4=-0.25. А значение производной в точке и есть величина углового коэффициента.
Задание 7
В шар вписан конус так, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что площадь поверхности шара равна $$10\sqrt{2}$$
Задание 8
Вычислите $$tg \alpha $$, если известно, что $$\cos 2\alpha =0.6$$ и $$\frac{3\pi }{4}< \alpha < \pi $$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos 2\alpha =2\cos^{2}\alpha-1=0.6$$
С учетом того, что $$\alpha$$ - угол второй четверти, то косинус у него отрицательный, а синус положительный.
Значит: $$cos \alpha = -\sqrt{\frac{\cos 2\alpha+1}{2}}=-\sqrt{\frac{0.6+1}{2}}=-\sqrt{0.8} $$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$sin \alpha = \sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{0.2}$$
Значит тангенс будет равен: $$tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}= \frac{\sqrt{0.2}}{-\sqrt{0.8}}=-\frac{1}{2}=-0.5$$
Задание 9
Кинетическая энергия тела, имеющего массу m (кг) и скорость v (м/с) равна $$E=\frac{mV^{2}}{2}$$ Дж. Какую наименьшую начальную скорость должна иметь пуля массой 9 граммов, чтобы при прохождении через неподвижную мишень передать ей энергию не меньше 810 Дж, уменьшив при этом свою скорость не более, чем в три раза? (Считать, что в процессе полёта пули потери энергии не происходит). Ответ дайте в м/с.
Пусть V - первоначальная скорость, тогда V/3 - скорость после прохождения мишени. Учитываем, что масса в формуле в кг, значит $$9$$ гр $$= 9 * 10^{-3}$$ кг. Поручаем
$$\frac{mV^{2}}{2}=810+\frac{m*(v/3)^{2}}{2}$$
$$\frac{mV^{2}}{2} - \frac{m*(v)^{2}}{2}*\frac{1}{9} = 810$$
$$\frac{mV^{2}}{2}*\frac{8}{9}=810$$
$$mV^{2}=\frac{810*2*9}{8}=\frac{81*9*10}{4}$$
$$V=\sqrt{\frac{81*9*10}{4*m}}=\sqrt{\frac{81*9*10}{4*9*10^{-3}}}=\sqrt{\frac{81*10^{4}}{4}}=\frac{9*100}{2}=450$$
Задание 10
На весенних каникулах 11‐классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.
В задаче будем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: $$ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n$$ Первый день - 18 марта, это первый член арифметической прогрессии, то есть $$a_{1}=5$$. 2 апреля получается 16 день. То есть мы получаем $$ S_{16}=\frac{a_{1}+a_{16}}{2}*16$$ $$560=\frac{5+a_{16}}{2}*16$$ $$ 560=(5+a_{16})*8$$ $$ 70=5+a_{16}$$ $$ 65=a_{16}$$
Задание 11
Найдите точку минимума функции $$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}-\sqrt[3]{(x+5)^{5}}$$
Найдем производную этой функции. Представим, что
$$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}=(x+5)^{\frac{2}{3}}$$
$$ \sqrt[3]{(x+5)^{5}}=(x+5)^{\frac{5}{3}}$$
Тогда $$f_{'}(x)=\frac{2}{3}*(x+5)^{-\frac{1}{3}}-\frac{5}{3}*(x+5)^{\frac{2}{3}}=0$$
$$0=\frac{1}{3}*(2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}})$$
$$0=2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}}$$ Вынесем $$(x+5)^{-\frac{1}{3}}$$ за скобки:
$$(x+5)^{-\frac{1}{3}}(2-5*(x+5))=0$$
Получаем, что x = -4.6 и x = -5.
Если начертить координатную прямую и расставить на ней знаки производной, то увидим, что на промежутках (-∞;-5] и [-4.6;+∞) производная отрицательна, а на промежутке [-5;-4.6] - положительна. Значит x = -5 точка минимума
Задание 15
Окружность, вписанная в трапецию $$ABCD$$, касается боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$K$$ и $$M$$.
Задание 16
Два насоса перекачивают нефть из двух резервуаров в танкер. Сначала I‐й насос перекачал всю нефть из первого резервуара, затем нефть из второго резервуара была перекачана вместе I‐м и II‐м насосами. После того, как была перекачана 1/3 всей нефти, оказалось, что время, необходимое для завершения работы, в 21/13 раза меньше времени, за которое мог бы перекачать всю нефть один I‐й насос. Кроме того, известно, что если бы из второго резервуара нефть перекачивал только II‐й насос, то ему для этого потребовалось бы вдвое больше времени, нежели I‐ому насосу для перекачки всей нефти из обоих резервуаров. Определите, во сколько раз производительность I‐го насоса больше производительности II‐го.
Задание 18
Множество А состоит из всех простых чисел, не превосходящих 50, взятых по одному разу.