Перейти к основному содержанию

244 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 244 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №244 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 244 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №244 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 9%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная плата за Интернет составляет 650 рублей. Какую минимальную сумму положить в приемное устройство терминала, чтобы на счету фирмы, предоставляющей интернет‐услуги, оказалась сумма, не меньшая 650 рублей?

Ответ: 720
Скрыть

Если комиссия 9% , то доходит 91%. Тогда
650-91%
X-100%
$$X=\frac{650*100}{91}=714,28$$
Терминал принимает суммы, кратные 10.Тогда положить надо 720

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показан профиль погружения дайвера на дно моря. По горизонтали указано время в минутах, по вертикали – глубина погружения в данный момент времени, в метрах. При всплытии дайвер несколько раз останавливался для декомпрессии.

Определите по рисунку, сколько раз дайвер проводил на одной и той же глубине более 5 минут.

Ответ: 4
Скрыть

С учетом цены деления, получаем, что пять минут - 2,5 клетки. В таком случае он проводил на одной глубине более 5 минут 4 раза

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Площадь квадрата равна 10. Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

Ответ: 5
Скрыть

     1) Пусть a-сторона квадрата. Тогда $$S=a^{2}=10 \Rightarrow a=\sqrt{10}$$

$$CC_{1}=\frac{a}{2}\Rightarrow CC_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2}$$

     2) $$S_{\Delta B_{1}CC_{1}}=\frac{1}{2}*CC_{1}*B_{1}C=$$$$\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{10}}{2}*\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{5}{4}$$

     3) Тогда площадь всех треугольников: $$S_{4\Delta }=4*\frac{5}{4}=5$$. Площадь внутреннего квадрата: 10-5=5

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На фабрике керамической посуды 10% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до десятитысячных.

Ответ: 0,9783
Скрыть

Пусть x-всего тарелок. Тогда 0,9x идут сразу в продажу, 0,1x имеют дефект, но у 20% не находят дефекта, т.е. 0,2*0,1x=0,02x тоже поступят в продажу.

Всего в продаже 0,9x+0,02=0,92x. Тогда вероятность: $$\frac{0,9x}{0,92x}=0,97826\approx 0,9783$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$tg \frac{\pi x}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$ . В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: -1
Скрыть

$$tg \frac{\pi x}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{\pi x}{6}=-\frac{\pi}{6}+\pi n , n \in Z |:\frac{\pi}{6}$$

$$x=-1+6n, n \in Z$$

Найдем наибольший отрицательный: $$-1+6n<0\Leftrightarrow 6n<1\Leftrightarrow n<\frac{1}{6}. n \in Z$$, то n=0 и x=-1+6*0=-1

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике CAB угол А равен 48, угол С равен 56. На продолжении стороны АВ отложен отрезок BD=BC. Найдите угол D треугольника BCD.

Ответ: 38
Скрыть

из $$\Delta ABC :\angle B=180-(48+56)=76$$
из $$\Delta CBD: \angle C=\angle D= \frac{\angle ABC}{2}=\frac{76}{2}=38$$(т.к. внешний угол)

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график производной $$y=f'(x)$$ функции $$y=f(x)$$ , определенной на интервале (-4;8) . В какой точке отрезка [-3;1] функция $$y=f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 1
Скрыть

На данном промежутке график функции находится под осью Ох. Т.к. дан график производной , то это значит, что она отрицательная и функция убывает на всем данном промежутке. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 1

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Все ребра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны $$\sqrt{3}$$ Найдите площадь боковой поверхности пирамиды ВA1B1C1D1E1F1. В ответе укажите полученное значение, умноженное на $$6-\sqrt{7}$$ .

Ответ: 43,5
Скрыть

   1) $$\Delta A_{1}B_{1}B=\Delta B_{1}C_{1}B$$(оба прямоугольные)

$$S_{\Delta AB_{1}B}=\frac{1}{2}*A_{1}B_{1}*B_{1}B=\frac{1}{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}=\frac{3}{2}$$

   2) $$\Delta F_{1}A_{1}B=\Delta BC_{1}D_{1}(F_{1}A=D_{1}C_{1}, A_{1}B=BF_{1}, F_{1}B=D_{1}B(FB=BD))$$

$$\Delta BCD :BD=BC^{2}+CD^{2}+2 BC*CD\cos BD=\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}^{2}+2\sqrt{3}^{2} *\frac{1}{2}=3\Rightarrow BD_{1}=\sqrt{3^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{12}$$

$$\Delta BCC_{1} BC_{1}=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{6}$$

$$\cos\angle BC_{1}D_{1}=\frac{BC_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}-BD_{1}^{2}}{2*BC_{1}*C_{1}D_{1}}=\frac{6+3-12}{2*\sqrt{6*3}}=-\frac{3}{3*2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

$$\sin \angle BC_{1}D_{1}=\sqrt{1-(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$$

$$S_{BC_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}*BC_{1}*C_{1}D_{1}*\sin \angle BC_{1}D_{1}=\frac{1}{2}*\sqrt{6}*\sqrt{3}*\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$$

   3) $$\Delta BD_{1}E_{1}=\Delta BF_{1}E_{1}$$(оба прямоугольные по теореме о трех перпендикулярах )

$$S_{BD_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}*BD_{1}*D_{1}E_{1}=\frac{1}{2}*\sqrt{12}*\sqrt{3}=3$$

   4) $$S=2*\frac{3}{2}+2*\frac{3\sqrt{7}}{4}+2*3=9+\frac{3\sqrt{7}}{2}.$$

Тогда в ответе укажем: $$(9+\frac{3\sqrt{7}}{2})*(6-\sqrt{7})=1.5(6+\sqrt{7})*(6-\sqrt{7})=1.5(36-7)=43,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$-\frac{4}{\sin ^{2}27+\sin^{2}117}$$

Ответ: -4
Скрыть

$$-\frac{4}{\sin ^{2}27+\sin^{2}117}=$$$$-\frac{4}{\sin ^{2}27+\sin^{2}(90+27)}=$$$$-\frac{4}{\sin ^{2}27+\cos^{2}27}=-4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $$pV^{1,4}=const$$, где p (атм) — давление в газе, V — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 24 л, а его давление равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер? Ответ выразите в литрах.

Ответ: 0,75
Скрыть

$$p_{1}V_{1}^{1,4}=p_{2}V_{2}^{1,4}$$
$$1*24^{1,4}=128*V_{2}^{1,4}$$
$$V_{2}^{1,4}=\frac{1*24^{1,4}}{2^{7}}\Leftrightarrow$$ $$V_{2}=\sqrt[1,4]{\frac{24^{1,4}}{2^{7}}}=\frac{24}{2^{5}}=0,75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Иван и Алексей договорились встретиться в Н‐ске. Они едут к Н‐ску разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 168 км от Н‐ска и едет с постоянной скоростью 72 км/ч. Иван в момент звонка находится в 165 км от Н‐ска и ещё должен по дороге сделать 30‐минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Н‐ск одновременно с Алексеем?

Ответ: 90
Скрыть

Время Алексея: $$t_{1}=\frac{168}{72}=\frac{7}{3}$$. Т.к. Иван делает остановку $$\frac{1}{2}$$ часа, то время его движения : $$\frac{7}{3}-\frac{1}{2}=\frac{11}{6}$$(часа)
Получаем $$\frac{165}{x}=\frac{11}{6}$$,где x(км\ч)-скорость Ивана
$$x=\frac{168*6}{11}=90$$(км\ч)

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найти наименьшее значение функции $$y=\sqrt{x^{2}-2x+2}+\sqrt{x^{2}-10x+29}$$

Ответ: 5
Скрыть

Воспользуемся неравенством: $$\left | \bar{a} \right |+\left | \bar{b} \right |\geq \left | \bar{a}+\bar{b} \right |$$

Рассмотрим правило треугольника : $$AB=\left | \bar{a} \right |; BC=\left | \bar{b} \right |; AC=\left | \bar{a}+\bar{b} \right |$$. По свойству треугольника: $$AC\leq AB+BC$$

При этом Знак равно $$(\left | \bar{a} \right |+\left | \bar{b} \right |=\left | \bar{a}+\bar{b}\right |)$$ только тогда, когда $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ сонаправлены , т.е. когда $$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$$ (где $$\bar{a}(x;y));\bar{b}(x_{2};y_{2})$$)

Выделим полные квадраты под корнями:
$$x^{2}-2x+2=x^{2}-2x+1+1=(x-1)^{2}+1$$
$$x^{2}-10x+29=x^{2}-10x+25+4=(x-5)^{2}+4$$

Найдем наименьшее значение:
$$y=\sqrt{(x-1)^{2}+1}+\sqrt{(x-5)^{2}+4}$$
Пусть: $$\bar{a}=(1-x; 1); \bar{b}(x-5; 2)$$ (Если найти длины векторов, получим подкоренные выражения)
Тогда: $$\left | \bar{a} \right |=\sqrt{(1-x)^{2}+1}=\sqrt{(x-1)^{2}+1}$$ и $$\left | \bar{b} \right |=\sqrt{(x-5)^{2}+4}$$
Каждая координата суммарного вектора, равна сумме соответствующих координат первоначальных векторов: $$\bar{a}+\bar{b} =(1-x+x-5, 1+2)=(-4 ;3)$$
Тогда его длина: $$\left | \bar{a}+\bar{b} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=5$$
В таком случае получаем: $$\left | \bar{a} \right |+\left | \bar{b} \right |\geq \left | \bar{a}+\bar{b} \right |, y(x)\geq 5$$
То есть минимальное значение данной функции равно 5.

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\frac{ctg x -tg x}{3 \sin x +\cos 2x}=ctg 2x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$

Ответ: а)$$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+2\pi*n;\frac{\pi*n}{4}$$ б)$$-\frac{7\pi}{6};-\frac{5\pi}{4};-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}$$
Скрыть

   А) $$\frac{ctg x -tg x}{3 \sin x +\cos 2x}=ctg 2x$$

Область определения D(f): $$\left\{\begin{matrix}3 \sin x+\cos 2x\neq 0 \\\sin x \neq 0 \\\cos x\neq 0 \\\sin 2x\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1-2\sin ^{2}x+3 \sin x\neq 0 (1)\\x\neq \frac{\pi n }{2} n\in Z\end{matrix}\right.$$

(1)$$2 \sin^{2}x -3 \sin x-1\neq 0$$

$$D=9+8=17$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x \neq\frac{3+\sqrt{17}}{4} \\\sin x \neq \frac{3-\sqrt{17}}{4} \end{matrix}\right.$$

Решим данное уравнение:

$$\frac{\frac{\cos x }{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+3 \sin x-2 \sin^{2}x}=\frac{\cos ^{2}x-\sin^{2}x}{2\sin x *\cos x}$$

$$\frac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin x \cos x(1+3\sin x-2 \sin ^{2})}=\frac{\cos ^{2}x-\sin^{2}x}{2 \sin x \cos x}$$

$$\frac{\cos 2x}{\sin 2x}(\frac{1}{1+3 \sin x-2 \sin ^{2}}-\frac{1}{2})=0$$

$$\left\{\begin{matrix}ctg 2x=0 \\1+3 \sin x-2 \sin^{2}x -2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \\2 \sin^{2} x-3 \sin x+1=0(2) \end{matrix}\right.$$

(2)$$2 \sin^{2}x -3 \sin x+1= 0$$

$$D=9+8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x =\frac{3+1}{4}=1 \notin D(f) \\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем данный промежуток на единичной окружности (розовым выделен) и отметим общий вид корней. Найдем корни, которые попали на жанный промежуток:

     1)Найдем корни вида $$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+2\pi*n(2)$$ : $$-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}$$

     2) Найдем корни вида $$\frac{\pi*n}{4}$$:

$$(2)-\pi-\frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$$ ; 

$$(3)-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}$$ ; 

$$(4)0-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S AD=1/5 SD=1. Через точку В проведена плоскость $$\alpha$$ , пересекающая ребро SC в точке Е и удаленная от точек А и С на одинаковое расстояние, равное 1/10. Известно, что плоскость $$\alpha$$ не параллельна прямой АС.

А) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит ребро SC в отношении SE:EC = 7:1

Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$ .

Ответ: $$\frac{7\sqrt{2}}{400}$$
Скрыть

   A)  1) из $$\Delta ABC: AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(\frac{1}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{5}$$, $$CH=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{10}$$

     2)из $$\Delta HMC : \sin MHC=\frac{MC}{OH}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \angle MHC=45\Rightarrow$$ HE-биссектриса

     3) из $$\Delta SHC: SH=\sqrt{SC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{1-\frac{2}{100}}=\frac{\sqrt{98}}{10}$$

По свойству биссектрисы : $$\frac{SH}{HC}=\frac{SE}{EC}\Rightarrow \frac{\sqrt{98}}{10}:\frac{\sqrt{2}}{10}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\frac{7}{1}$$

  Б) 1)Пусть $$EH\perp HC$$,тогда из подобия $$\Delta SHC$$ и $$\Delta ENC :\frac{SE}{SC}=\frac{HN}{HC}\Rightarrow HN=\frac{SE*HC}{SC}=\frac{7*\frac{\sqrt{2}}{10}}{8}=\frac{7\sqrt{2}}{80}$$

     2) $$S_{DNB}=\frac{1}{2}NH*DB=\frac{1}{2}*\frac{7\sqrt{2}}{80}*\frac{\sqrt{2}}{5}=\frac{7}{400}$$

     3) $$S_{DEB}=\frac{S_{DNB}}{\cos EHC}=\frac{\frac{7}{400}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{400}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$x*3^{log_{\frac{1}{9}(16x^{4}-8x^{2}+1)}}<\frac{1}{3}$$

Ответ: $$(-\infty ;-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4})\cup (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4})\cup (1;+\infty )$$
Скрыть

Область определения:

$$16x^{4}-8x^{2}+1>0\Leftrightarrow (4 x^{2}-1)^{2}>0\Leftrightarrow$$$$x^{2}\neq \frac{1}{4}\Leftrightarrow x\neq \pm \frac{1}{2}$$

Решим данное неравенство:

$$x*3^{log_{\frac{1}{9}(4x^{2}-1)^{2}}}*3<1$$

$$x*3^{2*(-\frac{1}{2})log_{3}\left | 4x^{2}-1 \right |)}*3<1$$

$$x*\frac{1}{\left | 4x^{2}-1 \right |}*3<1$$

$$\frac{3x-\left | 4x^{2}-1 \right |}{\left | 4x^{2}-1 \right |}<0$$

Умножим обе части на $$\left | 4x^{2}-1 \right |$$ так как оно положительно при любой х: 

$$3x<\left | 4x^{2}-1 \right |\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}4x^{2}-1>3x & & \\4x^{2}-1 <-3x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}4x^{2}-1+3x>0 & & \\4x^{2}-1-3x <0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}(x-1)(x+\frac{1}{4})>0 & & \\(x+1)(x-\frac{1}{4})<0 & &\end{matrix}\right.$$

Получаем $$x\in (-\infty ;-\frac{1}{4})\cup (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4})\cup (1;+\infty )$$

С учетом области определения получим:

$$x\in (-\infty ;-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4})\cup (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4})\cup (1;+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника АВС ( С=90). Окружность радиуса $$\sqrt{15}$$ проходит через точки А, С, D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ:АВ=3:5. Отрезки СЕ и AD пересекаются в точке О.

А) Докажите, что СО=ОЕ

Б) Найдите площадь треугольника АВС.

Ответ: 32
Скрыть

    A) 1) $$\angle ACB=90$$, тогда AD-диаметр круга и $$\angle AED=90$$

     2) $$\angle CAD=\angle EAD$$( AD-биссектриса), AD-общая ,тогда $$\Delta ACD=\Delta ADE$$(по гипотенузе и острому углу) и AC=AE

     3)AO-общая , тогда $$\Delta ACO=\Delta EAO$$(по двум сторонам и углу), тогда CO=OE

    Б) 1)Пусть AE=3x; тогда AB=5x; AC=3x; CD=3y; DB=5y

     2)По свойству биссектрисы : $$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}=\frac{3}{5}.$$

     3) из $$\Delta ACB:(3x)^{2}+(8y)^{2}=(5x)^{2}(1)$$

Из $$\Delta ACD: (3x)^{2}+(3y)^{2}=(2\sqrt{15})^{2}(2)$$

Из (1): $$9x^{2}+64y^{2}=25x^{2}\Leftrightarrow 16x^{2}=64y^{2}\Leftrightarrow x^{2}=4y^{2}\Leftrightarrow x=2y$$

Подставим в (2): $$(by)^{2}+(3y)^{2}=60\Leftrightarrow 45y^{2}=60\Leftrightarrow y^{2}=\frac{4}{3}$$

     4) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*3x*8y=\frac{1}{2}*6y*8y=24y^{2}=24*\frac{4}{3}=32.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Оксана положила некоторую сумму на счет в банке на полгода. По этому вкладу установлен «плавающий» процент, то есть число начисленных процентов зависит от числа полных месяцев, которые вклад пролежал на счете. В таблице указаны условия начисления процентов.

Срок вклада 1‐2 месяца 3‐4 месяца 5‐6 месяцев
Ставка % годовых 12% 24% 18%

Начисленные проценты добавляются к сумме вклада. В конце каждого месяца, за исключением последнего Оксана после начисления процентов добавляет такую сумму, чтобы вклад ежемесячно увеличивался на 5% от первоначального. Какой процент от суммы первоначального вклада составляет сумма, начисленная банком в качестве процентов?

Ответ: 10,225
Скрыть

Решаем по простому проценту .Если первые два месяца по 12% годовых , то $$\frac{12}{12}=1$$% в месяц . Аналогично, следующие 2 месяца :$$\frac{24}{12}=2$$%, и затем $$\frac{18}{12}=1,5$$%.

Раз каждый месяц сумма увеличивается на 5 % в сравнении с напольной , то : пусть изначально S, тогда прибавится 0,05 *S. Заполним таблицу:

Месяц сумма на счету % от банка
1 S 0,01S
2 1,05S 0,01*1,05S=0,00105S
3 1,1S 0,02*1,1S=0,022S
4 1,15S 0,02*1,15S=0,023S
5 1,2S 0,015 *1,2S=0,018S
6 1,25S 0,015*1,25S=0,0187S

Итого банк начислит : (0,01+0,0105+0,022+0,023+0,08+0,01875)S=0,10225S

Данная сумма составит $$\frac{0,10225S}{S}*100=10,225$$%

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найти все значения параметра $$\pi<\alpha<\pi$$ , $$\left\{\begin{matrix}(4-x^{2}-y^{2})(y^{2}-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end{matrix}\right.$$ при которых система уравнений имеет ровно три решения.

Ответ: $$(-\pi +\arccos\frac{1}{4}; -\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3})\cup (\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2} ;\pi-\arccos \frac{1}{4})$$
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}(4-x^{2}-y^{2})(y^{2}-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=4\\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 (1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y^{2}-4x+8-0\\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 (2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим систему (1) :

$$x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\Leftrightarrow y=\frac{-x \cos \alpha +2}{\sin \alpha }=-ctg \alpha *x+\frac{2}{\sin \alpha }$$. Построим данную прямую . Она смешена по Oy на $$\frac{2}{\sin \alpha }$$

Пусть $$\angle OAB=\alpha$$, тогда $$\angle BCO=90-\alpha$$ , и смежный с ним $$\alpha -90$$. Для прямой $$y=kx+b; k=tg \beta$$ ,где $$\beta$$-угол между прямой и Ox: $$tg(\alpha -90)=-ctg \alpha$$

Длина OB из $$\Delta ABO: OA*\sin \alpha =\frac{2}{\sin \alpha }*\sin\alpha =2$$ Т.е. независимо от $$\alpha$$ , длина OB всегда что составляет радиус окружности $$x^{2}+y^{2}=4$$. Т.е. $$y=-ctg \alpha *x+\frac{2}{\sin \alpha }$$ при всех $$\alpha$$ - касательная ,следовательно, одно решения есть.

Рассмотрим систему (2):она должна иметь ровно 2 решения :

$$\left\{\begin{matrix} y^{2}-4x+28=0 & & \\ x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} y^{2}-4*\frac{2-y \sin \alpha }{\cos ^{2}}+28=0 & & \\ x=\frac{2-y\sin \alpha }{\cos x}& & \end{matrix}\right.$$

Учитываем ,что: $$\cos \alpha \neq 0\Leftrightarrow \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z$$

$$y^{2}-*\frac{4*(2-y \sin\alpha )}{\cos \alpha }+28=0$$

$$y^{2}\cos \alpha -8+4y \sin \alpha +28 \cos \alpha =0$$

Чтобы было два решения, дискриминант должен быть строго больше 0:

$$D=(4 \sin \alpha )^{2}-4 \cos \alpha (28 \cos \alpha -8)>0$$

$$16 \sin^{2}\alpha -16 \cos\alpha (7\cos\alpha -2)>0$$

$$\sin^{2}-7\cos^{2}\alpha +2\cos\alpha >0$$

$$1-\cos^{2}\alpha -7 \cos ^{2}\alpha +2 \cos \alpha >0$$

$$8 \cos^{2}-2 \cos \alpha -1<0$$

$$D=4+32=36$$

$$\cos \alpha =\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}$$ и $$\cos \alpha =\frac{2-6}{16}$$

Получаем: $$\left\{\begin{matrix}\cos \alpha >-\frac{1}{4} & & \\\cos \alpha <\frac{1}{2} & &\end{matrix}\right.$$. Учтем ,что $$\alpha \in (-\pi; \pi) \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\alpha \in (-\pi +\arccos\frac{1}{4}; -\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3})\cup (\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2} ;\pi-\arccos \frac{1}{4})$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 2800, и

а) пять;

б) четыре;

в) три из них образуют геометрическую прогрессию?

Ответ: нет, нет, да
Скрыть

Пусть даны числа :$$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\in N$$. Разложим 2800 на множителей : $$2800=2^{4}*5^{2}*7$$

    А) Пусть $$a_{1}$$-первый член, q-знаменатель геометрической прогрессии ($$q\in N$$), $$a_{1}; a_{1}q;a_{1}q^{2};a_{1}q^{3}; q^{4}$$-пять ее членов, тогда их произведение: $$a_{1}^{5}*q^{10}=2^{4}*5^{2}*7$$. Видим ,что степени не кратны, значит нет.

    Б) Аналогично : $$a_{1};a_{1}q;a_{1}q^{2}; a_{5}, a_{1}^{4}q^{6}*a_{5}=2^{4}*5^{2}*7$$. Выполняется ,если $$q=1; a_{1}=2; a_{5}=5^{2}*7$$, но  это не геометрическая прогрессия ,значит нет.

    B) Аналогично, $$a_{1}, a_{1}q,a_{1}q^{2},a_{4}, a_{5}$$. Тогда $$a_{1}^{3}q^{3}*a^{4}*a_{5}=0,2^{4}*5^{2}*7$$. Пусть $$a_{1}=1; q=2; a_{4}=5^{2}*2;a_{5}=7$$. Получаем : 1;2;4;50;7, значит ,да.