Перейти к основному содержанию

401 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2023.



Решаем ЕГЭ 401 вариант Ларина ЕГЭ 2023 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №335 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Основания трапеции равны 7 и 14. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ: 3,5
Скрыть

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности большего и меньшего оснований. Поэтому он равен

$$\frac{14-7}{2}=3,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Длины двух ребер прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 10, а площадь поверхности параллелепипеда равна 304. Найдите объем параллелепипеда.
Ответ: 320
Скрыть

Рассчитаем скольким условным единицам будет равняться третье измерение (обозначив его за $$c$$) заданной фигуры, если нам известно, согласно условиям этого задания, что первые два измерения равняются 4 и 10, в то время как площадь поверхности составляет 304:

$$2(4\cdot c + 4\cdot10 + 10\cdot c) = 304$$

$$80+28c=304$$

$$28c=224$$

$$c=8$$

Рассчитаем скольким кубическим условным единицам будет равняться объем заданного параллелепипеда:

$$4\cdot10\cdot8 = 320$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность того, что среди них окажутся только две помеченные щуки? Ответ округлите до тысячных.
Ответ: 0,246
Скрыть

После того как выловили и пометили 5 щук в пруде оказалось 5 помеченных щук и 35 без метки.

Количество исходов при выборе 2 щук из 5 помеченных: $$C^2_5 = \frac{5!}{2!\cdot(5-2)!} = 10$$

Количество исходов при вылове 7 щук из 35 без метки: $$C^{7}_{35}=\frac{35!}{7!\cdot(35-7)!)}=29\cdot30\cdot...\cdot\frac{35}{1\cdot2\cdot...\cdot7)} = 6724520$$

Общее количество исходов при вылове 9 щук из 40: $$C^9_{40}=\frac{40!}{9!\cdot(40 - 9)!}=32\cdot33\cdot...\cdot\frac{40}{1\cdot2\cdot...\cdot9} = 273438880$$

Вероятность выловить 2 помеченные щуки: $$P(2) = C^2_5\cdot\frac{C_{35}^7}{C_{40}^9} = 10\cdot\frac{6724520}{273438880} = 0,246.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго - 0,5, третьего - 0,6. Найдите вероятность успешного преодоления не менее двух препятствий.
Ответ: 0,5
Скрыть

$$p=p_1\cdot p_2\cdot q_3+p_1\cdot q_2\cdot p_3+q_1\cdot p_2\cdot p_3+p_1\cdot p_2\cdot p_3=$$

$$=0,4\cdot0,5\cdot0,4+0,4\cdot0,5\cdot0,6+0,6\cdot0,5\cdot0,6+0,4\cdot0,5\cdot0,6=$$

$$=0,08+0,12+0,18+0,12=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\log_4(1,6-6x)=\log_4(16x-0,6)-1.$$
Ответ: 0,175
Скрыть

ОДЗ:

$$1,6-6x>0$$

$$-6x>-1,6$$

$$x<\frac{-1,6}{-6}$$

$$x<\frac{4}{15}$$

$$16x-0,6>0$$

$$16>0,6$$

$$x>\frac{3}{80}$$

$$x\in(\frac{3}{80};\frac{4}{15})$$

Решение:

$$\log_4(1,6-6x)=\log_4(16x-0,6)-1$$

$$\log_4(1,6-6x)=\log_4(16x-0,6)-\log_4 4$$

$$\log_4(1,6-6x)=\log_4((16x-0,6):4)$$

$$\log_4(1,6-6x)=\log_4(4x-0,15)$$

$$1,6-6x=4x-0,15$$

$$-4x-6x=-1,6-0,15$$

$$-10x=-1,75$$

$$x=0,175$$

$$\frac{3}{80}<0,175<\frac{4}{15}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите значение выражения $$\log_{0,8}\log_{144}(288\sqrt{3}).$$
Ответ: -1
Скрыть

$$\log_{0,8}\log_{144}288\sqrt{3}=\log_{0,8}\log_{12^2}144\cdot2\sqrt{3}=\log_{0,8}\log_{12^2}12^2\cdot(4\cdot3)^{\frac{1}{2}}=$$

$$=\log_{0,8}\log_{12^2}12^2\cdot12^{\frac{1}{2}}=\log_{0,8}\log_{12^2}12^{2,5}=\log_{0,8}\frac{2,5}{2}=\log_{\frac{4}{5}}\frac{5}{4}=-1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ производной функции $$f(x),$$ определенной на интервале $$(-6;5).$$ Найдите точку экстремума функции $$f(x),$$ принадлежащую отрезку $$[-3; 4].$$

Ответ: -2
Скрыть

Точка экстремума на графике производной точка пересечения с осью Ox: -2.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $$Р\cdot V^a=const,$$ где $$P$$ - давление в газе (в Па), $$V$$ - объем газа (в м3), а $$const$$ и $$a$$ - постоянные величины. Найдите минимальное значение $$a$$ при котором уменьшение объема газа в 16 раз приводит к увеличению давления не менее, чем в 32 раза.

Ответ: 1,25
Скрыть

Согласно понятиям термодинамики, в каждом состоянии газ характеризуется определенными параметрами – давлением, объемом, температурой.

По условию задачи, газ переходит из одного состояния в другое так, что $$pV^a=const$$

Это значит, что

$$p_1V_1^a=p_2V_2^a$$

$$\frac{p_1}{p_2}=(\frac{V_2}{V_1})^2$$

Давление уменьшилось не менее чем в 32 раза, то есть

$$\frac{p_1}{p_2}\geq32$$

Значит,

$$(\frac{V_2}{V_1})^2\geq32$$

$$16^a\geq32,$$ отсюда $$а\geq1,25$$

Наименьшее значение для а записываем в ответ.

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Бассейн можно наполнить через четыре трубы. Если открыты вторая, третья и четвертая трубы, то бассейн наполняется за 1 час, если открыты первая, третья и четвертая трубы - за 1 час 15 минут, а если только первая и вторая - за 1 час 40 минут. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?
Ответ: 50
Скрыть

Пусть производительность труб $$а,в,с,х$$ литров в час соответственно. Примем объем всего бассейна за 1.

Тогда  $$в+с+х=1$$

          $$(а+с+х)\cdot\frac{1}{4} = 1$$

          $$(а+в)\cdot\frac{2}{3} = 1$$

Получили систему:

$$в+с+х=1$$

$$а+с+х= \frac{4}{5}$$

$$а+в=\frac{3}{5}$$

Сложим все уравнения:

$$2(а+в+с+х)= 1+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$$

$$2(а+в+с+х) = \frac{12}{5}$$

$$а+в+с+х = \frac{6}{5}$$ литров в час - совместная производительность

$$1:\frac{6}{5}=\frac{5}{6} ч=\frac{5}{6}\cdot60=50$$ минут

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На рисунке изображен график функции $$f(x)=b+\log_a x.$$ Найдите $$f(0,5).$$

Ответ: -3
Скрыть

График проходит через $$(2;1)$$ и $$(4;3).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a 2\\ 3=b+\log_a 4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a 2\\ 2=\log_a 4-\log_a 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=b+2\\ \log_a 2=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-1\\ a=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$$

Получим:

$$f(x)=-1+\log_{\sqrt{2}} x\Rightarrow f(0,5)=-1+\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=-1-2=-3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=x^3-\frac{48}{x^2}$$ на отрезке $$[-3;2].$$
Ответ: -4
Скрыть

$$(x^3-\frac{48}{x^2})' = \frac{3(x^5+32)}{x^3}$$

Точки экстремума:

$$\frac{3(x^5+32)}{x^3} = 0$$

$$x^5+32 = 0$$

$$x^5= -32$$

$$x= - 2$$ входит в отрезок $$[-3;2]$$

Значение функции в точке экстремума $$y(-2)=(-2)^3-\frac{48}{(-2)^2} = -20$$

Значение функции на концах отрезка $$[-3;2]:$$

$$y(-3)=(-2)^3-\frac{48}{(-2)^2} = -\frac{97}{3} =-32\frac{1}{3}$$

$$y(2)=2^3-\frac{48}{2^2}= -4$$

Наибольшее значение функции в точке $$x=2 ; y= -4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$\sin^4x+(\sin x-2)^4=2$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[4\pi;5\pi]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{9\pi}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной треугольной пирамиде $$МАВС$$ двугранный угол при основании равен $$\arctg3.$$ Через точку $$К$$ ребра $$МС$$ и вершины $$А$$ и $$В$$ проходит плоскость $$\alpha$$ так, что площадь сечения пирамиды плоскостью $$\alpha$$ относится к площади основания как $$3:\sqrt{13}.$$

А) Докажите, что прямая $$МС$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha.$$

Б) Найдите объем пирамиды $$МАВК,$$ если объем пирамиды $$МАВС$$ равен $$52\sqrt{5}.$$

Ответ: $$28\sqrt{5}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\frac{2x^3-11x^2+12x+9}{3^{2x+1}-7\cdot3^x+2}\leq0$$
Ответ: $$(-\infty;-1),[-\frac{1}{2};\log_3 2),\left\{3\right\}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму (в тыс. рублей) нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Ответ: 2034
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Внутри окружности с центром О построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки В, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды АВ и ВС, проходящие через вершины К и F шестиугольника соответственно.

А) Докажите, что АК : КВ = 3 : 7.

Б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 14.

Ответ: $$125\sqrt{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых система:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}(x^2-x+2)-yx^3=yx(2-x),\\ y^2+(2a-7)y+(a+2)(5-3a)=0 \end{matrix}\right.$$

имеет ровно 2 решения.

Ответ: $$\left\{\frac{3}{4}\right\}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Первый член геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 368. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

A) Может ли число 575 являться членом такой прогрессии?

Б) Может ли число 920 являться членом такой прогрессии?

В) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Ответ: А) да, Б) нет, В) 828