Перейти к основному содержанию

406 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2023.



Решаем ЕГЭ 406 вариант Ларина ЕГЭ 2023 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №406 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В треугольнике АВС из середины М стороны АВ опущен перпендикуляр МН на стороны ВС, $$\angle ACB = 60^{\circ}, \angle AMH = 150^{\circ}, BH = 2.$$ Найдите длину стороны АС.

Ответ: 8
Скрыть

$$\angle HMB=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}\Rightarrow \angle MBH=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\Rightarrow \Delta ABC$$ - равносторонний.

Из $$\Delta HMB: MB=\frac{HB}{\sin\angle HMB}=\frac{2}{\sin30^{\circ}}=4\Rightarrow AB=8\Rightarrow AC=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Объём куба равен 72. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Ответ: 12
Скрыть

$$V_{куба}=72$$

$$V_{пирамиды}=\frac{1}{3}\cdot S_{ocн}\cdot h$$

$$V_{пирамиды}=\frac{1}{6}\cdot S_{куба}=\frac{1}{6}\cdot72=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

В Волшебной стране бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившаяся утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.
Ответ: 0,42
Скрыть

Имеем два варианта расклада с разным промежуточным состоянием 4-го мая:

а) 3-го мая солнечно, 4-го мая солнечно, 5-го мая дождливо:

$$0,7\cdot0,3=0,21,$$

б) 3-го мая солнечно, 4-го мая дождливо, 5-го мая дождливо:

$$0,3\cdot0,7=0,21$$

$$0,21+0,21=0,42$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Аня коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Ани уже есть шесть разных принцесс из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Ане придётся купить ещё 1 или 2 шоколадных яйца?
Ответ: 0,64
Скрыть

Ане нужны 4 принцессы из 10, то есть вероятность обнаружить одну из нужных принцесс при покупке равна $$0,4.$$

Вероятность того, что в очередной покупке не будет нужной принцессы равна

$$1-0,4 = 0,6.$$

Тогда вероятность того, что нужной принцессы не будет в первой покупке, но она будет в следующей равна $$0,6\cdot0,4 = 0,24.$$

Таким образом, искомая вероятность получения нужной принцессы после одной или двух покупок:

$$0,4+0,24 = 0,64.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\frac{x}{x^2+1}+\frac{x^2+1}{x}=2,9.$$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите их сумму.
Ответ: 2,5
Скрыть

Пусть $$\frac{x}{x^2+1}=y$$. Получим: $$y+\frac{1}{y}=\frac{29}{10}\Rightarrow\frac{10y^2-29y+10}{10y}=0\Rightarrow 10y^2-29y+10=0$$

$$D=841-400=441$$

$$y_1=\frac{29+21}{20}=2,5$$

$$y_2=\frac{29-21}{20}=0,4$$

Обратная замена:

$$\frac{x}{x^2+1}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow5x^2-2x+5=0: D<0$$ - решений нет.

$$\frac{x}{x^2+1}=\frac{2}{5}\Rightarrow2x^2-5x+2=0\Rightarrow x^2-2,5x+1=0\Rightarrow x_1+x_2=2,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите значение выражения

$$\log_4\cos0^{\circ}+\log_4\cos20^{\circ}+\log_4\cos40^{\circ}+\log_4\cos80^{\circ}.$$

Ответ: -1,5
Скрыть

Получим $$\log_4(\cos0^{\circ}\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ})$$

Учтём, что $$\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}=\frac{\sin20\cos20\cos40\cos80}{\sin20}=\frac{\frac{1}{2}\sin40\cos40\cos80}{\sin20}=$$

$$=\frac{\frac{1}{4}\sin80\cos80}{\sin20}=\frac{\frac{1}{8}\sin160}{\sin20}=\frac{\frac{1}{8}\sin(180-20)}{\sin20}=\frac{\frac{1}{8}\sin20}{\sin20}=\frac{1}{8}$$

$$\cos0=1$$

Получим: $$\log_4(1\cdot\frac{1}{8})=\log_{2^2}2^{-3}=-\frac{3}{2}=-1,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$ и отмечены точки -3, -2, -1, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: 1
Скрыть

Производная отрицательная там, где функция убывает: -3; 1; 2. При этом, чем ближе тупой угол между касательной в эти точки и Ox, тем меньше значение производной $$\Rightarrow 1$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака по закону $$H(t)=at^2+bt+H_0,$$ где $$H_0 = 5$$ м - начальная высота уровня вода, $$a = \frac{1}{500}; b = -\frac{21}{50}$$ - постоянные величины, $$t$$ - время в минутах с момента открытия крана. Найдите наибольшее время в минутах с момента открытия крана, через которое следует закрыть кран, чтобы в баке осталось не менее 1 метра уровня воды.
Ответ: 10
Скрыть

Очевидно, что вода будет вытекать из бака пока высота воды в баке отлична от нуля. Следовательно, чтобы найти время вытекания воды, нужно величину $$H(t)$$ приравнять к (т.к. не менее 1 метра) и из полученного уравнения найти время $$t$$:

$$at^2+bt+H_0=1$$

$$\frac{1}{500}t^2-\frac{21}{50}t+5=1$$

$$x^2-210x+2000=0$$

Решая уравнение, получаем

$$x_1=10$$

$$x_2=200$$

200 нам не подходит, значит, ответ 10

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2 : 3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2 : 1. Сколько килограммов нового сплава получилось?
Ответ: 9
Скрыть

Чтобы из отношения $$2:3$$ получить отношение $$2:1,$$ нужно добавить четыре части меди:

$$(2 + 4):3 = 6:3 = 2:1,$$

а добавлено было 4 кг меди, следовательно, одна часть добавленной меди имела массу 1 кг.

Значит, меди было изначально 2 кг, а цинка 3 кг, всего 5 кг, а после добавления меди масса сплава стала равной 9 кг

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найти ординату точки пересечения графиков.

Ответ: -24
Скрыть

f(x) проходит через (-12;3) и (-8;-3).

Получим: $$\left\{\begin{matrix} 3=-12k+b\\ -3=-8k+b \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 6=-4k\\ -3=-8k+b \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} k=-1,5\\ -15=b \end{matrix}\right.$$

$$f(x)=-1,5x-15$$

g(x) проходит через (-4;1) и (-2;-4):

$$\left\{\begin{matrix} 1=-4k+b\\ -4=-2k+b \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 5=-2k\\ -4=-2k+b \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} k=-2,5\\ b=-9 \end{matrix}\right.$$

$$g(x)=-2,5x-9$$

Тогда: $$-1,5x-15=-2,5x-9\Rightarrow x=6\Rightarrow y=-1,5\cdot6-15=-24$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=e^{4x}-4e^x+8$$ на отрезке $$[-2;2]$$
Ответ: 5
Скрыть

1. Вычисляем производную функции:

$$y = e^{4x} - 4e^x + 8;$$

$$y' = 4e^{4x} - 4e^x = 4(e^{4x}-e^x).$$

2. Находим стационарные точки:

$$4(e^{4x} - e^x) = 0;$$

$$e^{3x + x} - e^x = 0;$$

$$e^x\cdot e^{3x} - e^x = 0;$$

$$e^x\cdot(e^{3x} - 1) = 0;$$

$$\left[\begin{matrix} e^x=0\;-\;нет\, решений\\ e^{3x}-1=0 \end{matrix}\right.$$

$$e^{3x} = 1;$$

$$3x = 0;$$

$$x = 0.$$

В точке $$x = 0$$ происходит переход от убывания к возрастанию, значит, это - точка минимума.

3. Наименьшее значение функции:

$$y = e^{4x} - 4e^x + 8;$$

$$x_{min} = 0;$$

$$y_{min} = y(0) = e^{4\cdot0}-4\cdot e^0 + 8 = 1 - 4 + 8 = 5.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$3\cos\frac{x}{4}\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{4}=\frac{1-\ctg x}{1-\ctg^2x}$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие интервалу $$(-2\pi;-\frac{3\pi}{2})$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}\pm\arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}+2\pi n,n\in Z$$ Б)$$-\frac{7\pi}{4}\pm\arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Трапеция KLMN является основанием пирамиды PKLMN, $$\angle KLM + \angle LMN = 270^{\circ},$$ Q - точка пересечения прямых KL и MN. Плоскости KPL и PMN перпендикулярны плоскости основания.

А) Докажите, что плоскости KPL и PMN взаимно перпендикулярны.

Б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды PLQM, если KL=LM=MN=12, а высота пирамиды PKLMN равна 8.

Ответ: $$80\sqrt{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\lg(5x^2-15)-\lg x<\lg(5x^2+\frac{5}{x}-10x)$$
Ответ: $$(\sqrt{3};2),(2;\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Банк выдает кредиты под 10% годовых при условии погашения кредита ежегодными равными платежами. На какой срок (целое число лет) следует взять кредит, чтобы ежегодный платеж не превосходил 20% от суммы кредита, а полная сумма выплат превосходила сумму кредита не более чем на 50%?
Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

А) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

Б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

Ответ: $$\frac{48}{25}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых система

$$\left\{\begin{matrix} |x^2-x-6|=(y-1)^2+x-7\\ 3y=2x+a \end{matrix}\right.$$

имеет ровно один или ровно два корня.

Ответ: $$(-\infty;-10),(-9;-2],[3;\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

На множестве натуральных чисел введем новую операцию «квазиумножения» $$(*)$$: квазипроизведением чисел $$m$$ и $$n$$ будем называть $$m*n=\frac{m}{d}\cdot\frac{n}{d},$$ где $$d=НОД (m, n).$$

А) Решить уравнение $$2*x=3$$$$

Б) Сколько решений может иметь уравнение $$a*x=p,$$ где $$p$$ - простое число?

В) Последовательность натуральных чисел $$\left\{a_n\right\}$$ называется квазигеометрической прогрессией со знаменателем $$q,$$ если $$a_{n+1}=a_n * q$$ для всех $$n\geq1.$$ Сколько элементов в самой длинной возрастающей квазигеометрической прогрессии?

Ответ: А) 6, Б) 1 и 2, В) 2