400 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2023.

Тангенс угла ACB можно выразить через угол ACH следующим образом:

$$\tg\angle ACB=\tg(\pi-\angle ACH)=-\tg\angle ACH$$.

Найдем тангенс угла ACH из прямоугольного треугольника ACH как отношение противолежащего катета AH на прилежащий катет CH:

$$\tg\angle ACH=\frac{AH}{CH}=\frac{AH}{\sqrt{AC^2-AH^2}}$$

$$\tg\angle ACH=\frac{4}{\sqrt{80-16}}=\frac{4}{8}=0,5$$

Тогда

$$\tg\angle ACB=-0,5$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ASH, в котором высота SH=15, угол SAH=60°, а угол ASH=30°. Тогда отрезок AH будет равен

$$\tg\angle ASH=\frac{}{}\Rightarrow AH=SH\cdot\tg 30^{\circ}$$

$$AH=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$$

Из рисунка видно, что треугольник ASD имеет два угла по 60°, следовательно, третий угол ASD также равен 60° и треугольник ASD равносторонний. В равностороннем треугольнике высота SH делит основание AD пополам, то есть $$AD=2AH$$ и $$AD=10\sqrt{3}$$

Для нахождения второй стороны основания рассмотрим прямоугольный треугольник SHG, в котором угол SGH=60° по условию задачи. Следовательно, угол HSG будет равен 30° (так как сумма углов в треугольнике всегда 180°). Аналогично находим длину HG:

$$HG=SH\cdot\tg 30^{\circ}$$

$$HG=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$$

Тогда площадь основания пирамиды будет равна

$$S_{осн}=AD\cdot HG=10\sqrt{3}\cdot5\sqrt{3}=150$$

и объем пирамиды

$$V=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot150\cdot15=750$$

Пусть Михаил попадет в какую-то из групп (неважно в какую), тогда для Олега останется только 1 место в этой группе, а всего мест 5 (т.к Михаил свое занял)

$$​P(A)=\frac{1}{5}=0,2$$

$$600+360+35+5=1000$$ - всего билетов

$$\frac{600}{1000}=0,6$$ - шанс купить билет с выигрышем 8 рублей

$$0,36; 0,035; 0,005$$ - остальные билеты

$$8\cdot0,6+20\cdot0,36+400\cdot0,035+5000\cdot0,005=4,8+7,2+14+25=51$$ - математическое ожидание выигрыша

$$80-51=29$$ - ответ

$$\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{1}{2x^2-3x+1}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2-3x+2=2x^2-3x+1\\ x^2-3x+2\neq0 \end{matrix}\right.$$

Получим: $$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1.$$ Но при $$x=1$$ имеем $$x^2-3x+2=0,$$ значит - это посторонний корень и $$x=-1$$

$$\frac{18\cdot\sqrt[3]{\sqrt[8]{a}}-3\cdot\sqrt[4]{\sqrt[6]{a}}}{3\cdot\sqrt{\sqrt[12]{a}}}=\frac{18\sqrt[3\cdot8]{a}-3\sqrt[4\cdot6]{a}}{3\cdot\sqrt[2\cdot12]{a}}=\frac{18\sqrt[24]{a}-3\sqrt[24]{a}}{3\sqrt[24]{a}}=\frac{15\sqrt[24]{a}}{3\sqrt[24]{a}}=5$$

Так как дан график производной, то точки минимума функции - точки пересечения оси $$Ox$$ с нижней полуплоскости на верхнюю:

$$x=3;16\Rightarrow 2$$ шт.

$$40−5t^2\geq15,8​$$

$$​−2,2\leq t\leq2,2​$$

Т.к $$​t\geq0​,$$ то сосулька будет находится на высоте не менее 15,8 в течении 2,2 секунд

Пусть скорость первого х км в час, скорость второго у км в час.

S км – весь путь.

$$\left\{\begin{matrix} 4y-4x=\frac{2}{5}S\\ \frac{S}{x}-\frac{S}{y}=\frac{5}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} S=10y-10x\\ S\cdot\frac{y-x}{xy}=\frac{5}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} S=10y-10x\\ 3S(y-x)=5xy \end{matrix}\right.$$

$$3\cdot(10y-10x)(y-x)=5xy$$ $$|:5$$

$$6(y-x)\cdot(y-x)=xy$$

$$6x^2-13xy+6y^2=0$$

$$D=169y^2-4\cdot6\cdot6y^2=25y^2$$

$$x_1=\frac{8y}{12}$$ или $$x_2=\frac{18y}{12}$$

$$x_1=\frac{2y}{3}$$ или $$x_2=\frac{3y}{2}$$

$$x_2$$ говорит о том, что скорость первого больше скорости второго, это не удовлетворяет смыслу задачи, первый не отстанет.

при $$x=\frac{2y}{3}\Rightarrow y=\frac{3}{2}x$$

$$S=10\cdot(y-x)$$

$$S=10\cdot(\frac{3}{2}x-x)$$

$$S=10\cdot0,5x\Rightarrow S=5x$$

$$\frac{S}{x}=5$$

График проходит через $$(-3;1)$$ и $$(-1;2).$$

Получим: $$\left\{\begin{matrix} 1=\log_a(b-3)\\ 2=\log_a(b-1) \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a=b-3\\ a^2=b-1 \end{matrix}\right.$$

$$(b-3)^2=b-1\Rightarrow b^2-6b+9=b-1\Rightarrow b^2-7b+10=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} b=2\\ b=5 \end{matrix}\right.$$

При $$b=2$$ имеем $$b-3<0\Rightarrow$$ посторонний

При $$b=5$$: $$a=5-3=2$$

Получим $$f(x)=\log_2(x+5)=4\Rightarrow x+5=16\Rightarrow x=11$$

$$y'=(x+\frac{8}{x^4})'=1-\frac{32}{x^5}=0\Rightarrow\frac{x^5-32}{x^5=0}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x^5=32\\ x\neq0 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=2\\ x\neq0 \end{matrix}\right.$$

$$f'(-1)=1+\frac{32}{1}=33>0\Rightarrow$$ на $$[-2;-1]$$ функция возрастает и $$max(f(x))=f(-1)=-1+\frac{8}{(-1)^4}=7$$

Пусть сумма кредита равна S тыс. руб., а $$k=1+\frac{p}{100},$$  тогда через год долг станет равен kS тыс. руб. или S+30 тыс. руб. Приравняем эти значения и выразим S:

$$kS=S+30\Leftrightarrow kS-S=30\Leftrightarrow S(k-1)=30\Leftrightarrow S=\frac{30}{k-1}.$$

После возврата части долга, долг стал равен $$\frac{S}{2}$$ тыс. руб., а еще через два года $$\frac{Sk^2}{2}$$ тыс. руб. или 108 тыс. руб. Приравняем эти значения, подставим $$S=\frac{30}{k-1},$$ получим уравнение на k:

$$\frac{30k^2}{k-1}=108\Leftrightarrow\frac{k^2}{k-1}=7,2\Leftrightarrow k^2-7,2k+7,2=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} k=1,2,\\ k=6 \end{matrix}\right.$$

По условию, $$p<40,$$ тогда $$k<1,4.$$ Значит, $$k=1,2,$$ откуда получаем

$$1+\frac{p}{100}=1,2\Leftrightarrow p=20.$$