Перейти к основному содержанию

247 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 247 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №247 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 247 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №247 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В кафе действует следующее правило: на ту часть заказа, которая превышает 1000 рублей, действует скидка 25%. После игры в футбол студенческая компания из 20 человек сделала в кафе заказ на 3400 рублей. Все платят поровну. Сколько рублей заплатит каждый?

Ответ: 140
Скрыть
Часть заказа свыше 1000: 3400-1000=2400 рублей
Сумма с учетом скидки: 2400*0,75=1800 рублей
Итоговая сумма:1000+1800=2800 рублей
Сумма с человека: $$\frac{2800}{20}=140$$ рублей
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей температурами в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 30
Скрыть
$$t_{max}=16$$(июль)
$$t_{min}=-14$$(февраль)
$$t_{max}-t_{min}=16-(-14)=30$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр параллелограмма, ограниченного этими прямыми и боковыми сторонами данного треугольника.

Ответ: 20
Скрыть
FC=DC, CE=FD(CFDE-паралеллограм)
$$P_{CFDE}=(FE+CE)2$$
Т.к. $$FD\left | \right |CE$$, то $$\Delta AFD$$-равнобедренный и $$AF=FD$$, аналогично $$\Delta DEB$$- равнобедренный и $$DE=EB$$. Тогда $$CE+ED=FC+CE=CB$$
$$P_{CFDE}=2*CB=20$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков больше или равно 10. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,53
Скрыть

Рассмотрим возможные произведения (по центру будут произведение выпавших чисел)

Первый кубик/Второй кубик (число) 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36

Количество произведений $$\geq 10$$: 19 (выделены жирным шрифтом)

Общее количество - 36

$$P=\frac{19}{36}\approx 0,527\approx 0,53$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения: $$\sqrt{4x^{2}-4x+2}=\sqrt{1+x-2x^{2}}$$ . Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

Ответ: 0,5
Скрыть

Область определения D:

$$\left\{\begin{matrix}4x^{2}-4x+2\geq 0\\1+x-2x^{2}\geq 0\end{matrix}\right.$$

Возведем обе части в квадрат :

$$4x^{2}-4x+1=0\Leftrightarrow$$$$6x^{2}-5x+1=0$$

$$D=25-24=1$$

$$x_{1}=\frac{5+1}{12}=0,5$$

$$x_{2}=\frac{5-1}{12}=\frac{1}{3}$$

Оба корня попадают в D, наибольший равен 0,5

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружности.

Ответ: 36
Скрыть

$$\cup AB=\frac{1}{5}*260=72$$
$$\angle ACB=\frac{1}{2}\cup AB=36$$(вписанный)

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. Найдите среди точек x1,x2,...,x6 те точки, в которых производная функции $$y=f(x)$$ отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.

Ответ: 2
Скрыть

f'<0 если f(x)-убывает : $$x_{2};x_{4}$$ - две точки

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Ответ: 2
Скрыть

Пусть $$V_{1}$$ - объем описанного, $$V_{2}$$ - вписанного. Т.к. высота у них одна, то $$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{S_{1}}{S_{2}}$$. Пусть $$a$$-сторона основания (квадрата)

Из квадрата : $$\frac{1}{2}a=R_{2}$$

$$\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=$$$$\frac{a}{\sqrt{2}}=R_{1}$$

$$\frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{R_{1}}{R_{2}})^{2}=$$$$(\frac{a}{\sqrt{2}}*\frac{2}{a})^{2}=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Най­ди­те $$\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}$$, если $$p(b)=(b-\frac{7}{b})(-7b+\frac{1}{b})$$ при $$b\neq0$$

Ответ: 1
Скрыть

$$p(\frac{1}{b})=$$$$(\frac{1}{b}-\frac{2}{1})(-7*\frac{1}{6}+\frac{1}{\frac{1}{6}})=$$$$(\frac{1}{6}-7b)(-\frac{7}{b}+b)=p(b)$$

$$\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}=\frac{p(b)}{p(b)}=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введем систему координат: ось Оу направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ох направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение $$y=0,0041x^{2}-0,71x+34$$, где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 60 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 6,16
Скрыть

$$y(60)=0,0041*60^{2}-0,71*60+34=$$$$0,41*36-7,1+34=$$$$14,76-42,6+34=6,16$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью 80 км/ч, а второй—со скоростью 60 км/ч. Через полчаса следом за ними выехал третий автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля, если известно, что с момента, когда он догнал второй автомобиль, до момента, когда он догнал первый автомобиль, прошёл 1 час 15 минут. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 100
Скрыть

За полчаса первый проедет 40 км., второй 30 км. Тогда время , за которое догонит третий второго: $$t_{2}=\frac{30}{x-60}$$, первого: $$t_{1}=\frac{40}{x-80}$$, где x-км\ч скорость третьего

$$\frac{40}{x-80}-\frac{30}{x-60}=$$$$1\frac{15}{60}=\frac{5}{4}| : \frac{5}{4}$$

$$\frac{32}{x-80}-\frac{24}{x-60}=1\Leftrightarrow$$$$32x-60*32-24x+24*80=x^{2}-140x+4800\Leftrightarrow$$$$x^{2}-140x -8x+4800=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-148x+4800=0\Leftrightarrow$$

D=21904-19200=2704

$$x_{1}=\frac{148+52}{2}=48<80$$

$$x_{2}=\frac{148+52}{2}=100$$ км/ч - скорость 3го

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее на отрезке [1;6] значение функции $$y=7|x-3|-2|x+5|-|4x-3|+5$$

Ответ: -20
Скрыть

На промежутке [1;6] x+5>0 4x-3>0, тогда: $$y=7\left | x-3 \right |-2x-10-4x+3+5=$$$$7\left | x-3 \right |-6x-2$$

Вершина полученного графика будет находиться в точке, где подмодульное выражение равно 0, то есть $$x=3\Rightarrow$$ $$y_{min}=y(3)$$

$$y(3)=7\left | 3-3 \right |-6*3-2=-20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\frac{2\cos x -3}{2\cos x -1}+\frac{1}{2\cos^{2} x -\cos x}=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: a)$$2\pi n$$б)$$-4\pi$$
Скрыть

A)   Область определения D(x):

$$\left\{\begin{matrix}2\cos x-1\neq 0\\2 \cos ^{2}x-\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{1}{2}\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.$$

$$\frac{2\cos x-3}{2\cos x-1}+\frac{1}{\cos x(2 \cos x-1)}=0$$

     Приведем к общему знаменателю и приравняем числитель к нулю:

$$2 \cos^{2}x-3\cos x+1=0$$

     Пусть $$\cos x=t \in [-1 ;1]$$

$$2t^{2}-3t+1=0$$

$$D=9-8=1$$

$$t_{1}=\frac{3+1}{4}=1$$

$$t_{2}=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$$

     Тогда : $$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\pi n , n \in Z\\\notin D(x)\end{matrix}\right.$$

Б)   На данном промежутке при n=-2 получаем $$x=-4\pi$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Через середину ребра АС правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ , каждая из которых образует угол 300 с плоскостью АВС. Сечения пирамиды этими плоскостями имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани АВС, а плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна ребру SA.

А) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$\alpha$$

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$\beta$$

Ответ: $$\frac{3}{8}; \frac{54}{49}$$
Скрыть

A)   1) AE- медиана $$\Rightarrow AE\perp NM\Rightarrow$$ $$NM\perp AS$$(теорема о трёх перпендикулярах )$$\Rightarrow (MNK)=\alpha$$

     2) $$S_{MNC}=S_{NMA}*\cos30$$

$$MN=1\Rightarrow$$ $$CB=2\Rightarrow$$ $$S_{AMN}=\frac{1}{4}*S_{ABC}=$$$$\frac{1}{4}*\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$

$$S_{MNK}=\frac{\sqrt{3}}{4}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$$

Б)   1) $$\beta \cap ABC=MN\Rightarrow$$ т.к. $$(BSK)\cap ABC=BC$$, то $$MN\left | \right |QP\Rightarrow QPMN$$ - равнобокая трапеция

     2) $$\angle SAE=90-30=60(\Delta KLA)$$

$$\Delta ABC:AE=AC*\sin 60=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}*2=\sqrt{3}$$

$$AD=\frac{2}{3}AE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$, $$\Delta ASO:AS=\frac{AO}{\cos 60}=$$ $$\frac{2\sqrt{3}}{3}*2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

     3) $$\angle LRE=30$$, пусть AF –биссектриса $$SAE\Rightarrow AF\left | \right |LR$$, $$LR=\frac{1}{2}AF(\Delta AFE)$$

$$AF=\frac{2*AE*AS}{AE+AS}*\cos \frac{SAE}{2}=$$$$\frac{2\sqrt{3}*\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{12}{7}\Rightarrow LR=\frac{6}{7}$$

     4) По свойству биссектрисы: $$\frac{SF}{FE}=\frac{SA}{AE}=\frac{4}{3}$$

$$RE=FR=\frac{1}{2}FE=$$$$\frac{1}{2}*\frac{3}{7}AE=$$$$\frac{3}{14}SE$$

$$PQ=\frac{11}{12}BC=\frac{11}{7}\Rightarrow$$ $$S_{\beta}=\frac{1+\frac{11}{7}}{2}*\frac{6}{7}=\frac{54}{49}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$\log_{x}\frac{x+1}{12x}> 2\log_{\frac{x+1}{12x}} x$$

Ответ: $$(\frac{1}{3};1)\cup (3 ;11)$$
Скрыть

     Область определения D(x):

$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\\frac{x+1}{12x}>0\\\frac{x+1}{12}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$$

     Разложим данные логарифмы:

$$\log_{x}(x+1)-(\log_{x}12+\log_{x}x)-\frac{2}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

$$\log_{x}(x+1)-\log_{x}12-1-\frac{2}{\log_{x}}\frac{x+1}{12}>0$$

$$\log_{x}\frac{x+1}{12}-\frac{2}{\log\frac{x+1}{12}}-1>0$$

$$\frac{\log_{x}^{2}\frac{+1}{12}-\log_{x}\frac{x+1}{12}-2}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

$$\frac{(\log_{x}\frac{+1}{12}-2)(\log_{x}\frac{x+1}{12}-1)}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

     Воспользуемся методом рационализации:

$$\frac{(x-1)(x+1-12x^{2})(x^{2}+x-12)}{(x+1-12)}>0$$

$$\frac{(x-1)(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{4})(x-2)(x+4)}{x-11}<0$$

     С учетом области определения:

$$x \in (\frac{1}{3};1)\cup (3 ;11)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике АВС угол С тупой, а точка D выбрана на продолжении АВ за точку В так, что $$\angle ACD=135$$ точка D' симметрична точке D относительно прямой ВС, точка D'' симметрична точке D’ относительно прямой АС и лежит на прямой ВС. Известно, что $$\sqrt{3}BC=CD''$$, AC=6.

А) Докажите, что треугольник CBD – равнобедренный

Б) Найдите площадь треугольника АВС

Ответ: $$3\sqrt{3}$$
Скрыть

A)   1) Пусть $$\angle {D}'CO=\alpha$$ .Т.к. $${D}'Q=QD$$, CQ-общая и $$\angle {D}'QC=90$$, то $$\Delta C{D}'Q=\Delta CQD$$ и $$\angle QCD=\alpha$$

     2) из $$\Delta ACD :\angle ACB=135-\alpha$$

$$\angle AC{D}'=135-2\alpha =\angle {D}''CA$$(аналогично п.1)

$$\angle {D}''CA+ACQ=180$$

$$135-2\alpha +135-\alpha =180$$

$$3\alpha =90\Leftrightarrow$$ $$\alpha=30$$

     3) Пусть $${D}''C=x$$, тогда $$C{D}'=x=CD$$.Т.к. $$\angle {D}'CD=2\alpha=60$$ и $$C{D}'=CD$$, $$\Delta C{D}'D$$-равносторонний .Тогда $$CQ=C{D}'\sin 60=\frac{\sqrt{3x}}{2}$$

     4) $$BC=\frac{C{D}''}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}x}{3}$$.Тогда $$BQ=CQ-CB=$$$$\frac{\sqrt{3}x}{2}-\frac{\sqrt{3}x}{3}=\frac{\sqrt{3}x}{6}$$, $$\frac{CB}{BQ}=\frac{\sqrt{3}x}{3}:\frac{\sqrt{3}x}{6}=2:1$$

а т.к. $$CQ\perp DB$$, то CQ- медиана, тогда B-точка пересечения медиан $$\Rightarrow CN\perp C{D}'$$ и $$\angle BDC=\angle BD{D}'\Rightarrow$$ $$\Delta CBD$$-равнобедренный.

Б) 1) $$\angle ACB=135-\alpha=105$$ , $$\angle ABC=180-120=60.$$

По т. Синусов из $$\Delta ACB$$: $$\frac{AC}{\sin \beta }=\frac{OB}{\sin \alpha }\Leftrightarrow$$ $$CB=\frac{6*\sin 15}{\sin 60}=4\sqrt{3}\sin 15$$

     2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB*\sin C=$$$$\frac{1}{2}*6*4\sqrt{3}\sin 15 *\sin 105=$$$$12\sqrt{3}*\sin 15*\cos 15=$$$$12\sqrt{3}*\frac{1}{2}*\sin 30=3\sqrt{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В пряничный цех поступил заказ на изготовление партии сувенирных пряников трех видов: с клубничной начинкой, с вишневой и с шоколадной. Цена пряников с клубничной и вишневой начинкой одинакова, первых заказали на сумму 4000 руб, вторых – 60 штук. Пряники с шоколадной начинкой стоят 150 руб за штуку, их заказали столько же, сколько пряников с вишневой и клубничной начинками вместе. Какова наименьшая стоимость всего заказа? При какой цене на пряники с фруктовой начинкой она достигается?

Ответ: 100 и 25000
Скрыть

    Пусть x-цена пряников с клубникой и вишневой начинкой. Пусть y-количество пряников с клубникой, тогда цена одного: $$x=\frac{4000}{y}(1)$$. Общее количество с клубникой и вишней $$(y+60)$$. Общая их цена : $$(y+60)*x$$

    Общая цена с шоколадом : $$(y+60)*150$$. Итого: $$S=(y+60)*x+(y+60)*150$$

    С учетом (1): $$y=\frac{4000}{x}$$

$$S=(\frac{4000}{x}+60)x+(\frac{4000}{x}+60)*150\rightarrow min$$

$$S=4000+60x+\frac{600000}{x}+9000=$$$$60x+\frac{600000}{x}+13000$$

$${S}'=60-\frac{600000}{x^{2}}=0$$

$$x^{2}=\frac{600000}{60}=10000$$

$$x=\pm 100$$

    То есть $$x_{min}=100$$

$$S=4000+60*100+\frac{600000}{100}+9000=25000$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}|x|+|y|+|2y-3x|=12\\ x^{2}+y^{2}=a \end{matrix}\right.$$ имеет ровно две действительные пары решений

Ответ: 4,5; 29,25
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}\left | x \right |+2\left | y \right |+\left | 2y-3x \right | =12=f\\x^{2}+y^{2}=a=g\end{matrix}\right.$$

g - окружность с центром в начале координат и радиуса $$\sqrt{a}\Rightarrow a>0$$

     Рассмотрим график f:

При $$2y-3x\geq 0\Leftrightarrow$$ $$y\geq 1,5 x$$ получили $$\left | x \right |+2\left | y \right |+ 2y-3x =12$$

     В данном случае будет 3 части плоскости:

1)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$x+2y+2y-3x=12\Leftrightarrow$$ $$y=3+0,5x$$

2)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$-x+2y+2y-3x=12\Leftrightarrow$$ $$y=3+x$$

3)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -x-2y+2y-3x=12\Rightarrow x=-3$$

     При $$2y-3x<0\Leftrightarrow y<1,5x$$ получим так же 3 части плоскости:

1)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x+y-2y+3x=12\Leftrightarrow x=3$$

2)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x-y-2y+3x=12\Leftrightarrow y=-3+x$$

3)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$-x-y-2y+3x=12\Leftrightarrow y=x-3$$

     Построим график данной функции .

     Очевидно , что 2 точки будет если пройдет через (C) и если касается в (B)

     Найдем координаты (C) :$$y=3+0,5=4,5$$.

Тогда $$OC=r_{1}^{2}=a=3^{2}+4,5^{2}=29,25$$. Найдем $$OB=r_{2}^{2}=a=1,5^{2}+1,5^{2}=4,5.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

А)Можно ли в выражении $$\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}$$ вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «‐», чтобы модуль этого выражения стал меньше $$\frac{1}{8}$$ ?

Б) Можно ли в выражении $$\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}$$ вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «‐», чтобы модуль этого выражения стал меньше $$\frac{1}{500}$$ ?

В) Какое наименьшее значение может принимать выражение $$|\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}|$$ , если разными способами заменять каждый из знаков * заменять знаками «+» и «‐»?

Ответ: да, нет, $$\frac{13}{840}$$
Скрыть

A)   да, $$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$$

Б)   Приведем к общему знаменателю и найдем наибольшую сумму: $$\frac{4*3*5*7+8*5*7+2*3*5*7+8*3*7+4*5*7+8*3*5+3*5*7}{840}=$$$$\frac{420+280+210+168+140+120+105}{840}=\frac{1443}{840}$$

     Очевидно, что $$\frac{1}{840}<\frac{1}{500}$$, $$\frac{2}{840}>\frac{1}{500}$$

     То есть в числителе обязательно должна быть 1. С учетом того, что общая сумма 1443: пусть сумма m , разность - n.

     Тогда $$\left | m-n \right |=1$$. Но из всех представленных чисел все, кроме 168 и 105 оканчиваются на 0, следовательно, их сумма/разность тоже на 0. $$\left | 168 \pm 105 \right |$$ оканчивается на 3 , то есть min значение в числителе $$\geq 3$$. Значит, не может быть.

B)     $$1443=722+721$$. Т.е. идеальная сумма/разность для min была бы $$\left | 722-721 \right |$$. Но мы доказали , что $$\left | m \pm n \right |\geq 3$$. Т.е. $$\left\{\begin{matrix}m+n=1443\\m-n=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2m=1446\\n=m*3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}m=723\\n=720\end{matrix}\right.$$

     Число 720 сумма тех, что оканчиваются на 0 . Но из {420;480;210;140;120} сумму в 720 не получить.

     Пусть теперь: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1443\\m-n=13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}m=728\\n=715\end{matrix}\right.$$

$$715=105+120+210+280$$, т.е. $$min=\frac{13}{840}$$