Перейти к основному содержанию

256 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 256 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №256 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 256 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №256 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Студент получил свой первый гонорар в размере 800 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 100 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

Ответ: 5
Скрыть

Гонорар после удержания налога: 800*0,87=696 рублей

Количество раз: $$\frac{696}{100}\approx 6$$

С учетом, что необходимо нечетное, то 5

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

Ответ: 30
Скрыть

На третьей минуте температура 50 градусов, на 7 - 80 градусов, следовательно, нагрелся на 80-50=30 градусов

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1) изображён круг. Найдите его площадь S. В качестве ответа запишите число $$\frac{S}{\pi}$$

Ответ: 5
Скрыть

Найдем радиус : $$r=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$$

Найдем площадь : $$S=\pi r^{2}=\pi *5$$

С учетом , что в ответ $$\frac{S}{\pi}$$ , получим $$\frac{\pi *5}{\pi}=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В случайном эксперименте игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что разность выпавших очков будет меньше чем 2. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,44
Скрыть

Рассмотрим возможные исходы, когда разность меньше 2 .

(Первое число - с первого кубика, второе - со второго) 11;12;21;22;23;32;33;34;43;44;54;45;55;56;65;66 - всего 16 исходов .

Общее количество исходов: $$6^{2}=36$$

Тогда вероятность $$P=\frac{16}{36}\approx 0,44$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$3\sqrt[x]{81}-10\sqrt[x]{9}+3=0$$ . В ответе укажите сумму корней этого уравнения.

Ответ: 2
Скрыть

      $$3\sqrt[x]{81}-10*\sqrt[x]{9}+3=0$$, $$x \in N$$

     Замена: $$\sqrt[x]{9}=y>0$$

$$3y^{2}-10y+3=0$$

$$D=100-36=8^{2}$$

     $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{10+8}{6}=3\\y_{2}=\frac{10-8}{6} =\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}9^{\frac{1}{x}}=3\\9^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3^{\frac{2}{x}}=3^{1}\\3^{\frac{2}{x}}=3^{-1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\\x=-2, \notin N\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Ответ: 6
Скрыть

     Центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров $$\angle A=60\Rightarrow$$ $$\angle B=120$$

     Пусть BM – биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle ABM =60\Rightarrow$$ $$\Delta ABM$$ - равносторонний . Пусть CH- биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle CMD=60\Rightarrow$$ $$\Delta CMD$$ - равносторонний и $$\Delta ABM=\Delta BMC=\Delta CMD$$(M и H совпадают )$$\Rightarrow$$ $$AB=BM=MC=MD$$ - радиусы $$\Rightarrow$$ $$R=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 5). В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ: 0
Скрыть

т.к. дан график производной и на $$(-\infty ;-3)$$ - $${f}'<0$$, а на $$(-3; +\infty )$$ - $${f}'>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-3$$ - точка минимума. Но на отрезке $$[0; 4]$$ -  $$f'>0$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}=f(0)$$ (функция врзрастает на всем промежутке, следовательно, меньшее значение функции в начале промежутка)

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Ответ: 13
Скрыть

   1) $$V=\frac{1}{3}Sh\Rightarrow$$ $$S=\frac{3V}{h}=\frac{3*200}{12}=50$$

   2) $$S=AB^{2}=50\Rightarrow$$ $$AB =\sqrt{50}$$

   3) $$DB=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{50+50}=10\Rightarrow$$ $$OB=5$$

   4) $$SB=\sqrt{SO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите $$tg \alpha$$ , если $$\frac{5 \cos \alpha +3 \sin \alpha +1}{2 \sin \alpha +\cos x+4}=\frac{1}{4}$$

Ответ: -1,9
Скрыть

$$\frac{5 \cos \alpha +3 \sin \alpha +1}{2 \sin \alpha +\cos x+4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$ $$20 \cos \alpha +12 \sin \alpha +4=2 \sin \alpha +\cos \alpha +4\Leftrightarrow$$ $$19 \cos \alpha +10 \sin \alpha =0|: \cos \alpha \Leftrightarrow$$ $$10tg \alpha =-19\Leftrightarrow$$ $$tg \alpha =-1,9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $$h=5t^{2}$$ , где h — расстояние в метрах,t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1
Скрыть

$$h=h_{1}-h_{2}=5 t_{1}^{2}-5t_{2}^{2}$$

$$t_{2}=t_{1}-0,2=0,4$$ c (уровень поднялся , время уменьшилось )

$$h=5(0,6^{2}-0,4^{2})=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 72
Скрыть

$$t_{1}=\frac{190}{50}=\frac{19}{5}$$ часа

$$t_{2}=\frac{180}{90}=2$$ часа

$$t_{3}=\frac{170}{100}=\frac{17}{10}$$ часа

$$S=190+180+170=540$$ км.

$$v=\frac{S}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=\frac{540}{3,8+2+1,7}=72$$ км\ч

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=|x^{2}-x|+|x+1|$$

Ответ: 1
Скрыть

Раскроем модули :

1) $$x \in (-\infty ;-1]\Rightarrow$$ $$y=x^{2}-x-x-1=x^{2}-2x-1$$

2) $$x \in (-1,0]\cup [1;+\infty )\Rightarrow$$ $$y=x^{2}-x+x+1=x^{2}+1$$

3) $$x \in (0;1)\Rightarrow$$ $$y=-x^{2}+x+x+1=-x^{2}+2x+1$$

Следовательно , $$y _{min}=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$4 \sin ^{2}(2x+\pi)-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos (2 x-\pi)+\sqrt{15}-4=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{5 \pi}{12}+\pi n n \in Z$$ Б)$$-\frac{17 \pi}{12};-\frac{7 \pi}{12};\pm \frac{5 \pi}{12};$$
Скрыть

     A) $$4 \sin ^{2}(2x+\pi)-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos (2 x-\pi)+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{2}2x+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4-4 \cos ^{2}2x+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4 \cos ^{2}2x-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x-\sqrt{15}=0\Leftrightarrow$$$$4 \cos^{2} 2x+2\sqrt{3}\cos 2x-2\sqrt{5}\cos 2x -\sqrt{15}=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos 2x(2 \cos 2x+\sqrt{3})-\sqrt{5}(2 \cos 2x+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow$$$$(2 \cos 2x+\sqrt{3})(2 \cos2x-\sqrt{5})=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos 2x=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=\pm \frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in Z\\\phi , (\left | \cos 2x \right |\leqslant 1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{5 \pi}{12}+\pi n n \in Z$$

     Б) На промежутке $$[-\frac{3 \pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$:

$$\frac{5 \pi}{12}+\pi n$$ : -$$\pi+\frac{5 \pi}{12}=-\frac{7 \pi}{12}$$; $$0+\frac{5 \pi}{12}=\frac{5 \pi}{12}$$

$$-\frac{5 \pi}{12}+\pi n$$ : $$-\pi -\frac{5 \pi}{12}=-\frac{17 \pi}{12}$$; $$-\frac{5 \pi}{12}=-\frac{5 \pi}{12}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный $$arctg \sqrt{\frac{3}{2}}$$. Точки E, F, K выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, что $$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}=\frac{SK}{KS}=\frac{1}{2}$$

А) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью EFK
Б) Найдите угол между прямой SD и плоскостью EFK
Ответ: А)$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$ Б)$$\arcsin \frac{3}{5}$$
Скрыть

   A) 1)Соединим EF. Построим $$EF\cap CD=R$$. Соединим RK; $$RK\cap SD=N$$. Аналогично $$EF\cap CB=R_{1}$$; $$R_{1}K\cap SB=H\Rightarrow$$ (FNKHE) - искомая площадь

     2) Опустим проекцию $$K$$ на (ABCD) $$\Rightarrow$$ $$K_{1}$$

     3) Пусть SZ –апофема и AB=x $$\Rightarrow$$ $$OZ=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}$$; $$OB=\frac{BD}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$

Из $$\Delta SOB$$: $$SO=OB*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$

Из $$\Delta SOZ$$: $$SO^{2}+OZ^{2}=SZ^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}=4\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$SO=\sqrt{3}$$ ; $$BO=\sqrt{2}$$

     4) $$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EB}\Rightarrow$$ $$\Delta AFE\sim \Delta ADB$$ и $$FE\left | \right |BD$$ $$\Rightarrow$$ $$VK\perp N_{1}H_{1} VK_{1}\perp FE$$; $$VK\perp NH$$

     5) $$\Delta SOC$$: $$KK_{1}=\frac{2}{3}SO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; $$OK_{1}=\frac{1}{3}OC$$

Из $$\Delta ADB$$: $$VO=\frac{2}{3}AO\Rightarrow$$ $$VK_{1}=AO=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta VKK_{1}$$: $$VK=\sqrt{VK_{1}^{2}+KK_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{10}{3}}$$

     6) По т. Менелая из VKC : $$\frac{SL}{LO}*\frac{OV}{VC}*\frac{CK}{KS}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SL}{LO}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$NH=\frac{5}{9}BD=\frac{10\sqrt{2}}{9}$$

Из $$\Delta VLO$$: $$VL=\sqrt{VO^{2}+OL^{2}}=$$$$\sqrt{(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{9})^{2}}=$$$$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}\Rightarrow$$ $$LK=VK-VL=\frac{1}{3}*\sqrt{\frac{10}{3}}$$; $$FE=\frac{1}{3} BD=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

     7) $$S_{FNKHE}=\frac{NH+EF}{2}*VL+\frac{NH*KL}{2}=$$$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$

   Б) 1) из $$\Delta SOC$$: $$SC=\sqrt{SO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$KC=\frac{2\sqrt{5}}{3}$$; $$SK=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

     2) из $$\Delta VKC$$ : $$\cos VKC=\frac{VK^{2}+KC^{2}-VC^{2}}{2 VK*KC}=0\Rightarrow$$ $$\angle VKC=90$$ $$\Rightarrow$$ $$SC\perp VK$$

     3) $$OC\perp BD\Rightarrow$$ $$OC\perp NH$$ , но OC - проекция $$SC\Rightarrow$$ $$SC\perp NH\Rightarrow$$ $$SC\perp (FNKHE)\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\angle (SB; (FNKHE))$$

     4) $$SH=\frac{5}{9}SB=$$$$\frac{5\sqrt{5}}{9}\Rightarrow$$ из $$\Delta SHK$$: $$\sin \angle SHK=\frac{SK}{SH}=\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\arcsin \frac{3}{5}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$(\frac{4x}{5}+1)^{6-13x-15x^{2}}\geq 1$$

Ответ: $$(-\frac{5}{4}; -\frac{6}{5}]\cup [0; \frac{1}{3}]$$
Скрыть

   ОДЗ : $$\frac{4x}{5}+1>0\Rightarrow$$ $$x>-\frac{5}{4}$$

   Решение: рассмотрим равносильную систему с учетом ОДЗ :

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}(\frac{4x}{5}+1)<1\\6-13x-15x^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(\frac{4x}{5}+1)>1\\6-13x-15x^{2}\geq 0\end{matrix}\right.\\\frac{4x}{5}+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<0\\x \in (-\infty , -\frac{6}{5}]\cup [\frac{1}{3},+\infty )\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>0\\x \in [-\frac{6}{5}, \frac{1}{3}]\end{matrix}\right.\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ с учетом ОДЗ: $$x \in (-\frac{5}{4}; -\frac{6}{5}]\cup [0; \frac{1}{3}]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точки К и L являются серединами боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС. Точка М расположена на медиане AL так, что AM:ML=13:12. Окружность $$\omega$$ с центром в точке М касается прямой АС и пересекает прямую KL в точках P и Q. KL=10, PQ=4.

А) Найти радиус окружности $$\omega$$
Б) Найти периметр треугольника АВС
Ответ: А)$$\frac{26}{5}$$ Б)$$20\sqrt{5}+20$$
Скрыть

   A) 1) Пусть $$MN \perp PQ$$, $$MK\perp AC$$, $$LH\perp AC\Rightarrow$$ $$NK\left | \right |LH$$ ; пусть MQ=x, т.к. $$MN\perp PQ$$, то $$PN=NQ=\frac{1}{2}PQ=2$$

     2) из $$\Delta NMQ$$: $$NM=\sqrt{MQ^{2}-NQ^{2}}=\sqrt{x^{2}-2^{2}}$$, $$MK=MQ=x$$

     3) $$\Delta AMK\sim \Delta ALN$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{LH}{MK}=\frac{AL}{AM}\Rightarrow$$ $$LH=\frac{25}{13} x=NK$$

     4) из 2 и 3 : $$\frac{25}{13}x =x+\sqrt{x^{2}-4}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{26}{5}$$

   Б) 1) $$AC=2, KL=20$$$$\Rightarrow$$ $$AK=HC=\frac{AC-KL}{2}=5$$; $$LH=\frac{25}{13}*\frac{26}{5}=10\Rightarrow$$ из $$\Delta LHC$$: $$LC=\sqrt{KH^{2}+HC^{2}}=5\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$BC=10\sqrt{5}$$

     2) $$P_{ABC}=2* BC+AC=20\sqrt{5}+20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Из пункта А, расположенного на берегу реки, вниз по течению отправились две моторные лодки. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость «быстрой» лодки на 3 км/ч больше скорости «медленной» лодки. Через некоторое время они повернули обратно, и «быстрая» лодка пришла в пункт А раньше, чем «медленная» на время не меньшее $$\frac{4}{5}$$ времени, которое лодки шли от начала движения до поворота. Найдите наибольшее целое значение скорости «быстрой» лодки (в км/ч), если собственные скорости лодок больше скорости течения.

Ответ: 7
Скрыть

   Пусть x - собственная скорость быстрой , тогда x-3 - медленной. Пусть y(ч) –время движения до поворота , тогда: $$S_{1}=y(x+2)$$ - расстояние быстрой, $$S_{2}=y(x-1)$$ - медленной. Тогда:$$ t_{1}=\frac{y(x+2)}{x-2}$$ - время быстрой обратно, $$t_{2}=\frac{y(x-1)}{x-5}$$ - время медленной

   $$\frac{y(x-1)}{x-5}-\frac{y(x+2)}{x-2}\geq \frac{4}{5}y\Leftrightarrow$$ $$\frac{x-1}{x-5}-\frac{x+2}{x-2}\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow$$ $$\frac{12}{(x-2)(x-5)}\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow$$$$\frac{12}{(x-2)(x-5)}\geq \frac{12}{15}\Leftrightarrow$$$$(x-2)(x-5)\leq 15\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{7+\sqrt{69}}{2}\\x\geq \frac{7-\sqrt{69}}{2}\end{matrix}\right.$$

   Необходимо $$x _{max} \in N$$ $$\Rightarrow$$ $$x=7$$ ($$7<\frac{7+\sqrt{69}}{2}$$)

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система $$\left\{\begin{matrix}(4 \sin ^{2}y-a)=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\\(\pi ^{2}\cos ^{2}3x-2 \pi ^{2}-72)y^{2}=2\pi ^{2}(1+y^{2})\sin 3x\end{matrix}\right.$$ имеет решения 

Ответ: -14
Скрыть

   Рассмотрим 2 уровнение системы . Т.к. $$\cos^{2}3x=1-\sin ^{2}3x$$ , и пусть $$\sin 3x=t$$ , тогда:

$$(\pi ^{2}(1-t^{2})-2 \pi ^{2}-72) y^{2}=2 \pi ^{2}(1+y^{2})t\Leftrightarrow$$$$(\pi ^{2}-\pi ^{2}t^{2}-2 \pi ^{2}-72-2 \pi ^{2}t ) y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$(-\pi ^{2}(t^{2}+2t+1)-72)y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$y^{2}=-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}\Rightarrow$$$$t\leq 0\Rightarrow$$ $$t \in [-1; 0]$$

   Рассмотрим $$f(t) =-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}$$; $$t \in [-1; 0]$$: $${f}' (t)=-2 \pi ^{2}(\frac{\pi^{2}(t+1)^{2}+72-t(2 \pi ^{2}(t+1))}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}=$$$$\frac{-2 \pi ^{2}}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}*(\pi ^{2}+72-\pi ^{2}t^{2})$$

   На промежутке $$t \in [-1; 0]$$, $${f}'(t) <0$$ $$\Rightarrow f(t)$$-убывает $$\Rightarrow$$ область значения $$E (f)\in [f(0); f(-1)]$$; $$f(0)=0; f(-1)=\frac{2 \pi ^{2}}{72}=\frac{\pi ^{2}}{36}$$; $$y^{2}\leq \frac{\pi ^{2}}{36}\Rightarrow$$ $$y \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$$

   Рассмотрим первое уравнение системы:

$$4 \sin ^{2}y-a=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 (\frac{1 }{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-1))\Leftrightarrow$$$$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 * \frac{1}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-9)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-((4 \sin \frac{2x}{7})^{2}-24 +(\frac{3}{\sin \frac{2x}{7}})^{2}-9+24)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-\frac{(4 \sin ^{2}\frac{2x}{7}-3)}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-15$$

Так как $$a\rightarrow max$$, $$\sin ^{2}\frac{2x}{7}=\frac{3}{4}$$. Тогда: $$\sin \frac{2x}{7}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{2x}{7}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n , n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{7 \pi }{6}+\frac{7 \pi n }{2}, n \in Z$$

Т.к. $$\sin 3x=-1\Rightarrow$$ $$3x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k \in Z$$, $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}, k \in Z$$

   Найдем n и k : $$\pm \frac{7 \pi}{6}+\frac{7 \pi n }{2}=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}|*6\Leftrightarrow$$ $$\pm 7 \pi +21 \pi n =-\pi +4 \pi k\Leftrightarrow$$ $$6 \pi =21 \pi n -4 \pi k \Leftrightarrow$$ $$21 n -4k=6\Rightarrow$$ $$n=2, k=9$$. Следовательно, существует такой x. Тогда: $$a=4*(\frac{1}{2})^{2}-15 =-14$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

В некотором царстве было несколько (более двух) княжеств. Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царствами и разделились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. Затем всё новые и новые княжества из числа прежних и вновь образующихся объявляли себя царствами и делились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале.

А) Могло ли сразу после одного из делений общее число княжеств стать равным 102?
Б) Могло ли в какой‐то момент времени общее число княжеств стать равным 320, если известно, что сразу после одного из делений общее число княжеств было равно 162?
В) Сколько княжеств было в самом начале, если сразу после какого‐то из делений общее число княжеств стало ровно в 38 раз больше первоначального?
Ответ: нет,нет,38
Скрыть

   A) Пусть было x княжеств ( $$x\in N$$; $$x\geq 3$$), $$y_{i}$$ - число княжеств, объявляющие деление на i-ый раз, $$S_{i}$$ - сумма княжеств после i-го деления, тогда :

$$S_{1}=x-y_{1}+xy_{1}=x+y_{1}(x-1)\Rightarrow$$$$S_{2}=S_{1}-y_{2}+xy_{2}=$$$$x+y_{1}(x-1)+y_{2}(x-1)=$$$$x+(x-1)(y_{1}+y_{2})\Rightarrow$$$$S_{n}=x+(x-1)(y_{1}+....+y_{n})=x+(x-1)\sum_{i=1}^{n}y_{i}$$

Тогда, $$x+(x-1)\sum_{i=1}^{n}y_{i}= 102 \Leftrightarrow$$ $$\sum_{i=1}^{n}y_{i}=\frac{102-x}{x-1}=\frac{101}{x-1}-1 \in N \Rightarrow$$ $$x-1=101\Rightarrow$$ $$i=1\Rightarrow x=102$$ . Т.е изначально (до деления) было уже 102 , что не удовлетворяет условию , хотя бы одного деления.

   Б) Пусть сумма после n-го : $$S_{n}=168$$, после m-го: $$S_{m}=320 (m\geq 2)$$. Тогда :

$$S_{m}-S_{n}=x+(x-1)\sum_{i=1}^{m} y _{i}-x-(x-1)\sum_{i=1}^{n} y_{i}=$$$$(x-1)\sum_{i=n+1}^{m} y_{i}=$$$$320-168=79*2$$. Но 79 и 2 -простые , тогда:

  1. $$x-1=2\Rightarrow$$ $$x=3\Rightarrow$$ $$S_{m}=3+(3-1)\sum_{i=1}^{m} y_{i}=320\Rightarrow$$ $$2 \sum_{i=1}^{m} y_{i}=317$$ – не может быть, т.к. $$\sum_{i=1}^{m} y_{i}\in N$$
  2. $$x-1=79\Rightarrow$$ $$x=80\Rightarrow$$ $$S_{m}=80+(80-1) \sum_{i=1}^{m} y_{i}=320\Rightarrow$$ $$79 \sum_{i=1}^{m} y_{1}=240$$ – не может быть
  3. $$x-1=1\Rightarrow$$ $$x=2$$ – не подходит , т.к. $$x\geq 3$$
  4. $$x-1=158$$ - не подходит

   B) Получим, что $$x+(x-1) \sum_{i=1}^{n} y_{i}=38 x\Rightarrow$$ $$(x-1)\sum_{i=1}^{n} y_{i}=37x$$. x и (x-1) взаимопростые $$\Rightarrow$$ $$\sum_{i=1}^{n} =xN\Rightarrow$$ $$(x-1)xN=37x\Leftrightarrow$$ $$(x-1)N=37\Rightarrow$$ или $$x-1=1$$ и $$N=37$$, тогда $$x=2$$ - не подходит, или $$N=1$$ и $$x-1=37\Rightarrow$$ $$x=38$$