Перейти к основному содержанию

252 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019

Решаем ЕГЭ 252 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №252 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 252 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №252 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Двое решают, как им обойдет дешевле доехать из Москвы до Санкт‐Петербурга – на поезде или на автомобиле. Билет на поезд стоит 1500 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 6 литров на 100 км пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 43 рубля за литр. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую поездку за двоих?

Ответ: 1806
Скрыть

Расходовано: $$\frac{700}{100}*6=42$$ литра, тогда стоимость: 42*43=1806 рублей

2 билета : 2*1500=3000 рублей. Следовательно, дешевле на авто

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: -6
Скрыть

Наименьшая была в декабре и составляла -6 градусов

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см X 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 6
Скрыть

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}*BH*BC=\frac{1}{2}*3*2=3$$, $$S=2S_{ABC}=2*3=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятность двух осечек. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,07
Скрыть

Вероятность первой осечки: $$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Второй осечки:$$\frac{1}{5}$$ (1 пуста и 5 оставшихся)

Вероятно двух осечек подряд : $$P=\frac{1}{3}*\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\approx 0,07$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$7*5^{\log_{5} x}=x^{2}-30$$. Если корней несколько, то в ответе укажите меньший корень

Ответ: 10
Скрыть

ОДЗ: x>0(1)

$$7*x=x^{2}-30\Leftrightarrow$$$$x^{2}-7x-30=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=7\\x_{1}x_{2}=-30\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ \left\{\begin{matrix}x_{1}=10\\x_{2}=-3\notin (1)\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8:5, считая от вершины, лежащей напротив основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.

Ответ: 30
Скрыть

     1) $$CA_{1}=CC_{1}=8x$$(по свойству касательных), $$A_{1}B=B_{1}B=AB_{1}=AC_{1}=5x$$

     2) $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=18x$$

     3) S$$=p*r\Rightarrow$$ $$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$, где a=AB, b=CB, c=AC

     4) $$10=\sqrt{\frac{(18x-13x)^{2}*(18x-10x)}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$10=\sqrt{\frac{(5x)^{2}*8x}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{\frac{5^{2}*26{2}*x^{2}}{3^{2}}}=10\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x}{3}=10\Leftrightarrow x=3$$

     5)$$AB=10x=10*3=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция $$y=f(x)$$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при $$-1\leq x \leq 3$$ . Найдите значение выражения $$f(-3)*f(1)*f(11)$$

Ответ: 4
Скрыть

С учетом периодичности функции: $$f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-2$$; $$f(1)=-2$$; $$f(11)=f(11-4*2)=f(3)=1$$

Тогда: $$f(-3)*f(1)*f(11)=-2*(-2)*1=4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Ответ: 1,5
Скрыть

$$S_{C_{1}M_{1}N_{1}}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}B_{1}C_{1}*\frac{1}{2}C_{1}D_{1}=\frac{1}{8}S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$$

$$\frac{V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}}{V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{S_{M_{1}N_{1}C_{1}}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{1}{8}$$

$$V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}=\frac{1}{8}V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{8}*12=1,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Вычислите: $$(3,4 \sqrt[3]{25\sqrt{5}}+1,6\sqrt{5\sqrt[3]{25}})^{-\frac{6}{11}}$$

Ответ: 0,2
Скрыть

$$(3,4 \sqrt[3]{25\sqrt{5}}+1,6\sqrt{5\sqrt[3]{25}})^{-\frac{6}{11}}=$$$$(3,4\sqrt[3]{5\sqrt[2]{5}}+1,6\sqrt{5\sqrt[3]{5^{2}}})^{-\frac{6}{11}}=$$$$(3,4\sqrt[3*2]{5^{4}*5}+1,6\sqrt[3*2]{5^{3}*5^{2}})^{-\frac{6}{11}}=$$$$(5*\sqrt[6]{5^{-5}})^{-\frac{6}{11}}=(5^{\frac{11}{6}})^{-\frac{6}{11}}=5^{-1}=\frac{1}{5}=0,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Катер должен пересечь реку шириной L=100м и со скоростью течения  5,0 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в u секундах, определяется выражением $$t=\frac{L}{u}ctg \alpha$$, где $$\alpha$$ — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $$\alpha$$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Ответ: 45
Скрыть

$$ctg \alpha =\frac{t*u}{L}\Leftrightarrow$$ $$ctg \alpha =\frac{200*0,5}{100}=1\Leftrightarrow$$ $$\alpha =45$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Секретарю фирмы поручили разослать письма адресатам по списку. Секретарь, отдав своему помощнику часть списка, содержащую 80% адресатов, взял оставшуюся часть себе и разослал письма по своей части списка за время, в 6 раз меньшее, чем помощник – по своей. Сколько процентов списка адресатов секретарь должен был сразу отдать помощнику (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?

Ответ: 40
Скрыть

Пусть S-кол-во адресатов, x-число адресатов в час секретарем , y-помощником . Тогда

   $$\frac{0,2S}{x}$$-время секретаря ,

   $$\frac{0,8S}{y}$$-время помощника.

$$6*\frac{0,2S}{x}=\frac{0,8S}{y}|:S\Leftrightarrow$$ $$\frac{1,2}{x}=\frac{0,8}{y}|:0,4\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{x}=\frac{2}{y}\Leftrightarrow$$ $$2x=3y\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{3y}{2}$$

То есть скорость секретаря в полтора раза выше $$\Rightarrow$$ объем должна взять в полтора раза больше. Пусть V - объем работы помощника: $$1,5V+V\Rightarrow 2,5V=100$$%$$\Rightarrow$$ $$V=0,4 (2,5V) \Rightarrow 40$$% помощнику надо отдать

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{50}{2^{x}+3^{x}}$$ на промежутке [1;7]

Ответ: 1
Скрыть

Функция $$f(x)=2^{x}$$ - возрастает, $$g(x)=3^{x}$$ - возрастает, тогда $$m(x)=2^{x}+3^{x}$$ - возрастает на всем промежутке, тогда $$y=\frac{40}{2^{x}+3^{x}}$$ - убывает. Следовательно, $$y_{max}=y(1)=\frac{40}{2+3}=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}+\sqrt{2}\sin x=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-7\pi;-\frac{11\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$-\frac{\pi}{8}+\pi n;-\frac{5\pi}{8}+\pi n,n\in Z$$ Б)$$-\frac{55\pi}{8};-\frac{49\pi}{8}$$
Скрыть

   А) $$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}+\sqrt{2}\sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\sin x$$

     ОДЗ:  $$\left\{\begin{matrix}2\cos^{2}x\geq \sqrt{2}\\-\sqrt{2}\sin x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x \in (-\infty;-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}]\cup[\frac{1}{\sqrt[4]{2}};+\infty)\\\sin x\leq 0\end{matrix}\right.$$

     Возведем обе части в квадрат: $$2\cos^{2} x-\sqrt{2}=2\sin^{2}x$$

     Применим формулы понижения степени: $$1+\cos 2x -\sqrt{2}=1-\cos 2x\Leftrightarrow$$$$2\cos 2x=\sqrt{2}\Leftrightarrow$$$$\cos 2x=\sqrt{2}{2}\Leftrightarrow$$$$2x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\Leftrightarrow$$$$x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$

     С учетом ОДЗ (синус меньше или равен 0): $$x_{1}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$ и $$x_{2}=-\frac{7\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$

   Б) На заданном промежутке: 

$$x_{2}: -7\pi + \frac{\pi}{8}=-\frac{55\pi}{8}$$

$$x_{1}: -6\pi -\frac{\pi}{8}=-\frac{49\pi}{8}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Точки M,N и P лежат на боковых ребрах правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и делят их в отношении $$AM:MA_{1}=1:2$$, $$BN:NB_{1}=1:3$$, $$CP:PC_{1}=2:3$$

А) В каком отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через точки M,N и P ?

Б) Докажите, что MNP ‐ прямоугольный треугольник, если сторона основания призмы равна $$2\sqrt{10}$$ , а боковое ребро равно 60 .

Ответ: $$\frac{59}{121}$$
Скрыть

   A) 1) Пусть a - ребро основания, b - боковое ребро. Тогда: $$AM=\frac{1}{3}b$$, $$NB=\frac{1}{4}b$$, $$CP=\frac{2}{5}b$$

     2) Разобъем многогранник ABCMNP на пирамиды : PABNM и PABC

     3) Пусть $$CH\perp AB$$ и h - перпендикуляр из P. Тогда $$CH=h\Rightarrow$$ $$V_{PABNM}=\frac{1}{3}S_{ABNM}*CH$$. Из $$\Delta ABC$$: $$CH=AB *\sin 60=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$

  $$S_{ABNM}=\frac{AM+NB}{2}*AB=$$$$\frac{\frac{1}{3}b+\frac{1}{4}b}{2}*a=\frac{7ab}{24}$$

  $$V_{PABNM}=\frac{1}{3}*\frac{7ab}{24}*\frac{\sqrt{3}a}{2}=$$$$\frac{7a^{2}b\sqrt{3}}{144}$$

     4) $$V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}*CP$$

  $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*BC*\sin 60=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$$

  $$V_{PABC}=\frac{1}{3}*\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}*\frac{2}{5}b=$$$$\frac{2\sqrt{3}a^{2}b}{60}$$

Тогда $$V_{ABCMNP}=\frac{7a^{2}b\sqrt{3}}{144}=$$$$\frac{2\sqrt{3}a^{2}b}{60}=$$$$\frac{(35+24)\sqrt{3}a^{2}b}{720}=\frac{59\sqrt{3}a^{2}b}{720}$$

     5) $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{ABC}*CC_{1}=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}*b=\frac{\sqrt{3}a^{2}b}{4}$$

      6) $$V_{A_{1}B_{1}C_{1}MNP}=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}b}{4}-\frac{59\sqrt{3}a^{2}b}{720}=$$$$\frac{121\sqrt{3}a^{2}b}{720}$$

Тогда: $$\frac{V_{ABCMNP}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}MNP}}=\frac{59}{121}$$

   Б) 1) $$MN=AM-NB=5$$. $$NM_{1}\perp AM\Rightarrow$$ $$NM_{1}=AB=2\sqrt{10}$$

     2) $$\Delta MNM_{1} MN=\sqrt{5^{2}+(2\sqrt{10}^{2})}=\sqrt{25+40}=\sqrt{65}$$

     3) Аналогично $$PP_{1}=PC-NB=9$$. $$PN=\sqrt{81+40}=\sqrt{121}$$

     4) Аналогично : $$PM_{1}=24-20=4$$. $$MP=\sqrt{16+40}=\sqrt{56}$$

     5) $$MN^{2}+MP^{2}=65+56=121=PN$$ - выполнилась теорема Пифагора

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$2+\log_{\sqrt{x^{2}-2x-3}}\frac{x+4}{x+1}\geq \log_{\sqrt{x^{2}-2x-3}}(x^{2}-2x-2)^{2}$$

Ответ: $$(3; 1+\sqrt{5})\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$
Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{x+1}>0\\x^{2}-2x-3>0\\x^{2}-2x-3\neq 1\\x^{2}-2x-2\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in(-\infty ;-4)\cup (-1;+\infty )\\x \in (-\infty ; -1)\cup (3;+\infty )\\x \neq 1\pm \sqrt{3}\\x \neq 1\pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow x \in (-\infty ;-4)\cup (3;1+\sqrt{5})\cup(1+\sqrt{5};+\infty )$$

     При данном ОДЗ: $$2+2\log_{x^{2}-2x-3}\frac{x+4}{x+1}\geq \log_{x^{2}-2x-3}(x^{2}-2x-2)$$

$$\log_{x^{2}-2x-3} (x^{2}-2x-3)*(\frac{x+4}{x+1})\geq \log_{x^{2}-2x-3}(x-2x-2)$$

$$(x^{2}-2x-3-1)((x^{2}-2x-3)*\frac{x+4}{x+1}-(x^{2}-2x-2))\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(\frac{(x+1)(x-3)(x+4)}{x+1}-x^{2}+2x+2)\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(x^{2}+x-12-x^{2}+2x+2)\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(x-\frac{10}{3})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x \in [1-\sqrt{5}; 1+\sqrt{5}]\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (3; 1+\sqrt{5})\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точка N делит диагональ трапеции ABCD в отношении CN:NA=2:1. Длины оснований ВС и AD относятся как 1:3. Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону АВ в точке М.

А) Какую часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника MBCN?

Б) Найдите длину отрезка MN, если MD=9.

Ответ: А) $$\frac{7}{32}$$ Б) 1
Скрыть

   A) 1) Пусть $$BC=x\Rightarrow$$ $$AD=3x$$; $$CN=2y\Rightarrow$$ $$AN=y$$

     2) $$\angle CAD=\angle BCA$$(накрест лежащие ). Пусть $$\angle CAD=\alpha$$

     3) $$S_{BCA}=\frac{1}{2}BC*AC*\sin BCA=$$$$\frac{1}{2}*x*3y*\sin \alpha =\frac{3xy \sin \alpha }{2}$$

$$S_{CAD}=\frac{1}{2}*AC*AD \sin CAD=$$$$\frac{1}{2}*3y*3x\sin \alpha =\frac{9xy\sin \alpha }{2}$$

$$S_{ABCD}=S_{BCA}+S_{CAD}=$$$$6xy\sin \alpha =S$$, тогда: $$S_{CAD}=\frac{3}{4}S$$, $$S_{BCA}=\frac{1}{4}S$$

      4) $$S_{BCN}=\frac{1}{2}BC*CN*\sin BCN=$$$$\frac{1}{2}*x*2y*\sin \alpha =$$$$xy\sin \alpha =\frac{1}{6}S\Rightarrow$$ $$S_{BNA}=\frac{1}{4}S-\frac{1}{6}S=\frac{1}{12}S$$

     5) $$\Delta BNC\sim \Delta ANH$$ ($$BN\cap AD=H$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CN}{AN}=\frac{BN}{NH}=\frac{2}{1}=$$$$\frac{BC}{AH}\Rightarrow$$ $$AH=\frac{BC}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow$$ $$HD=3x-\frac{x}{2}=\frac{5x}{2}$$

     6) По т. Менелая для $$\Delta MDA$$:

$$\frac{BN}{NH}*\frac{HD}{AD}*\frac{AM}{MB}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{1}*\frac{5x}{2*3x}*\frac{AM}{MB}=1\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{MB}{AB}=\frac{5}{8}$$

     7) $$S_{MBN}=\frac{MB}{AB}*S_{BNA}=$$$$\frac{5}{8}*\frac{1}{12}S=\frac{5S}{96}$$

     8) $$S_{MBCN}=\frac{5S}{96}+\frac{S}{6}=$$$$\frac{5S+16S}{96}=\frac{21S}{96}=\frac{7S}{32}$$

   Б) 1)По т. Менеая для $$\Delta ABH$$:

$$\frac{DN}{NM}*\frac{MB}{AB}*\frac{AH}{HD}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{DH}{NM}*\frac{5}{8}*\frac{1}{5}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{DN}{NM}=\frac{8}{1}\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{9}*9=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В офисном здании 8 этажей, на каждом из которых, кроме первого, находится кабинет начальника отдела. Управляющая жилищная компания объявила что в день профилактического ремонта лифта он сделает всего один подъем сразу всех начальников на один, указанный ими этаж. После подъема начальники будут вынуждены идти в свои кабинеты по лестнице. В качестве компенсации за причиненные неудобства за каждый необходимый подъем на очередной этаж по лестнице каждому начальнику будет начислено 200 рублей. За каждый аналогичный спуск – 100 рублей. Этаж необходимо выбрать так, чтобы общая сумма компенсаций была минимальной. Укажите в рублях эту сумму

Ответ: 6 этаж, 1600 рублей
Скрыть

1 Вариант. Составим таблицу

Как видим, наименьшая сумма 1600, при выходе на 6 этаже.

2 вариант.

     Пусть n -этаж выхода, тогда количество подъемов максимальное 8-n, спусков- n-2. При этом каждый последующий этаж прибавляет в сравнении с предыдущим 1 подъем (спуск). Т.е. получим арифметическую прогрессию .

     В обоих случаях, разность которой d=1 и необходимо найти сумму (8-n) членов для подъемов и (n-2) членов для спусков (первый член в обоих случаях равен 1) :

     Сумма за подъемы: $$S_{1}=\frac{2*1+1*(8-n-1)}{2}(8-n)*200=(9-n)(8-n)*100$$

     Сумма за спуски : $$S_{2}=\frac{2*1+1(n-2-1)}{2}(n-2)*100=(n-1)(n-2)*50$$

     Итоговая сумма: $$S=S_{1}+S_{2}=100(9-n)(8-n)+50(n-1)(n-2)\rightarrow min$$

     Тогда $$g(n)=2(9-n)(8-n)+(n-1)(n-2)\rightarrow$$ $$min$$

$$g(n)=144-34n+2n^{2}+n^{2}-3n+2=3n^{2}-37n+146$$

$${g}'n=6n-37=0\Rightarrow n=\frac{37}{6}$$

      С учетом $$n \in N$$ получаем n=6 или n=7

$$g(6)=3*6^{2}-37*6+146=32$$

$$g(7)=3*7^{2}-37*7-146=34$$

     Следовательно, 6 этаж.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра p, при которых уравнение $$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$(0;5]$$
Скрыть

     $$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)\Leftrightarrow$$ $$3-2\cos x=p*\frac{1}{\cos ^{2}x}$$

ОДЗ: $$\cos x\neq 0$$

     $$\frac{p}{\cos ^{2}x}+2 \cos x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^{3}x-3 \cos ^{2}x+p=0$$

Замена: $$\cos x=t \in [-1;0)\cup (0;1]$$

$$2 t^{3}-3t^{2}+p=0$$

1 способ:

     Пусть $$f(t)=2t^{3}-3t^{2}+p$$

$${f}'(t)=6t^{2}-6t=0\Leftrightarrow$$ $$6t(t-1)=0\Rightarrow$$ $$t=0-max, t=1-min$$

     С учетом , что $$t \in [-1;0)\cup (0;1](1)$$ имеем следующие возможные расположения графика, при котором будет хотя бы одно решение из (1):

     1) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\geq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2(-1)^{3}-3(-1)^{2}+p\geq 0\\p>0\\2(1)^{3}-3*1^{2}+p\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\geq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

     2) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in [1;5]$$

     3) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in (0; 1]$$

     Итог: $$p \in (0;5]$$

2 способ:

     Рассмотрим график функции $$p=3t^{2}-2t^{3}$$. 

     Найдем экстремумы: $${f}'(t)=6t-6t^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$6t(1-t)=0\Rightarrow$$ $$t=0-min, t=1-max$$

     Тогда $$p(0)=0; p(1)=1$$. При этом $$p(-1)=5$$. С учетом, что на промежутке от [-1;0) - убывает, а на (0;1] - возрастает, то $$p \in (0;5]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На доске написаны числа 3 и 5. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой чисел 2a-1 и a+b+1 (например, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно получить либо числа 5 и 9 либо числа 9 и 9)

А) Может ли получиться так, что после нескольких ходов на доске будут написаны числа 73 и 75?

Б) Может ли получиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 35?

В) После 2017 ходов на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел?

Ответ: да, нет, 4
Скрыть

     А) Да, например , $$a =5, b=3\Rightarrow (9;9)$$; $$a=9,b=9\Rightarrow (17;19)$$; $$a=19, b=17\Rightarrow (37;37)$$; $$a=37, b=37\Rightarrow (73;75)$$.

     Б) Нет. Рассмотрим всевозможные варианты:

  • Если $$(5;3)\Rightarrow$$ (9;9) или (5;9)
  • Если (9;9)$$\Rightarrow$$ (17;19) $$\Rightarrow$$ (33;37) или (37,37) - не подходит
  • Если (5;9) $$\Rightarrow$$ (9;15) или (17;15)
  • Если (17; 15) $$\Rightarrow$$ (33;33) или (29;33) - не подходит
  • Если (9;15) $$\Rightarrow$$ (17;25) или (29;25) - не подходит

     B) Как видим из Б) каждый нечетный ход можно получить симметренную пару чисел $$\Rightarrow min=0$$. Но в таком случае числа будут равны, нам же нужны неравные числа. Тогда: пусть даны числа a и b, b>a, тогда следующий ход получим 2a-1 и a+b+1 или 2b-1 и a+b+1. В первом случае разность: b-a+2, во втором : b-a-2. Т.е. будет уменьшение или увеличение разности (b-a) на 2. Следовательно, 2015 ходов мы будем выводить разность в 0, а потом двумя ходами дважды увеличим или уменьшим ее на 2, тем самым получим, что наименьшая разность составит 4.