252 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019
Решаем ЕГЭ 252 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №252 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 252 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №252 (alexlarin.com)
Задание 1
Двое решают, как им обойдет дешевле доехать из Москвы до Санкт‐Петербурга – на поезде или на автомобиле. Билет на поезд стоит 1500 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 6 литров на 100 км пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 43 рубля за литр. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую поездку за двоих?
Расходовано: $$\frac{700}{100}*6=42$$ литра, тогда стоимость: 42*43=1806 рублей
2 билета : 2*1500=3000 рублей. Следовательно, дешевле на авто
Задание 2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Наименьшая была в декабре и составляла -6 градусов
Задание 4
В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятность двух осечек. Результат округлите до сотых.
Вероятность первой осечки: $$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
Второй осечки:$$\frac{1}{5}$$ (1 пуста и 5 оставшихся)
Вероятно двух осечек подряд : $$P=\frac{1}{3}*\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\approx 0,07$$
Задание 5
Решите уравнение $$7*5^{\log_{5} x}=x^{2}-30$$. Если корней несколько, то в ответе укажите меньший корень
ОДЗ: x>0(1)
$$7*x=x^{2}-30\Leftrightarrow$$$$x^{2}-7x-30=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=7\\x_{1}x_{2}=-30\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ \left\{\begin{matrix}x_{1}=10\\x_{2}=-3\notin (1)\end{matrix}\right.$$
Задание 6
В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8:5, считая от вершины, лежащей напротив основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.
1) $$CA_{1}=CC_{1}=8x$$(по свойству касательных), $$A_{1}B=B_{1}B=AB_{1}=AC_{1}=5x$$
2) $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=18x$$
3) S$$=p*r\Rightarrow$$ $$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$, где a=AB, b=CB, c=AC
4) $$10=\sqrt{\frac{(18x-13x)^{2}*(18x-10x)}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$10=\sqrt{\frac{(5x)^{2}*8x}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{\frac{5^{2}*26{2}*x^{2}}{3^{2}}}=10\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x}{3}=10\Leftrightarrow x=3$$
5)$$AB=10x=10*3=30$$
Задание 7
Функция $$y=f(x)$$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при $$-1\leq x \leq 3$$ . Найдите значение выражения $$f(-3)*f(1)*f(11)$$
С учетом периодичности функции: $$f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-2$$; $$f(1)=-2$$; $$f(11)=f(11-4*2)=f(3)=1$$
Тогда: $$f(-3)*f(1)*f(11)=-2*(-2)*1=4$$
Задание 8
Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
$$S_{C_{1}M_{1}N_{1}}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}B_{1}C_{1}*\frac{1}{2}C_{1}D_{1}=\frac{1}{8}S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$$
$$\frac{V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}}{V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{S_{M_{1}N_{1}C_{1}}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{1}{8}$$
$$V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}=\frac{1}{8}V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{8}*12=1,5$$
Задание 9
Вычислите: $$(3,4 \sqrt[3]{25\sqrt{5}}+1,6\sqrt{5\sqrt[3]{25}})^{-\frac{6}{11}}$$
$$(3,4 \sqrt[3]{25\sqrt{5}}+1,6\sqrt{5\sqrt[3]{25}})^{-\frac{6}{11}}=$$$$(3,4\sqrt[3]{5\sqrt[2]{5}}+1,6\sqrt{5\sqrt[3]{5^{2}}})^{-\frac{6}{11}}=$$$$(3,4\sqrt[3*2]{5^{4}*5}+1,6\sqrt[3*2]{5^{3}*5^{2}})^{-\frac{6}{11}}=$$$$(5*\sqrt[6]{5^{-5}})^{-\frac{6}{11}}=(5^{\frac{11}{6}})^{-\frac{6}{11}}=5^{-1}=\frac{1}{5}=0,2$$
Задание 10
Катер должен пересечь реку шириной L=100м и со скоростью течения 5,0 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в u секундах, определяется выражением $$t=\frac{L}{u}ctg \alpha$$, где $$\alpha$$ — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $$\alpha$$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?
$$ctg \alpha =\frac{t*u}{L}\Leftrightarrow$$ $$ctg \alpha =\frac{200*0,5}{100}=1\Leftrightarrow$$ $$\alpha =45$$
Задание 11
Секретарю фирмы поручили разослать письма адресатам по списку. Секретарь, отдав своему помощнику часть списка, содержащую 80% адресатов, взял оставшуюся часть себе и разослал письма по своей части списка за время, в 6 раз меньшее, чем помощник – по своей. Сколько процентов списка адресатов секретарь должен был сразу отдать помощнику (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?
Пусть S-кол-во адресатов, x-число адресатов в час секретарем , y-помощником . Тогда
$$\frac{0,2S}{x}$$-время секретаря ,
$$\frac{0,8S}{y}$$-время помощника.
$$6*\frac{0,2S}{x}=\frac{0,8S}{y}|:S\Leftrightarrow$$ $$\frac{1,2}{x}=\frac{0,8}{y}|:0,4\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{x}=\frac{2}{y}\Leftrightarrow$$ $$2x=3y\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{3y}{2}$$
То есть скорость секретаря в полтора раза выше $$\Rightarrow$$ объем должна взять в полтора раза больше. Пусть V - объем работы помощника: $$1,5V+V\Rightarrow 2,5V=100$$%$$\Rightarrow$$ $$V=0,4 (2,5V) \Rightarrow 40$$% помощнику надо отдать
Задание 12
Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{50}{2^{x}+3^{x}}$$ на промежутке [1;7]
Функция $$f(x)=2^{x}$$ - возрастает, $$g(x)=3^{x}$$ - возрастает, тогда $$m(x)=2^{x}+3^{x}$$ - возрастает на всем промежутке, тогда $$y=\frac{40}{2^{x}+3^{x}}$$ - убывает. Следовательно, $$y_{max}=y(1)=\frac{40}{2+3}=8$$
Задание 13
А) $$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}+\sqrt{2}\sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\sin x$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}2\cos^{2}x\geq \sqrt{2}\\-\sqrt{2}\sin x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x \in (-\infty;-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}]\cup[\frac{1}{\sqrt[4]{2}};+\infty)\\\sin x\leq 0\end{matrix}\right.$$
Возведем обе части в квадрат: $$2\cos^{2} x-\sqrt{2}=2\sin^{2}x$$
Применим формулы понижения степени: $$1+\cos 2x -\sqrt{2}=1-\cos 2x\Leftrightarrow$$$$2\cos 2x=\sqrt{2}\Leftrightarrow$$$$\cos 2x=\sqrt{2}{2}\Leftrightarrow$$$$2x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\Leftrightarrow$$$$x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$
С учетом ОДЗ (синус меньше или равен 0): $$x_{1}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$ и $$x_{2}=-\frac{7\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$
Б) На заданном промежутке:
$$x_{2}: -7\pi + \frac{\pi}{8}=-\frac{55\pi}{8}$$
$$x_{1}: -6\pi -\frac{\pi}{8}=-\frac{49\pi}{8}$$
Задание 14
Точки M,N и P лежат на боковых ребрах правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и делят их в отношении $$AM:MA_{1}=1:2$$, $$BN:NB_{1}=1:3$$, $$CP:PC_{1}=2:3$$
A) 1) Пусть a - ребро основания, b - боковое ребро. Тогда: $$AM=\frac{1}{3}b$$, $$NB=\frac{1}{4}b$$, $$CP=\frac{2}{5}b$$
2) Разобъем многогранник ABCMNP на пирамиды : PABNM и PABC
3) Пусть $$CH\perp AB$$ и h - перпендикуляр из P. Тогда $$CH=h\Rightarrow$$ $$V_{PABNM}=\frac{1}{3}S_{ABNM}*CH$$. Из $$\Delta ABC$$: $$CH=AB *\sin 60=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$
$$S_{ABNM}=\frac{AM+NB}{2}*AB=$$$$\frac{\frac{1}{3}b+\frac{1}{4}b}{2}*a=\frac{7ab}{24}$$
$$V_{PABNM}=\frac{1}{3}*\frac{7ab}{24}*\frac{\sqrt{3}a}{2}=$$$$\frac{7a^{2}b\sqrt{3}}{144}$$
4) $$V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}*CP$$
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*BC*\sin 60=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$$
$$V_{PABC}=\frac{1}{3}*\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}*\frac{2}{5}b=$$$$\frac{2\sqrt{3}a^{2}b}{60}$$
Тогда $$V_{ABCMNP}=\frac{7a^{2}b\sqrt{3}}{144}=$$$$\frac{2\sqrt{3}a^{2}b}{60}=$$$$\frac{(35+24)\sqrt{3}a^{2}b}{720}=\frac{59\sqrt{3}a^{2}b}{720}$$
5) $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{ABC}*CC_{1}=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}*b=\frac{\sqrt{3}a^{2}b}{4}$$
6) $$V_{A_{1}B_{1}C_{1}MNP}=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}b}{4}-\frac{59\sqrt{3}a^{2}b}{720}=$$$$\frac{121\sqrt{3}a^{2}b}{720}$$
Тогда: $$\frac{V_{ABCMNP}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}MNP}}=\frac{59}{121}$$
Б) 1) $$MN=AM-NB=5$$. $$NM_{1}\perp AM\Rightarrow$$ $$NM_{1}=AB=2\sqrt{10}$$
2) $$\Delta MNM_{1} MN=\sqrt{5^{2}+(2\sqrt{10}^{2})}=\sqrt{25+40}=\sqrt{65}$$
3) Аналогично $$PP_{1}=PC-NB=9$$. $$PN=\sqrt{81+40}=\sqrt{121}$$
4) Аналогично : $$PM_{1}=24-20=4$$. $$MP=\sqrt{16+40}=\sqrt{56}$$
5) $$MN^{2}+MP^{2}=65+56=121=PN$$ - выполнилась теорема Пифагора
Задание 15
Решите неравенство $$2+\log_{\sqrt{x^{2}-2x-3}}\frac{x+4}{x+1}\geq \log_{\sqrt{x^{2}-2x-3}}(x^{2}-2x-2)^{2}$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{x+1}>0\\x^{2}-2x-3>0\\x^{2}-2x-3\neq 1\\x^{2}-2x-2\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in(-\infty ;-4)\cup (-1;+\infty )\\x \in (-\infty ; -1)\cup (3;+\infty )\\x \neq 1\pm \sqrt{3}\\x \neq 1\pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow x \in (-\infty ;-4)\cup (3;1+\sqrt{5})\cup(1+\sqrt{5};+\infty )$$
При данном ОДЗ: $$2+2\log_{x^{2}-2x-3}\frac{x+4}{x+1}\geq \log_{x^{2}-2x-3}(x^{2}-2x-2)$$
$$\log_{x^{2}-2x-3} (x^{2}-2x-3)*(\frac{x+4}{x+1})\geq \log_{x^{2}-2x-3}(x-2x-2)$$
$$(x^{2}-2x-3-1)((x^{2}-2x-3)*\frac{x+4}{x+1}-(x^{2}-2x-2))\geq 0$$
$$(x^{2}-2x-4)(\frac{(x+1)(x-3)(x+4)}{x+1}-x^{2}+2x+2)\geq 0$$
$$(x^{2}-2x-4)(x^{2}+x-12-x^{2}+2x+2)\geq 0$$
$$(x^{2}-2x-4)(x-\frac{10}{3})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x \in [1-\sqrt{5}; 1+\sqrt{5}]\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$
С учетом ОДЗ: $$x \in (3; 1+\sqrt{5})\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$
Задание 16
Точка N делит диагональ трапеции ABCD в отношении CN:NA=2:1. Длины оснований ВС и AD относятся как 1:3. Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону АВ в точке М.
A) 1) Пусть $$BC=x\Rightarrow$$ $$AD=3x$$; $$CN=2y\Rightarrow$$ $$AN=y$$
2) $$\angle CAD=\angle BCA$$(накрест лежащие ). Пусть $$\angle CAD=\alpha$$
3) $$S_{BCA}=\frac{1}{2}BC*AC*\sin BCA=$$$$\frac{1}{2}*x*3y*\sin \alpha =\frac{3xy \sin \alpha }{2}$$
$$S_{CAD}=\frac{1}{2}*AC*AD \sin CAD=$$$$\frac{1}{2}*3y*3x\sin \alpha =\frac{9xy\sin \alpha }{2}$$
$$S_{ABCD}=S_{BCA}+S_{CAD}=$$$$6xy\sin \alpha =S$$, тогда: $$S_{CAD}=\frac{3}{4}S$$, $$S_{BCA}=\frac{1}{4}S$$
4) $$S_{BCN}=\frac{1}{2}BC*CN*\sin BCN=$$$$\frac{1}{2}*x*2y*\sin \alpha =$$$$xy\sin \alpha =\frac{1}{6}S\Rightarrow$$ $$S_{BNA}=\frac{1}{4}S-\frac{1}{6}S=\frac{1}{12}S$$
5) $$\Delta BNC\sim \Delta ANH$$ ($$BN\cap AD=H$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CN}{AN}=\frac{BN}{NH}=\frac{2}{1}=$$$$\frac{BC}{AH}\Rightarrow$$ $$AH=\frac{BC}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow$$ $$HD=3x-\frac{x}{2}=\frac{5x}{2}$$
6) По т. Менелая для $$\Delta MDA$$:
$$\frac{BN}{NH}*\frac{HD}{AD}*\frac{AM}{MB}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{1}*\frac{5x}{2*3x}*\frac{AM}{MB}=1\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{MB}{AB}=\frac{5}{8}$$
7) $$S_{MBN}=\frac{MB}{AB}*S_{BNA}=$$$$\frac{5}{8}*\frac{1}{12}S=\frac{5S}{96}$$
8) $$S_{MBCN}=\frac{5S}{96}+\frac{S}{6}=$$$$\frac{5S+16S}{96}=\frac{21S}{96}=\frac{7S}{32}$$
Б) 1)По т. Менеая для $$\Delta ABH$$:
$$\frac{DN}{NM}*\frac{MB}{AB}*\frac{AH}{HD}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{DH}{NM}*\frac{5}{8}*\frac{1}{5}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{DN}{NM}=\frac{8}{1}\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{9}*9=1$$
Задание 17
В офисном здании 8 этажей, на каждом из которых, кроме первого, находится кабинет начальника отдела. Управляющая жилищная компания объявила что в день профилактического ремонта лифта он сделает всего один подъем сразу всех начальников на один, указанный ими этаж. После подъема начальники будут вынуждены идти в свои кабинеты по лестнице. В качестве компенсации за причиненные неудобства за каждый необходимый подъем на очередной этаж по лестнице каждому начальнику будет начислено 200 рублей. За каждый аналогичный спуск – 100 рублей. Этаж необходимо выбрать так, чтобы общая сумма компенсаций была минимальной. Укажите в рублях эту сумму
1 Вариант. Составим таблицу
Как видим, наименьшая сумма 1600, при выходе на 6 этаже.
2 вариант.
Пусть n -этаж выхода, тогда количество подъемов максимальное 8-n, спусков- n-2. При этом каждый последующий этаж прибавляет в сравнении с предыдущим 1 подъем (спуск). Т.е. получим арифметическую прогрессию .
В обоих случаях, разность которой d=1 и необходимо найти сумму (8-n) членов для подъемов и (n-2) членов для спусков (первый член в обоих случаях равен 1) :
Сумма за подъемы: $$S_{1}=\frac{2*1+1*(8-n-1)}{2}(8-n)*200=(9-n)(8-n)*100$$
Сумма за спуски : $$S_{2}=\frac{2*1+1(n-2-1)}{2}(n-2)*100=(n-1)(n-2)*50$$
Итоговая сумма: $$S=S_{1}+S_{2}=100(9-n)(8-n)+50(n-1)(n-2)\rightarrow min$$
Тогда $$g(n)=2(9-n)(8-n)+(n-1)(n-2)\rightarrow$$ $$min$$
$$g(n)=144-34n+2n^{2}+n^{2}-3n+2=3n^{2}-37n+146$$
$${g}'n=6n-37=0\Rightarrow n=\frac{37}{6}$$
С учетом $$n \in N$$ получаем n=6 или n=7
$$g(6)=3*6^{2}-37*6+146=32$$
$$g(7)=3*7^{2}-37*7-146=34$$
Следовательно, 6 этаж.
Задание 18
Найдите все значения параметра p, при которых уравнение $$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)$$ имеет хотя бы один корень.
$$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)\Leftrightarrow$$ $$3-2\cos x=p*\frac{1}{\cos ^{2}x}$$
ОДЗ: $$\cos x\neq 0$$
$$\frac{p}{\cos ^{2}x}+2 \cos x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^{3}x-3 \cos ^{2}x+p=0$$
Замена: $$\cos x=t \in [-1;0)\cup (0;1]$$
$$2 t^{3}-3t^{2}+p=0$$
1 способ:
Пусть $$f(t)=2t^{3}-3t^{2}+p$$
$${f}'(t)=6t^{2}-6t=0\Leftrightarrow$$ $$6t(t-1)=0\Rightarrow$$ $$t=0-max, t=1-min$$
С учетом , что $$t \in [-1;0)\cup (0;1](1)$$ имеем следующие возможные расположения графика, при котором будет хотя бы одно решение из (1):
1) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\geq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2(-1)^{3}-3(-1)^{2}+p\geq 0\\p>0\\2(1)^{3}-3*1^{2}+p\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\geq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$
2) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in [1;5]$$
3) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in (0; 1]$$
Итог: $$p \in (0;5]$$
2 способ:
Рассмотрим график функции $$p=3t^{2}-2t^{3}$$.
Найдем экстремумы: $${f}'(t)=6t-6t^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$6t(1-t)=0\Rightarrow$$ $$t=0-min, t=1-max$$
Тогда $$p(0)=0; p(1)=1$$. При этом $$p(-1)=5$$. С учетом, что на промежутке от [-1;0) - убывает, а на (0;1] - возрастает, то $$p \in (0;5]$$
Задание 19
На доске написаны числа 3 и 5. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой чисел 2a-1 и a+b+1 (например, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно получить либо числа 5 и 9 либо числа 9 и 9)
А) Да, например , $$a =5, b=3\Rightarrow (9;9)$$; $$a=9,b=9\Rightarrow (17;19)$$; $$a=19, b=17\Rightarrow (37;37)$$; $$a=37, b=37\Rightarrow (73;75)$$.
Б) Нет. Рассмотрим всевозможные варианты:
- Если $$(5;3)\Rightarrow$$ (9;9) или (5;9)
- Если (9;9)$$\Rightarrow$$ (17;19) $$\Rightarrow$$ (33;37) или (37,37) - не подходит
- Если (5;9) $$\Rightarrow$$ (9;15) или (17;15)
- Если (17; 15) $$\Rightarrow$$ (33;33) или (29;33) - не подходит
- Если (9;15) $$\Rightarrow$$ (17;25) или (29;25) - не подходит
B) Как видим из Б) каждый нечетный ход можно получить симметренную пару чисел $$\Rightarrow min=0$$. Но в таком случае числа будут равны, нам же нужны неравные числа. Тогда: пусть даны числа a и b, b>a, тогда следующий ход получим 2a-1 и a+b+1 или 2b-1 и a+b+1. В первом случае разность: b-a+2, во втором : b-a-2. Т.е. будет уменьшение или увеличение разности (b-a) на 2. Следовательно, 2015 ходов мы будем выводить разность в 0, а потом двумя ходами дважды увеличим или уменьшим ее на 2, тем самым получим, что наименьшая разность составит 4.