Перейти к основному содержанию

258 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 258 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №258 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 258 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №258 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Диагональ экрана телевизора равна 32 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 25,4 мм. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Ответ: 81
Скрыть
Найдем диагональ в мм : 32*25,4=812,8мм.
Тогда в см : $$\frac{812,8}{10}=81,28$$ см
Округлим до целого и получим 81.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бухаресте каждый день с 6 по 19 июня 1992 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какого числа из указанного периода среднесуточная температура наиболее резко понизилась по сравнению с предыдущим днем.

Ответ: 15
Скрыть

Как видим по рисунку резкое похолодание ( в сравнении с другими днями ) произошло 15 числа

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Клетка имеет размер 1 см*1 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции АВСD. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ: 1,5
Скрыть

  1. Из $$\Delta ABC$$: $$MK=\frac{AB}{2}$$
  2. Из $$\Delta DBC$$: $$NM=\frac{CD}{2}$$
  3. $$KN=MK-NM=\frac{AB-CD}{2}=1,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В торговом центре два разных автомата продают кофе. Вероятность того, к концу дня закончится кофе в первом автомате, равна 0,32, что закончится кофе во втором автомате – 0,24. Вероятность того, что закончится кофе в обоих автоматах, равна 0,13. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Ответ: 0,57
Скрыть
  1. Вероятность того, что закончится хотя бы в одном : $$P_{1}=0,32+0,24-0,13=0,43$$
  2. Тогда вероятность, что останется в обоих (противоположное событие) : $$P=1-P_{1}=0,57$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$2\sqrt{x+1}=2-x$$ . Если корней несколько, то в ответе укажите больший из них.

Ответ: 0
Скрыть

$$2\sqrt{x+1}=2-x$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(2\sqrt{x+1})^{2} =(2-x)^{2}\\2-x\geq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4(x+1)=4-4x+x^{2}\\x\leq 2\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x^{2} -8x=0\\x\leq 2\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=0\\x=8\end{matrix}\right.\\x\leq 2\end{matrix}\right.$$$$\Rightarrow$$$$x=0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В параллелограмме АВСD АК – биссектриса угла А, DM – биссектриса угла D. Найдите длину отрезка КМ, если известны стороны параллелограмма АВ=3, АD=5.

Ответ: 1
Скрыть
  1. $$\angle BAK=\angle KAD$$ (AK-биссектриса); $$\angle KAD=BKA$$ (накрест лежащие ) $$\Rightarrow$$ $$\Delta ABK$$ –равнобедренный ; $$AB=BK=3$$$$\Rightarrow$$ $$KC=AD-BK=2$$
  2. аналогично $$CD=CM=3$$$$\Rightarrow$$ $$MK=CM-KC=1$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция y=f(x) определена на отрезке [‐2; 4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика функции y=f(x) , в которой она принимает наименьшее значение.

Ответ: 1
Скрыть

При x=1 имеем , что $${f}'(x)=0$$, при этом на промежутке [-2; 1): $${f}'(x)0$$$$\Rightarrow$$ $$x=1$$ - точка минимума и $$f_{min}=f(1)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Объем правильной шестиугольной призмы АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1 равен 144. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B,E,F,F1,E1

Ответ: 32
Скрыть

        1) $$B_{1}F_{1}\perp F_{1}E_{1}$$ и $$B_{1}F_{1}\perp FF_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$B_{1}F_{1}$$ - высота пирамиды$$B_{1}EFF_{1}E_{1}$$ . Тогда $$V_{B_{1}EFF_{1}E_{1}}=\frac{1}{3} S_{EFF_{1}E_{1}}*B_{1}F_{1}=$$$$\frac{1}{3} *F_{1}E_{1}*B_{1}F_{1}*FF_{1}$$

        2) Пусть $$F_{1}E_{1}=x; FF_{1}=h$$ . Тогда из $$\Delta F_{1}A_{1}B_{1}$$: $$F_{1}B_{1}=\sqrt{x^{2}+x^{2}-2x^{2} \cos 120}=x\sqrt{3}$$

        3) Тогда $$V_{ABC..E_{1}F_{1}}=S_{AB..EF}*FF_{1}=\frac{3\sqrt{3}x^{2}}{2}*h=144$$$$\Rightarrow$$ $$\sqrt{3}x^{2}h=96$$

$$V_{B_{1}EFF_{1}E_{1}}=\frac{1}{3} *x*\sqrt{3}x*h=$$$$\frac{\sqrt{3}x^{2}h}{3}=\frac{96}{3}=32$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{18^{12}*8^{8}}{12^{18}*3^{3}}$$

Ответ: 27
Скрыть

$$\frac{18^{12}*8^{8}}{12^{18}*3^{3}}=$$$$\frac{(3^{2}*2)^{12}*(2^{3})^{8}}{(2^{2}*3)^{18}*3^{3}}=$$$$\frac{3^{24}*2^{36}}{2^{36}*3^{21}}=3^{3}=27$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $$I=\frac{\epsilon}{R+r}$$ , где ε – ЭДС источника (в вольтах), r=2,5 Ом – его внутреннее сопротивление, R – сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 25% от силы тока короткого замыкания $$I_{k3}=\frac{\epsilon}{r}$$? (Ответ выразите в омах).

Ответ: 7,5
Скрыть

Получим , что $$I=0,25 I_{kZ}=0,25 *\frac{\epsilon}{r}$$, или $$\frac{\epsilon}{R+2,5}=\frac{1}{4}*\frac{\epsilon}{2,5}$$$$\Leftrightarrow $$$$R+2,5=10\Leftrightarrow R=7,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй − 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Ответ: 100
Скрыть

     Пусть x кг –масса первого сплава, y кг - масса второго. В первом никеля 0,1 x кг, во втором : 0,3y кг. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\0,1x+0,3y=0,25*200\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\0,1x+0,3y=50|*10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\x+3y=500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$3y-y=500-200\Leftrightarrow$$ $$y=150\Rightarrow$$ $$x=50$$

     Тогда 150-50=100 кг-разница

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение выражения x2-x+y2-y

Ответ: -0,5
Скрыть

Рассмотрим выражение по частям : Пусть $$f(x)=x^{2}-x$$; $$g(y)=y^{2}-y$$ (функции одинаковы, следовательно, минимальные значения будут так же одинаковы)
$$f_{min}=f(x_{0}); x_{0}=-\frac{-1}{2}=0,5$$$$\Rightarrow$$ $$f(x_{0})=0,5^{2}-0,5=-0,25$$
$$g(y_{0})=0,5^{2}=0,5=-0,25$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}+g_{min}=-0,25-0,25=-0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sqrt{\log_{\frac{1}{9}} ctg \frac{2x}{9}}+\sqrt{\log_{\frac{1}{9}} \sin 4x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{3\pi}{2};4\pi]$$

Ответ: А)$$9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}), n \in Z$$ Б) нет
Скрыть

А)   $$\sqrt{log_{\frac{1}{9}} ctg (\frac{2x}{9})}+\sqrt{log_{\frac{1}{9}}(\sin 4x)}=0$$$$\Leftrightarrow$$ Так как дана сумма квадратных корней, то она равна нулю только тогда, когда : $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{log_{\frac{1}{9}}ctg\frac{2x}{9}}=0\\\sqrt{log_{\frac{1}{9}}\sin 4x}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{9}}ctg\frac{2x}{9}=0\\log_{\frac{1}{9}}\sin 4x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}ctg \frac{2x}{9}=1\\\sin 4x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{2x}{9}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\4x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{9 \pi}{8}+ \frac{ 9\pi n}{2}, n \in Z\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}), n \in Z\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}), n \in Z$$

Б)   Рассмотрим двойное неравенство: $$\frac{3\pi}{2}\leq 9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}) \leq 4\pi \Leftrightarrow$$$$\frac{1}{6}\leq \frac{1}{8}+\frac{n}{2}\leq \frac{4}{9}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{24}\leq \frac{n}{2}\leq \frac{23}{72}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{12}\leq n\leq \frac{23}{36} $$. Как видим, целых n не получили, следовательно, на данном промежутке корней нет

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В кубе ABCDA1B1C1D1 сечение проходит через вершину А и середины граней A1B1C1D1 и B1C1CB.

А) Найдите, в каком отношении секущая плоскость делит объем куба

Б) Найдите угол между плоскостью грани ABCD и плоскостью сечения.

Ответ: А) $$\frac{1}{2}$$ Б) $$arccos \frac{1}{\sqrt{11}}$$
Скрыть

A)      1) Пусть $$B_{1}D_{1}\cap A_{1}C_{1}=K$$ $$\Rightarrow$$ K - середина ($$A_{1} B_{1}C_{1}D_{1}$$). Тогда $$K \in (A_{1} C_{1} C A)$$$$\Rightarrow$$ $$AK\cap CC_{1}=M$$

        2) Пусть $$B_{1}C\cap BC_{1}=N$$$$\Rightarrow$$ N - середина $$(B_{1}C_{1}CB)$$ и $$M, N \in (B_{1}C_{1}CB)$$$$\Rightarrow$$ соединяем MN, $$MN\cap B_{1}C_{1}=L_{1}$$; $$MN\cap BC=L$$

        3) Соединим $$L_{1}K ; L_{1}K\cap A_{1}D_{1}=R_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$AR_{1}L_{1}L$$ - искомое сечение

        4) Рассмотрим $$\Delta AMC$$: $$KC_{1}=\frac{A_{1}C_{1}}{2}$$;. Пусть сторона квадрата равна 1, тогда: 

$$A_{1}C_{1}=\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$KC_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; $$CC_{1}=1$$; $$\Delta MKC_{1}\sim \Delta AMC$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{MC_{1}}{MC}=\frac{KC_{1}}{AC}$$$$\Rightarrow$$ $$MC_{1}=1$$

         5) $$\Delta MCL\sim MNN_{1}(NN_{1}\left | \right |LC)$$, $$CN_{1}=\frac{1}{2}CC_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$CN_{1}=\frac{1}{4}CM$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{MN_{1}}{MC}=\frac{NN_{1}}{CL}=\frac{3}{4}$$; $$NN_{1}=\frac{1}{2}$$, $$LC=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$BL=\frac{1}{3}$$, $$L_{1}C_{1}=\frac{1}{3}$$, $$B_{1}L_{1}=\frac{2}{3}$$

        6) Пусть $$A_{1}H\left | \right |L_{1}R_{1}$$; тогда $$\Delta A_{1}B_{1}H=\Delta ABL$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}B_{1}HABL}=\frac{1}{2}S_{ABL}*BB_{1}=\frac{1}{2} *1*\frac{1}{3}*1=\frac{1}{6}$$

        7) $$\Delta A_{1}AR_{1}=HLL_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}R_{1}ALHL_{1}}=S_{AA_{1}R_{1}}*h$$, где h - высота призмы $$A_{1}R_{1}ALHL_{1}$$; $$A_{1}B_{1}(A_{1}B_{1}\perp (B_{1}C_{1}CB))$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}R_{1}ALHL_{1}}=\frac{1}{2}*1*\frac{1}{3}*1=\frac{1}{6}$$

Тогда $$V_{A_{1}B_{1}L_{1}R_{1}ABL}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}=V_{1}$$; $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=1^{3}=1$$$$\Rightarrow$$ $$V_{ALCDR_{1}L_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{2}{3}=V_{2}$$ ;$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$

Б)       введем ортогальную систему координат: $$A(0;1;0)$$; $$R_{1}(0;\frac{2}{3};1)$$; $$L(1; \frac{2}{3}; 0)$$. Зададим уравнение ($$ALL_{1}R_{1}$$): $$\left\{\begin{matrix}0*a+1*b+0*c+d=0\\0*a+\frac{2}{3} b+1*c+d=0\\1*a+\frac{2}{3}b+0*c+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=-d\\a=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{d}{3}\end{matrix}\right.$$$$\Rightarrow$$ $$(ALL_{1}R_{1})$$:$$-\frac{1}{3}x-1*y-\frac{1}{3}z+1=0$$ и нормаль-вектор к этой плоскости: $$\bar{n}(-\frac{1}{3},-1,-\frac{1}{3})$$. Нормаль-вектор к (ABCD): $$\tilde{m} (0,0,1)$$ (ось OZ): тогда косинус угла м\у ($$ALL_{1}R_{1}$$) и (ABCD) равен $$\cos (\bar{m}, \bar{n})$$:

$$\cos (\bar{m}, \bar{n})=\frac{\left | -\frac{1}{3}*0+(-1)*0+(-\frac{1}{3})*1 \right |}{\sqrt{(-\frac{1}{3})^{2}+(-1)^{2}+(-\frac{1}{3})^{2}} \sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{11}}$$$$\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{m}, \bar{n})=arccos \frac{1}{\sqrt{11}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{x} (x+\frac{1}{3}) \leq \log_{\sqrt{2x+3}} (x+\frac{1}{3})$$

Ответ: $$[\frac{2}{3};1)\cup [3; +\infty )$$
Скрыть

$$\log_{x} (x+\frac{1}{3})\leq \log_{\sqrt{2x+3}}(x+\frac{1}{3})$$

        ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+\frac{1}{3}>0\\x>0\\2x+3>0\\x\neq 1\\2x+3\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-\frac{1}{3}\\x>0\\x>-1,5\\x\neq 1\\x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;1)\cup (1; +\infty )$$

Решение : воспользуемся формулой : $$\log_{g}f=\frac{1}{\log_{f}g}$$

$$\frac{1}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x}\leq \frac{1}{\log_{(x+\frac{1}{3})\sqrt{2x+3}}}$$$$\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}-\log_{(x+\frac{1}{3})}x}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x*\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{(x+\frac{1}{3})}\frac{\sqrt{2x+3}}{x}}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x*\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}}\leq 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{x} \frac{\sqrt{2x+3}}{x}*\log_{\sqrt{2x+3}}(x+\frac{1}{3})\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{\sqrt{2x+3}}{x}-1)(x-1)(x+\frac{1}{3}-1)(\sqrt{2x+3}-1)\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{2x+3}-x}{x}(x-1)(x-\frac{2}{3})(2x+3-1)\leq 0$$

        Рассмотрим $$\sqrt{2x+3}-x$$. С учетом ОДЗ: $$\sqrt{2x+3}-x$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x+3-x^{2}$$$$\Leftrightarrow$$ $$-(x-3)(x+1)$$. Получим : $$\frac{-(x-3)(x+1)(x-1)(x-\frac{2}{3})(2x+2)}{x}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)^{2}(x-1)(x-\frac{2}{3})(x-3)}{x}\geq 0$$

        С учетом ОДЗ : $$(x+1)^{2}$$ можно убрать (поделить на него): $$\frac{(x-1)(x-\frac{2}{3})(x-3)}{x}\geq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq 3\\\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{2}{3}\\x<1\end{matrix}\right.\\x<0\end{matrix}\right.$$

        Но т.к. $$x>0$$ , то $$x \in [\frac{2}{3};1)\cup [3; +\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Внутри параллелограмма ABCD взята точка К так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки К до прямых AD, AB и ВС равны соответственно 3, 6 и 5.

А) Найдите площадь параллелограмма
Б) Окружность, описанная около треугольника CKD пересекает сторону AD в точке Р. Найдите отношение АР:AD.
Ответ: А)$$\frac{182}{\sqrt{3}}$$ Б)$$\frac{51}{91}$$
Скрыть

A)   Пусть $$CD=KD=KC=a$$, тогда из $$\Delta NKD$$ : $$ND=\sqrt{a^{2}-3^{2}}$$; Из $$\Delta KRC$$: $$RC=\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$

      2) Пусть $$DH\perp BC$$ , тогда $$DH=NR=8$$; $$CH=ND=RC=\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$. $$\Delta DHC$$: $$a^{2}=8^{2}+(\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}})^{2}\Leftrightarrow$$$$a^{2}-8^{2}=2a^{2}-34-2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}\Leftrightarrow$$$$2\sqrt{A^{4}-34a^{2}+225}=a^{2}+30\Leftrightarrow$$$$4a^{4}+136a^{2}+900=a^{4}+60a^{2}+900\Leftrightarrow$$$$3a^{4}-196 a^{2}=0$$. Тогда a=0(не может быть) член $$a=\pm \frac{14\sqrt{3}}{3}$$ ( отрицательным не может быть )

      3) $$KQ=CD \sin 60$$; $$CD=\sqrt{DH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{64+((\sqrt{\frac{14^{2}}{3}-9}-\sqrt{(\frac{14^{2}}{3}-25)})^{2}}=$$$$\sqrt{64+(\frac{13}{\sqrt{3}}-\frac{11}{\sqrt{3}})^{2}}=\sqrt{\frac{196}{3}}=$$$$\frac{14}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$KQ=\frac{14}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=7$$$$\Rightarrow$$ $$MQ=13$$

      4) $$S_{ABCD}=MQ*CD=13*\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{182}{\sqrt{3}}$$

Б)  1) из $$\Delta CHD$$: $$\sin \angle DCH=\frac{DH}{CD}=\frac{8}{\frac{14}{\sqrt{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$$$$\Rightarrow$$ $$\sin \angle ADC=\frac{4\sqrt{3}}{7}=\sin \alpha$$

      2) $$\angle ODQ=\frac{1}{2} \angle KDC=30$$$$\Rightarrow$$ $$\angle PDO=\angle (\alpha -30)$$, где $$\angle \alpha =\angle ADC$$; $$\cos \alpha =\sqrt{1-\sin ^{2}\alpha }=\frac{1}{7}$$; $$\sin (\alpha -30)=\sin \alpha \cos 30-\cos \alpha \sin 30=$$$$\frac{4\sqrt{3}}{7}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{7}*\frac{1}{2}=$$$$\frac{11}{14}\Rightarrow$$ $$\cos(\alpha -30)=\frac{5\sqrt{3}}{14}$$

      3) OD - радиус описанной окружности $$\Rightarrow$$ $$OD=\frac{2}{3}$$; $$KQ=\frac{2*7}{3}=\frac{14}{3}$$$$\Rightarrow$$ из $$\Delta EDO$$: $$ED=DO \cos PDO=\frac{14}{3}*\frac{5\sqrt{3}}{14}=$$$$\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow$$ $$PD=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

      4) $$S_{ABCD}=\frac{182}{\sqrt{3}}=AD*DH\Rightarrow$$ $$AD=\frac{182}{\sqrt{3}*8}=\frac{91}{4\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$AP=\frac{91}{4\sqrt{3}}-\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{51}{4\sqrt{3}}$$, $$\frac{AP}{AD}=\frac{51}{4\sqrt{3}}:\frac{91}{4\sqrt{3}}=\frac{51}{91}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию и 25% на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если на одну акцию выпадают обе скидки, то применяется большая из них. Определите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции составляет 1000 рублей.

Ответ: 962500
Скрыть

      Всего акций n=1000. При этом под «каждую пятую» попадает $$m=\frac{1000}{5}=200$$ акций, под каждую 13: $$h =\frac{1000}{13}\approx 76$$ акций

      При этом, так как 5 и 13 взаимопростые , то из 76 в каждой пятерке номеров один так же будет попадать в «каждую пятую» $$\frac{76}{5}\approx 15$$. Получим, что со скидкой 10% : 200-15=185  акций (так как на 15 штук будет браться большая скидка - они попадают так же под 13-е). Со скидкой 25% : 76 шт., без скидки: 1000-185-76=739 шт. Тогда выручка: $$S=739*1000+185*900+76*750=962500$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

При каких значениях параметра a уравнение $$(a-1)4^{x}+(2a-3)6^{x}=(3a-4)9^{x}$$ имеет единственное решение?

Ответ: $$(-\infty ;1]\cup {\frac{5}{4}}\cup [\frac{4}{5}; +\infty )$$
Скрыть

      $$(a-1)*4^{x}+(2a-3)*6^{x}=(3a-4)*9^{x}|:3^{2x}\Leftrightarrow$$$$(a-1)(\frac{2}{3})^{2x}+(2a-3)(\frac{2}{3})^{x}-(3a-4)=0$$

Пусть: $$(\frac{2}{3})^{x}=y>0$$

      $$(a-1) *y^{2}+(2a-3)y-(3a-4)=0$$

      $$D=(2a-3)^{2}+4(a-1)(3a-4)=16a^{2}-40a+25=(4a-5)^{2}$$

$$y_{1}=\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$

$$y_{2}=\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$

      Существуют следующие варианты единственного решения :

1) $$y_{1}=y_{2}\Rightarrow$$ $$4a-5=0\Rightarrow$$ $$a=\frac{5}{4}$$. Выполним проверку: $$(\frac{2}{3})^{x}=\frac{3-2,5}{2(1,25-1)}=1\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

2) Один из корней меньше или равен 0 , второй больше 0. Сравним корни: $$\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}>\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\left | 4a-5 \right |}{a-1}>0$$$$\Rightarrow$$

При $$a>1: y_{1}>y_{2}$$;

При $$a<1 : y_{2}>y_{1}$$,

Тогда решение будет при условии: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>1\\y_{2}\leq 0& &\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}a<1\\y_{1}\leq 0\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим системы отдельно:

(1):    $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{a-1}\leq 0 & &\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left | 4a-5 \right |\geq 3-2a\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left[\begin{matrix}4a-5\geq 3-2a\\4a-5\leq 2a-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left[\begin{matrix}a\geq \frac{4}{3}\\a\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$a \in [\frac{4}{3}; +\infty )$$

(2):    $$\left\{\begin{matrix}a<1\\\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)} \leq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a<1\\3-2a+\left | 4a-5 \right |\geq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left | 4a-5 \right |\geq 2a-3\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left[\begin{matrix}4a-5\geq 2a-3\\4a-5\leq 3-2a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left[\begin{matrix}a\geq 1\\a\leq \frac{4}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$a<1$$

      Проверим случай $$a=1$$: $$-6^{x}=-9^{x}\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

      Тогда конечный ответ: $$a \in (-\infty ;1]\cup {\frac{5}{4}}\cup [\frac{4}{5}; +\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан.

а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод?
б) Можете ли вы определить, какой это будет плод?
в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?
Ответ: А) 7 по 2 банана, 26 по два апельсина, 1 по одному разному Б) банан В) нет
Скрыть

19) A)    Если сорвать 1 шт. , то вырастет такой же , т.е. общее число не меняется. Тогда срываем по 2. Пусть Sx=15 число бананов,Sy=20-число апельсинов.

-если срываем 2 одинаковых, то будет -2x и + y (если 2 банана) или – y(если 2 апельсина)

-если 2 разных, то – y.

Тогда будем срывать сначала 2 банана 7 раз и получим : $$S_{x}=15-7*2=1$$ банан и $$S_{y}=20+7*1=27$$ апельсинов

А потом 26 раз по 2 апельсина: $$S_{x}=1$$ банан ; $$S_{y}=27-26*1=1$$ – апельсин. И оба плода, тогда: $$S_{x}=1$$ и $$S_{y}=0$$

Б)    из п. A это будет банан.

B)    Нет, так как изначально имеем нечетное количество бананов, следовательно, убирая по 2 банана в итоге в остатке получим 1 банан (других вариантов, кроме как убрать 2 банана, нет) . А далее мы в любом случае будем его получать, уменьшая Sy до 0 апельсинов.