Перейти к основному содержанию

285 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.

Решаем ЕГЭ 285 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №285 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 285 вариант Ларина. Подробное решение 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №285 (alexlarin.com)

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Московский муравей решил навестить родственников в Санкт‐Петербурге и отправился пешком со скоростью 5 см/мин. Во сколько раз быстрее он доберется до Питера, поехав на «Сапсане», если расстояние между Москвой и Санкт‐Петербургом равно 648 км, а время поездки на «Сапсане» ‐ 3 часа 45 минут?

Ответ: 57600
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике отражена доля соответствующего имени в общем числе женских имён. Данные приведены для 5 имён (столбцы слева направо): Мария, Анна, Александра, Анастасия, Дарья. Сколько из этих имён становились самыми распространёнными 2 и более раз?

Ответ: 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге изображён четырёхугольник. Найдите отношение длин его короткой и длинной диагоналей

Ответ: 0,6
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Профессор Российского заборостроительного университета Аполлон Иванович подсчитал, что Сюзанна Зайцева отсутствует на его лекциях с вероятностью 0,7, а Виолетта Волкова ‐ с вероятностью 0,8 Вероятность того, что обе девушки присутствуют на лекции равна 0,12. Какова вероятность того, что на следующую лекцию к Аполлону Ивановичу не придет ни Сюзанна, ни Виолетта?

Ответ: 0,62
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\cos \frac{\pi x}{7}=-1$$ . В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: -7
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На стороне CD параллелограмма ABCD выбрана точка E. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника AEB равна 34.

Ответ: 68
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$ , где $$f'(x)$$ ‐ производная функции $$y=f(x)$$, и отмечены 7 точек: A, B, C, D, E, F, G. Сколько из этих точек принадлежат промежуткам возрастания функции?

Ответ: 5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На рисунке изображена прямая призма. Найдите площадь её полной поверхности, если все двугранные углы прямые.

Ответ: 54
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt[24]{a}\cdot\sqrt[48]{a}}{a\cdot\sqrt[16]{a}}$$, при $$a=2,5$$

Ответ: 0,4
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , $$\phi=\omega t+\frac{\beta t^{2}}{2}$$ где t - время в минутах, $$\omega=45^{\circ}$$/мин ‐ начальная угловая скорость вращения катушки, а $$\beta=6^{\circ}$$/мин‐ угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $$\phi$$ достигнет 1350°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 15
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

На практическом занятии в Российском заборостроительном университете Сюзанна Зайцева и Виолетта Волкова красили забор вокруг здания университета следующим образом – сначала Виолетта прокрашивает полосу 10 см красной краской, затем Сюзанна прокрашивает полосу 10 см синей краской, потом девушки поочереди прокрашивают полосу каждая своим цветом, причем каждая последующая полоса проводится на 10 см шире, чем предыдущая полоса того же цвета. Когда забор был покрашен. оказалось, что Виолетта провела на 1 полосу больше, чем Сюзанна. Сколько полос провела Сюзанна, если длина забора 160 метров?

Ответ: 39
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=2+5x-\frac{2}{3}x\sqrt{x}$$

Ответ: 25
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\log_{3-4\cos^{2}x}(9-16\cos^{4}x)=2+\frac{1}{\log_{2}(3-4\cos^{2}x)}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}]$$

Ответ:
Скрыть

А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3-4\cos^{2}x>0&\\3-4\cos^{2}x\neq1&\\9-16\cos^{4}x>0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos^{2}x<\frac{3}{4}&\\\cos^{2}x\neq1&\\\cos^{4}x<\frac{9}{16}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x\in(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})&\\\cos x\neq\pm1&\\\cos^{2}x\in(-\frac{3}{4};\frac{3}{4})&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;-\frac{\pi}{6}+2\pi n)\cup(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n)$$

Решение: $$\log_{3-4\cos^{2}x}(3-4\cos^{2}x)(3+4\cos^{2}x)=2+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$1+\log_{3-4\cos^{2}x}(3+4\cos^{2}x)=2+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$\log_{3-4\cos^{2}x}(3+4\cos^{2}x)=\log_{3-4\cos^{2}x}(3-4\cos^{2}x)+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$3+4\cos^{2}x=6-8\cos^{2}x$$

$$12\cos^{2}x=3$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos x=\pm\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Б) С помощью тригономентрической окружности найдем корни на данном отрезке: $$\frac{\pi}{3}+\pi n$$: $$\frac{\pi}{3}$$; $$-\frac{\pi}{3}+\pi n$$: $$-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Дана треугольная пирамида ABCD объемом 40. Через вершину А и середину М ребра ВС проведена плоскость, пересекающая ребро BD в точке N. Расстояние от вершины В до этой плоскости равно 4, а площадь треугольника AMN равна 5.

а) Докажите, что точка N делит ребро BD в отношении 1:2, считая от точки В.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС пирамиды, если дополнительно известно, что ребро BD перпендикулярно плоскости АВС и равно 3.
Ответ: 0,8
Скрыть

А) 1) Пусть $$h$$ - высота $$BNAM$$ (из $$B\perp AMN$$) $$\Rightarrow$$ $$h=4$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{BNAM}=\frac{1}{3}\cdot5\cdot4=\frac{20}{3}$$

2) $$\frac{V_{ABCD}}{V_{BNAM}}=\frac{BD\cdot BA\cdot BC}{BN\cdot BA\cdot BM}=\frac{2BD}{BN}=\frac{40}{\frac{20}{3}}=\frac{6}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BD}{BN}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$BN=\frac{1}{3}BD$$; $$ND=\frac{2}{3}BD$$ $$\Rightarrow$$ $$BN\div ND=1\div2$$

Б) 1) Пусть $$BF\perp AM$$; т.к. $$NB\perp(ABC)$$, то $$BF$$ - проекция $$NF$$ на $$(ABC)$$ $$\Rightarrow$$ $$NF\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle NFB$$ - между $$(NAM)$$ и $$(ABC)$$ $$AM\perp(NFB)$$

2) $$BN=\frac{1}{3}BD=5$$. Пусть $$BE\perp NF$$, но $$BE\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\perp(NAM)$$ $$\Rightarrow$$ $$BE=h=4$$

3) Из $$\bigtriangleup NBF$$: $$BE$$ - высота $$\Rightarrow$$ $$\angle NBF=\angle NFB$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\angle NBE=\cos\angle NFB=\frac{BE}{BN}=0,8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$x^{2}+\log_{4}^{2}x+10\log_{3}^{2}x\leq x\cdot \log_{4}x\log_{3}x^{7}$$
Ответ:
Скрыть

$$x^{2}\log_{4}^{2}x+10\log_{3}^{2}x\leq x\log_{4}\cdot\log_{3}x^{7}$$

ОДЗ: $$x^{2}\log_{4}^{2}x-7x\log_{4}x\cdot\log_{3}x+10\log_{3}^{2}x\leq0$$

$$\left[\begin{matrix}(\frac{x\cdot\log_{4}x}{\log_{3}x})^{2}-7\cdot\frac{x\cdot\log_{4}x}{\log_{3}x}+10\leq0&\\\log_{3}x=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}(x\cdot\frac{\log_{x}3}{\log_{x}4})^{2}-7\cdot x\cdot\frac{x\cdot\log_{x}3}{\log_{x}4}+10\leq0&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(x\cdot\log_{4}^{3})^{2}-7(x\cdot\log_{4}^{3})+10\leq0$$

Замена: $$x\cdot\log_{4}^{3}=y$$ $$\Rightarrow$$ $$y^{2}-7y+10\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(y-2)(y-5)\leq0$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\geq2&\\y\leq5&\end{matrix}\right.$$ 

Получим: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\cdot\log_{4}^{3}\geq2&\\x\cdot\log_{4}^{3}\leq5&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq\frac{2}{\log_{4}^{3}}&\\x\leq\frac{5}{\log_{4}^{3}}&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq\log_{3}16&\\x\leq\log_{3}1024&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in{1}\cup[\log_{3}16;\log_{3}1024]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Высоты равнобедренного остроугольного треугольника АВС, в котором АВ=ВС, пересекаются в точке О. АО=5, а длина высоты AD равна 8.

а) Докажите, что длина стороны АС треугольника АВС равна высоте, опущенной на нее из вершины В.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Ответ: 40
Скрыть

А) 1) Пусть $$BK;CH;AD$$ - высоты, $$BO=x$$; $$OK=y$$

2) $$AO=5$$ $$\Rightarrow$$ $$OD=3$$; $$\angle AOK=\angle BOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AOK\sim\bigtriangleup BOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{BO}=\frac{OK}{OD}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{5}{x}=\frac{y}{3}$$; $$xy=15$$

3) $$OH=OD=3$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup AHO$$: $$AH=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$$

Из $$\bigtriangleup AOK$$: $$AK=\sqrt{25-y^{2}}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=2\sqrt{25-y^{2}}$$

Из $$\bigtriangleup AHC$$: $$4(25-y^{2})-16=8^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$4(25-y^{2})=80$$ $$\Rightarrow$$ $$25-y^{2}=20$$ $$\Rightarrow$$ $$y^{2}=5$$ $$\Rightarrow$$ $$y=\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=3\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$BK=4\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$$

Б) $$S=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}=40$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

20 февраля планируется взять кредит в банке на 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы:

‐первого числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца
‐ со 2 по 19 число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга
‐ 20 числа каждого с 1 по n ‐й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 20 число предыдущего месяца
‐ за n+1 ‐ й месяц долг должен быть погашен полностью.

Найдите n, если банку было выплачено 691 тыс. рублей, а долг на 20‐е число n‐го месяца составлял 100 тыс. рублей.

Ответ: 12
Скрыть

Пусть $$S$$ - сумма кредита $$S=600$$т.р., $$a=2$$% - процент банка. За первые $$n$$ месяцев долг уменьшился на $$600-100=500$$т.р., следовательно, т.к. он уменьшался равномерно, то каждый месяц платим $$x=\frac{500}{n}$$т.р. по соновному долгу и весь начисленный за месяц процент.

Месяц Сумма долга на 1ое число Начисленный процент
1 $$S$$ $$Sa$$
2 $$S-x$$ $$\frac{a}{10}(S-x)$$
3 $$S-2x$$ $$\frac{a}{10}(S-2x)$$
... ... ....
$$n$$ $$S-(n-1)x$$ $$\frac{a}{10}(S-(n-1)x)$$
$$n+1$$ $$100$$ $$\frac{a}{10}\cdot100$$

Переплата составила $$691-600=91$$т.р. - сумма третьего столбца: $$\frac{a}{100}(S+S-x+S-2x+...+S-(n-1)x)+100a=91$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{a}{100}(S_{n}-x(1+2+3+...+(n-1)))+\frac{100a}{100}=91$$, т.к. $$1+2+3+...+n-1=\frac{1+(n-1)}{2}(n-1)$$, $$a=2$$, $$x=\frac{500}{n}$$; $$S=600$$ $$\Rightarrow$$ $$0,02(600n-\frac{500}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2})+2=91$$ $$\Rightarrow$$ $$350n+250=4450$$ $$\Rightarrow$$ $$350n=4200$$ $$n=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{3}+7x^{2}+(13-4a)x+4a^{2}-2a+8=0\\ x^{3}+5x^{2}+(4a+13)x-4a^{2}-2a+8=0 \end{matrix}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: -1
Скрыть

Вычтем из первого второе: $$2x^{2}+x(13-4a-4a-13)+8a^{2}=0$$

$$2x^{2}-8ax+8a^{2}=0$$

$$x^{2}-4ax+4a^{2}=0$$

$$(x-2a)^{2}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2a$$

Подставим в первое: $$8a^{3}+28a^{2}+(13-4a)2a+4a^{2}-2a+8=0$$

$$8a^{3}+28a^{2}+26a-8a^{2}+4a^{2}-2a+8=0$$

$$8a^{3}+24a^{2}+24a+8=0$$

$$a^{3}+3a^{2}+3a+1=0$$

$$(a+1)^{3}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$a=-1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Сева каждый день заполняет таблицу 3 на 3 клетки числами 0, 2 или 4. При этом он рассчитывает день ото дня решать все более и более амбициозные задачи:

Пн: добиться того, чтобы суммы чисел по строкам были различны
Вт: суммы чисел по строкам и хотя бы в одном из столбцов были различны
Ср: суммы чисел по строкам и хотя бы в двух столбцах были различны
Чт: суммы чисел по строкам и столбцам были различны
Пт: суммы чисел по строкам, столбцам и одной из главных диагоналей были различны
Сб: суммы чисел по строкам, столбцам и обеим главным диагоналям были различны
а) Сможет ли Сева выполнить свой план на Вт, если хорошо постарается?
б) Сможет ли Сева выполнить свой план на Сб, если постарается пуще прежнего?
в) За какие дни Сева точно не сможет выполнить свой план?
Ответ:
Скрыть

А) Да,например составим: 

0 2 4 6
2 0 0 2
2 4 4 10
4 6 8  

Б) Нет, т.к.добиться разных во всех строках и столбцах нельзя. Возможные суммы из трех нулей, двоек и четверок: $$0;2;4;6;8;10;12$$. Но если мы получаем 12, то используются 3 четверки в столбце или строке, следовательно, останутся еще 5 сумм,которые необходимо составить из 3х нулей и 3х двоек, а они дают всего четыре разные суммы: $$0;2;4;6$$, т.е.нельзя. Так же и стремя нулями. Но кроме 0 и 12 остается 5 возможных разных сумм на 6 необходимых $$\Rightarrow$$ не получится. Аналогично, если использовать не по 3 числа: сума строки или столбца не будет больше 12.

В) Из п.Б: четверг, пятница и суббота