Перейти к основному содержанию

239 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 239 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №239 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 239 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №239 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Подготовка книги к печати стоит 30 тыс. р. Печать одного экземпляра стоит 30 р. Сеть книжных магазинов покупает эту книгу у издательства по 70 р. за экземпляр. При каком наименьшем тираже книги издательство окажется не в убытке?

Ответ: 750
Скрыть

Выручка с одной книги: 70-30=40 рублей, тогда количество книг: $$\frac{30000}{40}=750$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке изображён график среднесуточной температуры в г. Омске в период с 14 по 27 января 1974 г. На оси абсцисс откладываются числа месяца, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Определите по графику, какой была наибольшая среднесуточная температура в период с 14 по 21 января 1974 г. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: -21
Скрыть

Наибольшая температура на данном временном отрезке была 18 числа и составила -21

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см изображён четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 20
Скрыть

Поместим данную фигуру в прямоугольник и вычтем из его площади лишние фигуры как показано на рисунке:

$$S=6*8-\frac{1}{2}(2*8+2*6+2*2)-2*6=20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Поставщик заказывает опоры двигателя у двух фабрик. Первая фабрика выпускает 80% этих опор, вторая — 20 %. Первая фабрика выпускает 1 % бракованных опор, а вторая — 5 %. Найдите вероятность того, что случайно заказанная у поставщика опора двигателя будет исправной.

Ответ: 0,982
Скрыть

Вероятность, что опора будет без брака на первой фабрике : 0,99, на второй фабрике : 0,95. Вероятность того, что опора будет с первой фабрики и без брака: 0,8*0,99, со второй: 0,2*0,95. Тогда, вероятность получить не бракованную опору : 0,8*0,99+0,2*0,95=0,982

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$7^{3x-2}\cdot 7^{x-1}=7$$

Ответ: 1
Скрыть

$$7^{3x-2}\cdot 7^{x-1}=7 \Leftrightarrow$$$$7^{3x-2+x-1}=7^{1} \Leftrightarrow$$$$4x-3=1 \Leftrightarrow$$$$4x=4 \Leftrightarrow x=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Радиус окружности равен 19. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $$19\sqrt{2}$$ . Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

Из треугольника AOB : $$\cos O = \frac{OB^{2}+OA^{2}-AB^{2}}{2OA*OB}=$$$$\frac{19^{2}+19^{2}-(19\sqrt{2})^{2}}{2*19*19}=0$$. Следовательно, угол O составляет 90. Угол ACB - вписанный, опирается на ту же дугу, что и AOC, следовательно, в два раза меньше, то есть 45

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (–2; 10). Определите количество точек с целыми абсциссами, в которых производная функции отрицательна.

Ответ: 2
Скрыть

Производная функции отрицательна там, где сама функция убывает. На данном рисунке это промежутки $$x \in (-2;0)\cup (4;6)\cup (9,5;10)$$. Целых значений, входящих в эти промежутки всего два : -1 ; 5.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 42, высота равна $$7\sqrt{6}$$ . Найдите плоский угол при вершине пирамиды. Ответ дайте в градусах

Ответ: 90
Скрыть

1) Из треугольника ABC : $$HC=\frac{2}{3}CN$$ (по свойству медиан) ; $$CN=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=21\sqrt{3}$$ (из прямоугольного CNB), тогда $$HC=14\sqrt{3}$$

2) Из треугольника DHC : $$ DC = \sqrt{DH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{882}$$

3) Из треугольника DBC : $$\cos BDC = \frac{BD^{2}+DC^{2}-BC^{2}}{2BD*DC}=$$$$\frac{\sqrt{882}^{2}+\sqrt{882}^{2}-42^{2}}{2\sqrt{882}*\sqrt{882}}=0$$, следовательно, $$\angle BDC = 90$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$\frac{6\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}}-\frac{5\sqrt{x}}{x} +3x-6$$ при x=6

Ответ: 18
Скрыть

$$\frac{6\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}}-\frac{5\sqrt{x}}{x} +3x-6=$$$$\frac{6\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}}-\frac{5}{\sqrt{x}} +3x-6=$$$$\frac{6\sqrt{x}+5-5}{\sqrt{x}}+3x-6=$$$$\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+3x-6=$$$$6+3x-6=3x=18$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана— Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела (Вт) вычисляется по формуле $$P=\sigma ST^{4}$$ , где $$\sigma = 5,8*10^{-8}$$ Вт/м2К4 постоянная, S — площадь поверхности тела (м2), T — температура тела (К). Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности $$S=\frac{1}{64}*10^{20}$$ м2 , а излучаемая ею мощность P не менее $$2,28*10^{25}$$ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

Ответ: 4000
Скрыть

$$P=\sigma ST^{4} \Rightarrow$$$$T=\sqrt[4]{\frac{P}{\sigma * S}}$$
$$T=\sqrt[4]{\frac{2,28*10^{25}}{5,8*10^{-8}*\frac{1}{64}*10^{20}}}=$$$$\sqrt[4]{\frac{228*10^{23}*64}{58*10^{-9}*10^{20}}}=$$$$\sqrt[4]{\frac{4*10^{23}*64}{10^{11}}}=$$$$\sqrt[4]{4^{4}*10^{12}}=4*10^{3}=4000$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Часы со стрелками показывают 11 ч 00 мин. Через сколько минут минутная стрелка в двенадцатый раз поравняется с часовой?

Ответ: 780
Скрыть

Первоначально минутная стрелка отстает от часовой на 11/12 окружности (так как часовая стоит на 11 часах, а минутная на 0 часах). Тогда, разница в пройденном расстоянии минутной и часовой стрелками, к моменту, когда они первый раз поравняются (это будет в отметке 0 часов) будет составлять те самые 11/12 окружности. Далее же минутная стрелка с каждым разом будет опережать на один полный круг каждый раз, когда догонит часовую, и так должно произойти еще 11 раз. Если взять, что длина окружности круга равна 1, тогда минутная стрелка пройдет больше часовой на $$11+\frac{11}{12}$$ кругов. Выразим скорость минутной и часовой стрелки в частях окружности в минуту: один круг составляет 60 минут, следовательно, скорость минутной $$\frac{1}{60}$$ кругов в минуту. С другой стороны, круг составляет 12 часов по 60 минут, следовательно, скорость часовой $$\frac{1}{12*60}$$ кругов в минуту. Пусть t - время, за которое минутная обгонит часовую 12 раз, тогда:
$$t*\frac{1}{60}-t*\frac{1}{12*60}=11+\frac{11}{12}\Leftrightarrow$$$$t*(\frac{12-1}{12*60})=\frac{12*11+11}{12} \Leftrightarrow$$$$t=\frac{13*11}{12} : \frac{11}{12*60} \Leftrightarrow$$$$t=780$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=10x\cos x - 7\cos x -10\sin x -4$$, принадлежащую промежутку $$(0 ; \frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,7
Скрыть

Найдем производную данной функции:

$$y'=(10x)'\cos x + 10x(\cos x)'-7(\cos x)'-10(\sin x)'=0 \Leftrightarrow$$$$10\cos x-10x*\sin x +7\sin x -10\cos x = 0 \Leftrightarrow$$$$\sin x(7-10x)=0 \Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x =0\\ 10-7x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x =\pi*n, n\in Z\\ x=0,7\end{matrix}\right.$$

Отметим на координатной прямой полученные корни (учитываем, что корней вида $$\pi*n$$ бесконечно, потому отметим те, которые наиболее близко расположены к промежутку $$(0 ; \frac{\pi}{2})$$):

В итоге точкой максимума на данном промежутке является $$x=0,7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sin x = \cos^{2} x + \frac{1}{2} \log_{\sqrt{2}} (\frac{1}{\frac{\pi}{6}})$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[ -\frac{\pi}{2} ; \pi]$$

Ответ: А) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n , n \in Z$$ Б)$$\frac{\pi}{2}$$
Скрыть

   А) $$\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow$$$$\frac{1}{2} \log_{\sqrt{2}} (\frac{1}{\frac{\pi}{6}})=\frac{1}{2} \log_{\sqrt{2}} (\frac{1}{\frac{1}{2}})=$$$$\frac{1}{2} \log_{\sqrt{2}} 2=$$$$\frac{1}{2}*2=1$$.

     Тогда уравнение примет вид: $$\sin x = \cos^{2} x +1 \Leftrightarrow$$$$\sin x - (1 - \sin^{2} x) -1 = 0 \Leftrightarrow$$$$\sin ^{2} x + \sin x -2 =0 \Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x_{1}+\sin x_{2} =-1\\ \sin x_{1}*\sin x_{2} = 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [\begin{matrix}\sin x_{1}=-2\\ \sin x_{2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}x_{1}=\varnothing (|\sin x| \leq 1)\\ x_{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) На заданном промежутке есть один корень: $$\frac{\pi}{2}$$ при $$n=0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и $$BC =\sqrt{33}$$ , все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS – точка F так, что SF=BE=3 .
А) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.
Б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.
Ответ: $$\frac{2}{7}\sqrt{15}$$
Скрыть

   А) 1) Т.к  $$\left | SA \right |=\left | SK \right |=\left | SD \right |=\left | SC \right |$$,то если  $$(SO)\perp (ABC)$$ , то $$O\in (ABC)$$ и то  $$\Delta AOS=\Delta BOS=\Delta COS=$$$$\Delta DOS\Rightarrow O=(BD)\cap (AC)$$

     2) Из $$\Delta ABD: \left | BD \right |=\sqrt{\left | AD \right |^{2}+\left | AB \right |^{2}}=7\Rightarrow E \in [OB]$$. Пусть $$(CE)\cap (AB)=K$$.  Тогда, по теореме Менелая для $$\Delta OAB$$ и прямой  CK  имеем :$$\frac{\left | BE \right |}{\left | EO \right |}*\frac{\left | OC \right |}{\left | CA \right |}*\frac{\left | AK \right |}{\left | BK \right |}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{\frac{1}{2}}*\frac{\frac{7}{2}}{7}*\frac{\left | AK \right |}{\left | BK \right |}=1\Rightarrow$$ $$\left | BK \right |=3\left | AK \right |\Rightarrow \left | BK \right |=3, \left | AK \right |=1, \left | AF \right |=1\Rightarrow$$ $$\Delta AFK\sim \Delta ASB\Rightarrow (FK)\left | \right |(SB)\Rightarrow (EFC)\left | \right |(SB)$$.

   Б) 1) Пусть  $$(EQ)\left | \right |(SB), Q \in (DS)$$, тогда  $$Q \in (CEF)\Rightarrow$$ $$\Delta DSB\sim \Delta DEQ\Rightarrow$$ $$\frac{\left | DE \right |}{\left | DB \right |}=\frac{\left | QD \right |}{\left | SD \right |}\Leftrightarrow$$ $$\frac{4}{7}=\frac{\left | QD \right |}{4}\Rightarrow$$ $$\left \| QD \right \|=\frac{16}{7}$$

     2) Пусть  теперь $$(QL)\left | \right |(SO)$$,тогда  $$(QL)\perp (ABC)$$, $$\Delta DQL\sim \Delta DSO\Rightarrow$$ $$\frac{\left | QL \right |}{\left | SO \right |}=\frac{\left | DQ \right |}{\left | SD \right |}$$

     3) Из $$\Delta DSO$$  по теореме Пифагора : $$\left | SO \right |=\sqrt{\left | DS \right |^{2}-\left | DO \right |^{2}}=$$$$\sqrt{16-\frac{49}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$$, следовательно, из предыдущей пропорции получаем:

$$\left | QL \right |=\frac{\left | DQ \right |*\left | SO \right |}{\left | SD \right |}=\frac{2}{7}\sqrt{15}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$(x^{2}-8x+15)(2^{x-3}+2^{3-x}-2)\sqrt{x-1} \leq 0$$

Ответ: $${1}\cup (3; 5]$$
Скрыть

     Расположим на множители выражение в скобках : $$x^{2}-8x+15=(x-3)(x+5),$$ $$x_{1,2}=4\pm 1={3;5}$$

     Пусть $$2^{x-3}=t, t>0, 2^{3-x}=2^{-(x-3)}=\frac{1}{2^{x-3}}=\frac{1}{t}$$, тогда :

     $$(t+\frac{1}{t}-2)^{-1}=$$$$(\frac{t^{2}-2t+1}{t})=$$$$(\frac{(t-1)^{2}}{t})^{-1}=$$$$\frac{t}{(t-1)^{2}}>0$$ при $$t\neq 1$$(т.к. $$t>0$$)

     Таким образом , второй множитель в левой части неравенства при $$2^{x-3}\neq 1\Leftrightarrow$$ $$x-3\neq 0\Leftrightarrow$$ $$x\neq 3$$ всегда положителен и $$\Rightarrow$$ не влияет на знак неравенства , поэтому неравенство равносильно :

     $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}\leq 0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}=0,(1)\\(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}<0,(2)\end{matrix}\right.\\x\neq 3\end{matrix}\right.$$

     (1): $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}=0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x-3=0\\x-5=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\\x-1\geq 0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=3\\x=5\\x=1\end{matrix}\right.\\x\geq 1\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=5\\x=1\end{matrix}\right.$$

     (2): $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}<0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x-5)<0\\x-1>0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3<x<5\\x>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$3<x<5$$

     Объединяя результаты  (1) и (2) получим , что неравенство выполняется при $$x \in {1}\cup (3; 5]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.
А) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.
Б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ=АК=KD= $$4\sqrt{5}$$
Ответ: $$\sqrt{65}$$
Скрыть

а) 1) Рассмотрим треугольник  ABD: по условию $$\angle A = 90^{\circ}$$ -  тогда BD - диаметр. Тогда $$\angle BMD = \angle BND = 90^{\circ}$$ ( опираются на диаметр ). Следовательно, DM и BN - высоты треугольника BCD, тогда CZ - высота.

2) Пусть $$\angle MDB = \alpha$$, тогда $$\angle DPZ = 90 - \alpha$$ (из треугольника DPZ ) и $$\angle MPZ = 90 + \alpha$$ (как смежный). $$\angle MAB = \alpha$$ (как вписанный, опирающийся на ту же дугу, что и $$\angle MDB$$) , тогда $$\angle MPZ = 90 - \alpha$$. Но в таком случае $$\angle MPZ+\angle MPZ=180$$, следовательно, вокруг AMPZ можно описать окружность

б) 1)Из треугольника ABD: $$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=20$$, тогда BO=OD=OM=OA=10 (как радиусы)

2)Радиус окружности, описанной около AMPK и AMK - одинаковый. Пусть R - радиус окружности, описанной около AMK: $$R=\frac{MK}{2\sin MAK}$$.

3)PK параллельна AM, тогда AMPK - трапеция. $$\angle MAK + \angle AKP = 180$$ по свойству трапеции, но и $$\angle AMP + \angle AKP = 180$$ (так как вписан в окружность), тогда $$\angle MAK =\angle AMP$$, значит трапеция равнобедренная, и AK=MP, треугольники PDK и MDA подобны, причем коэффициент подобия составляет 1/2, следовательно, KD=PD, тогда $$AD=MD=8\sqrt{5}$$

4)Пусть MA=x ; $$\angle MDA= \alpha$$, тогда $$\angle MOA = 2\alpha$$. Распишем теорему косинусов для треугольников AMO и AMD:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}=10^{2}+10^{2}-2*10*10\cos 2\alpha\\ x^{2}=(8\sqrt{5})^{2}+(8\sqrt{5}^{2})-2*(8\sqrt{5})*(8\sqrt{5})\cos \alpha\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}=200-200\cos 2\alpha\\ x^{2}=640-640\cos \alpha\end{matrix}\right.$$

Тогда $$200-200\cos 2\alpha=640-640\cos \alpha \Leftrightarrow$$$$-20\cos 2\alpha +640\cos \alpha -440=0 \Leftrightarrow$$$$5\cos 2\alpha -16\cos \alpha +11=0 \Leftrightarrow$$$$5(2\cos^{2} \alpha -1) -16\cos \alpha +11=0 \Leftrightarrow$$$$5\cos^{2} \alpha -8\cos \alpha +3 =0$$. Тогда $$\cos \alpha = 1 ; \frac{6}{10}$$.

Одному равен косинус быть не может, так как уголь тогда равен 0. Следовательно, $$\cos \alpha = \frac{6}{10}$$, тогда $$AM=x=\sqrt{640-640* \frac{6}{10}}=16$$

5)Из треугольника MAK: $$\cos MAK = \frac{16^{2}+(8\sqrt{5})^{2}-(8\sqrt{5})^{2})}{2*16*8\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$. Тогда $$\sin MAK = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ по основному тригонометрическому тождеству.

6)Из треугольника MAK: $$MK=\sqrt{16^{2}+(4\sqrt{5})^{2}-2*16*4\sqrt{5}*\frac{1}{\sqrt{5}}}=\sqrt{208}$$

7)$$R=\frac{MK}{2\sin MAK}=$$$$\frac{\sqrt{208}}{2*\frac{2}{\sqrt{5}}}=\sqrt{65}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Банк планирует на один год вложить 30 % имеющихся у него средств клиентов в проект А, а остальные 70 % – в проект B. В зависимости от обстоятельств проект А может принести прибыль в размере от 32 % до 37 % годовых, а проект B – от 22 % до 27 % годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им процент по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в проекты А и B может при этом получить банк.

Ответ: 20 и 5
Скрыть

Очевидно, что наибольшую прибыль получит банк, если доход от проектов будет по процентам наибольший, а выплаты клиентам произведутся по наименьшему проекту, и наоборот, наименьшая - при меньшей доходности и максимальных выплатах. Пусть S - имеющиеся средства, тогда на проект А пойдет 0,3S, на проект Б пойдет 0,7S. Помним, что увеличение на n% суммы S можно записать, как $$S(1+\frac{n}{100})$$
max: $$0,3S*1,37+0,7S*1,27-S*1,1=0,2S$$. То есть наибольшая прибыль составит 20%
min: $$0,3S*1,32+0,7S*1,22-S*1,2=0,05S$$. То есть наименьшая прибыль составит 5%

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $$(|2x+1-a|+|2x+1+a|-2a)(|x^{2}-2x+a|+|x^{2}-2x-a|-2a)=0 $$имеет ровно четыре целых решения

Ответ: $$a \in [1 ; 3)$$
Скрыть

Рассмотрим каждую скобку по отдельности. Так как произведение равно нулю, когда один из множителей равно нулю, то итоговым решением будет совокупность решений каждой скобки:

Пусть : $$|2x+1-a|+|2x+1+a|-2a=0 (A)$$ или $$|x^{2}-2x+a|+|x^{2}-2x-a|-2a=0 (B)$$

A) Раскроем модули. Модули равны 0, если $$2x+1=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:

1)Если $$2x+1 < -a \Leftrightarrow$$$$a < -2x -1$$. Тогда : $$-2x-1+a-2x-1-a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=-2x-1$$. Но данное уравнение не имеет решения в силу строгости условия раскрытия модуля
2)Если $$-a \leq 2x+1 \leq a \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a \geq -2x-1\\a\geq 2x+1 \end{matrix}\right.$$. Тогда $$-2x-1+a+2x+1+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$0=0$$. Получили верное числовое равенство, следовательно решением будет любая точка, удовлетворяющая условию раскрытия модуля. Найдем область этих точек. Для этого строится график каждой функции поочередно, он разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Берется любая точка из любой полуплоскости и проверяется на выполнение неравенства, если оно выполняется, то полуплоскость является решением, если нет - то решением является другая полуплоскость. Рассмотрим на примере $$a \geq -2x-1$$. Начертим график функции $$a =-2x-1$$. Возьмем точку, не принадлежащую графики, например (0;0) и проверим выполнение неравенства:$$0 \geq -2*0 - 1 \Leftrightarrow$$$$0\geq -1$$ - неравенство верное, следовательно, полуплоскость, где лежит эта точка является решением ( на рисунке бежевым ). Для второго неравенства решение черным. Решением же системы является пересечение областей (темно-бежевый)
3)Если $$a > 2x+1$$. Тогда: $$2x+1-a+2x+1+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=2x+1$$. Данное уравнение не имеет решений в силу строгости условия раскрытия модуля.
 
Б)Раскроем модули. Модули равны 0, если $$x^{2}-2x=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:
 
1)Если $$x^{2}-2x < -a \Leftrightarrow$$$$a < x^{2}-2x$$. Тогда : $$-x^{2}+2x-a-x^{2}+2x+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=-x^{2}+2x$$. Но данное уравнение не имеет решения в силу строгости условия раскрытия модуля
2)Если $$-a \leq x^{2}-2x \leq a \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a \geq -x^{2}+2x\\ a\geq x^{2}-2x \end{matrix}\right.$$. Тогда $$x^{2}-2x+a-x^{2}+2x+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$0=0$$. Получили верное числовое равенство, следовательно решением будет любая точка, удовлетворяющая условию раскрытия модуля. Найдем область этих точек. Для первого неравенства область чертного цвета, для второго - бежевого, для системы же - темно-бежевый
3)Если $$a > x^{2}-2x$$. Тогда: $$x^{2}-2x+a+x^{2}-2x-a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=x^{2}-2x$$. Данное уравнение не имеет решений в силу строгости условия раскрытия модуля.

Итоговой областью решения будет множество точек объединения получившихся промежутков (фиолетовая область):

Наим необходимо, чтобы было ровно 4 целых значения х. Построим прямую $$a=0,5$$ Как видим, целых абсцисс, попавших в пересечение прямой и области решения всего 2 ( 0 и 2). Построим прямую $$a=1$$. Как видим, целых абсцисс получаем 4 (-1 ; 0 ; 1 ; 2). Построим прямую $$a=3$$, там уже будет 6 целых абсцисс (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3). Следовательно, решением будет $$a \in [1 ; 3)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n
А) Существует ли такое трехзначное число n , что K(n)=171 ?
Б) Существует ли такое трехзначное число n , что K(n)=172
В) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n)-n, если n ‐ трехзначное число?
Ответ: да ; нет ; -582
Скрыть

Пусть число n записывается как abc, тогда n=100a+10b+c
a)Разложим 171 на множители : 171 = 3*3*19. Так как K(n) сумма квадратов, и у нас присутствует два множителя 3, то исходные цифры все кратны 3 (а их квадраты кратны 9). Тогда это цифры: 3 , 6 или 9. Возьмем две 9: $$9^{2}+9^{2}=162$$. Тогда на квадрат третьего остается $$171-162=9$$, что является число $$3^{2}$$, тогда условие данного пункта удовлетворяет комбинация двух 9 и одной 3, например, 993. Следовательно, ответом будет "да"
б)Разложим 172 на множители : 171 = 2*2*43. Так как K(n) сумма квадратов, и у нас присутствует два множителя 2, то исходные цифры все кратны 2 (а их квадраты кратны 4). Тогда это цифры: 2, 4, 6 или 8. Рассмотрим возможные случаи:
Возьмем две 8: $$8^{2}+8^{2}=128$$. Тогда на квадрат третьего остается $$172-128=44$$. Цифры, которая в квадрате даст 44 нет, следовательно, такая комбинация не подходит.
Возьмем 8 и 6: $$8^{2}+6^{2}=100$$. Тогда на квадрат третьего остается $$172-100=72$$. Цифры, которая в квадрате даст 72 нет, следовательно, такая комбинация не подходит.
Возьмем 8 и 4: $$8^{2}+4^{2}=80$$. Тогда на квадрат третьего остается $$172-80=92$$. Цифры, которая в квадрате даст 92 нет, следовательно, такая комбинация не подходит. Дальше с 8 нет смысла рассматривать , так как наибольшее возможное значение квадрата цифры составляет 81 ($$9^{2}$$) , а у нас уже получилось 92
Возьмем две 6: $$6^{2}+6^{2}=72$$. Тогда на квадрат третьего остается $$172-72=100$$. Цифры, которая в квадрате даст 72 нет, следовательно, такая комбинация не подходит. Далее смысла рассматривать нет, так как на квадрат третьей цифры будет получаться всегда число большее, чем 81. Следовательно, ответ на пункт б) нет
в) Распишем данное равенство через представление числа n:
$$4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-100a-10b-c \Rightarrow min$$. Выделим полные квадраты из данного выражения: $$4a^{2}-100a+625-625+4b^{2}-10b+6,25-6,25+4c^{2}-c=$$$$(2a-25)^{2}+(2b-2,5)^{2}+4c^{2}-c$$. Рассмотрим по отдельности части данного выражения (не забываем, что наибольшее значение a,b и с составляет 9):
$$(2a-25)^{2}$$ принимает наименьшее значение, когда равно 0, но тогда $$a=12,5$$, что не возможно, тогда необходимо взять наибольшее значение a=9.
$$(2b-2,5)^{2}$$ принимает наименьшее значение, когда равно 0, то есть при $$b=1,25$$. Так как b цифра, то ближайшее значение b=1.
$$4c^{2}-c$$ принимает наименьшее значение, когда равно 0, то есть $$c=0 ; \frac{1}{4}$$ .Цифрой будет 0. Следовательно, само число 910. Найдем значение выражения:
$$4(9^{2}+1^{2}+0)-910=-582$$