223 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Решаем ЕГЭ 223 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №223 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 223 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №223 (alexlarin.com)
Задание 2
При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.
Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадёт с 1,4 до 1 В.
Задание 3
На клетчатой бумаге изображён угол BOA. Найдите его величину. Ответ выразите в градусах.
$$OB=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$$
$$BA=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$$
$$OA=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}$$
$$\cos BOA=\frac{OB^{2}+OA^{2}-AB^{2}}{2\cdot OB\cdot OA}=\frac{10+20-10}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}}=\frac{20}{2\cdot10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\angle BOA=45^{\circ}$$
Задание 4
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и замечательная, причем погода держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такая же, как сегодня. Сегодня 3 июля, и погода в Волшебной стране замечательная. Найдите вероятность того, что 5 июля погода в Волшебной стране также будет замечательная.
Пусть замечатльная З, хорошая - х, тогда,если третьего июля погода З, а пятого июля тоже З, есть 2 варианта:
$$3\rightarrow3\rightarrow3(1)$$ и $$3\rightarrow x\rightarrow3(2)$$
$$P_{1}=0,8\cdot0,8=0,64$$ (т.к. 2 раза не менялась)
$$P_{2}=0,2\cdot0,2=0,04$$ (т.к. 2 раза менялась)
$$P=P_{1}+P_{2}=0,64+0,04=0,68$$
Задание 5
Решите уравнение $$8\cdot16^{x}-6\cdot4^{4}+1=0$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
$$8\cdot16^{x}-6\cdot4^{4}+1=0$$
Пусть $$4^{x}=y>0$$
$$8y^{2}-6y+1=0$$
$$D=36-32=4$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{6+2}{16}=\frac{1}{2}\\y_{2}=\frac{6-2}{16}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}4^{x}=\frac{1}{2}\\4^{x}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}4^{x}=4^{-\frac{1}{2}}\\4^{x}=4^{-1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{1}{2}\\x=-1\end{matrix}\right.$$
Задание 6
На рисунке изображено колесо c семью спицами. Сколько спиц будет в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен $$20^{\circ}$$?
Количество спиц равно количеству углов, вся окружность $$360^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
$$n=\frac{360}{20}=18$$ - количество углов
Задание 7
Прямая $$y=-4x+15$$ является касательной к графику функции $$y=x^{3}-6x^{2}+8x+7$$. Найдите абсциссу точки касания
$$\left\{\begin{matrix}-4x+15=x^{3}-6x^{2}+8x+7(1)\\(-4x+15)'=(x^{3}-6x^{2}+8x+7)'(2)\end{matrix}\right.$$
2) $$-4=3x^{2}-12x+8$$
$$3x^{2}-12x+12=0$$
$$x^{2}-4x+x=0$$
$$(x-2)^{2}=0$$
$$x=2$$
Задание 8
В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, стороны оснований которой равны 2, боковые ребра равны 1, проведите сечение через вершины $$C,F,D_{1},E_{1}$$. Найдите его площадь.
1) Пусть М - середина $$E_{1}D_{1}$$, N - середина ED, О - центр основания, тогда: $$NO\perp FC$$ $$\Rightarrow MO\perp FC$$
2) Сечение $$FE_{1}D_{1}C$$ - трапеция, MO - высота; $$MO=\sqrt{ON^{2}+NM^{2}}$$; $$ON=OE\cdot\sin60^{\circ}$$ (из $$\bigtriangleup ENO$$); $$OE=ED$$; $$FC=2AB$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$; $$FC=2\cdot2=4$$; $$OM=\sqrt{3+1}=2$$; $$S_{FE_{1}D_{1}C}=\frac{2+4}{2}\cdot2=6$$
Задание 9
Найдите значение выражения: $$3p(x-4)-p(3x)$$, если $$p(x)=4x+2$$
$$p(x-4)=4(x-4)+2=4x-16+2=4x-14$$; $$p(3x)=4(3x)+2=12x+2$$; $$3p(x-4)-p(3x)=$$ $$3(4x-14)-12x-2=$$ $$12x-42-12x-2=-44$$
Задание 10
Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^{2}}{2}$$, где t – время в минутах, $$\omega=45^{\circ}$$/мин – начальная угловая скорость вращения катушки, а $$\beta=6^{\circ}$$/мин2 - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $$\varphi$$ достигнет $$4050^{\circ}$$ . Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.
$$4050=45t+\frac{6t^{2}}{2}$$
$$3t^{2}+45t-4050=0$$
$$t^{2}+15t-1350=0$$
$$D=225+5400=5625=75^{5}$$
$$t_{1}=\frac{-15+75}{2}=30$$
$$t_{2}=\frac{-15-75}{2}=-45$$
Задание 11
Петя сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
Пусть $$S=1$$ - длина эскалатора; $$x$$ - скорость Пети в ступеньках, $$y$$ - скорость эскалатора
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=30\\\frac{1}{x-y}=70\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=\frac{1}{30}\\x-y=\frac{1}{70}\end{matrix}\right.$$
Сложим уравнения: $$2x=\frac{1}{30}+\frac{1}{70}=\frac{10}{210}=\frac{1}{21}$$; $$x=\frac{1}{42}$$
Тогда насчитал бы: $$\frac{1}{\frac{1}{42}}=42$$
Задание 12
Найдите наибольшее значение функции $$y=(7-x)\sqrt{x+5}$$ на отрезке $$[-4;4]$$
$$y'=(7-x)'\sqrt{x+5}+(7-x)(\sqrt{x+5})'=$$ $$-\sqrt{x+5}+\frac{7-x}{2\sqrt{x+5}}=0$$; $$\frac{7-x-2(x+5)}{2\sqrt{x+5}}=0$$; $$7-x-2x-10=0$$; $$-3x-3=0$$; $$x=-1$$; $$y(-1)=(7-(-1))\sqrt{-1+5}=8\cdot2=16$$
Задание 13
а) Решите уравнение: $$\cos(x+\frac{\pi}{3})+\sin(x+\frac{\pi}{6})-\cos2x=1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$$
a) $$\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}+\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}-\cos2x=1$$; $$\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x -2\cos^{2}x+1-1=0$$; $$\cos x-2\cos^{2}x=0$$; $$\cos x(1-2\cos x)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\cos x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$; $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$
б) Все 4 корня попадают $$-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}$$;$$\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}$$
Задание 14
На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки М и N так, что ВМ=MD и CN:ND=2:3. Через вершину А основания пирамиды и точки М и N проведена плоскость $$\alpha$$ , пересекающая медианы боковых граней в точках К, R и Т.
1) $$AM$$ и $$DR_{1}$$ - медианы $$\Rightarrow$$ $$\frac{AR}{RM}=\frac{2}{1}$$
2) $$\bigtriangleup DAC$$: по т. Менелая $$\frac{CT_{1}}{T_{1}A}\cdot\frac{AT}{TN}\cdot\frac{DN}{DC}=1$$; $$\frac{1}{1}\cdot\frac{AT}{TN}\cdot\frac{3}{5}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AT}{TN}=\frac{5}{3}$$
3) $$\bigtriangleup CDB$$: построим $$MK_{1}$$; т.к. $$DM=MB$$; $$CK_{1}=K_{1}B$$ $$\Rightarrow$$ $$MK_{1}$$ - средняя линия; $$MK_{1}=\frac{1}{2}CD=2,5x$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NDK\sim\bigtriangleup KK_{1}M$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ND}{mk_{1}}=\frac{NK}{KM}=\frac{3x}{2,5x}=\frac{6}{5}$$
Рассмотрим $$\bigtriangleup NMA$$: пусть $$S_{NMA}=S$$, тогда $$S_{ATR}=\frac{AT}{AN}\cdot\frac{AR}{AM}\cdot S=$$ $$\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{3}S=\frac{5}{12}S$$; $$S_{NTK}=\frac{NT}{NA}\cdot\frac{NK}{NM}S=$$ $$\frac{3}{8}\cdot\frac{6}{11}S=\frac{9}{44}S$$; $$S_{KMR}=\frac{KM}{MN}\cdot\frac{MR}{MA}S=$$ $$\frac{5}{11}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{5}{33}S$$; $$S_{TKR}=S-S_{ATR}-S_{NTK}-S_{KMR}=$$ $$S-\frac{5}{12}S-\frac{9}{44}S-\frac{5}{33}S=$$ $$\frac{132S-55S-27S-20S}{4\cdot3\cdot11}=\frac{5S}{22}$$
ч.т.д.
б) $$\frac{V_{KRTC}}{V_{ABCD}}=?$$; $$V_{KRTC}=(V_{ABCD}-V_{DAMN}-V_{ABCM})\cdot\frac{S_{KTR}}{S_{NMA}}$$
1) Пусть $$V_{ABCD}=V$$; $$V_{DAMN}=\frac{DN}{DC}\cdot\frac{DM}{DB}\cdot\frac{DA}{DA}\cdot V=$$ $$\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{3}{10}V$$; $$V_{ABCM}=\frac{MB}{DB}V=\frac{1}{2}V$$; $$V_{KRTC}=(V-\frac{3}{10}V-\frac{1}{2}V)\cdot\frac{2}{22}=$$ $$\frac{2V}{10}\cdot\frac{5}{22}=\frac{V}{22}$$; $$\frac{V_{KRTC}}{V_{ABCD}}=\frac{\frac{V}{22}}{V}=\frac{1}{22}$$
Задание 15
Решите неравенство: $$\frac{\log_{8}x}{\log_{2}(1+2x)}\leq\frac{\log_{2}\sqrt[3]{1+2x}}{\log_{2}x}$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\1+2x>0\\x\neq1\\1+2x\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x>-0,5\\x\neq1\\x\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(0;1)\cup(1;+\infty)$$; $$\frac{\frac{1}{3}\log_{2}x}{\log_{2}(1+2x)}\leq\frac{\frac{1}{3}\log_{2}(1+2x)}{\log_{2}x}$$; $$\log_{1+2x}x\leq\log_{x}(1+2x)$$;
Пусть $$\log_{1+2x}x=y$$; $$y\leq\frac{1}{y}$$; $$\frac{y^{2}-1}{y}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)(y+1)}{y}\leq0$$
$$\left\{\begin{matrix}y\leq-1\\\left\{\begin{matrix}y>0\\y\leq1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{1+2x}x\leq-1(1)\\\left\{\begin{matrix}\log_{1+2x}x>0(2)\\\log_{1+2x}x\leq1(3)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
1) $$\log_{1+2x}x\leq\log_{1+2x}\frac{1}{1+2x}$$; $$(x-\frac{1}{1+2x})(1+2x-1)\leq0$$; $$\frac{x+2x^{2}-1}{1+2x}\cdot2x\leq0$$; $$\frac{2x(x-0,5)(x+1)}{1+2x}\leq0$$
$$x\in[-1;-0,5)\cup[0;0,5]$$
2) $$\log_{1+2x}x>0$$; $$(x-1)(1+2x-1)>0$$; $$(x-1)\cdot2x>0$$
$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$
3) $$\log_{1+2x}x\leq1$$; $$\log_{1+2x}x\leq\log_{1+2x}(1+2x)$$; $$(x-1-2x)(1+2x)\leq0$$; $$(-x-1)(2x+1)\leq0$$
$$x\in(-\infty;-1]\cup[-0,5;+\infty)$$
Найдем пересечение 2 и 3 и объединим результаты с 1: $$x\in(-\infty;0,5]\cup(1;+\infty;)$$
Ответ с учетом ОДЗ: $$x\in(0;0,5]\cup(1;+\infty;)$$
Задание 16
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АO перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD.
а) 1) $$\bigtriangleup ABO=\bigtriangleup OCD$$ оба прямоугольные и равнобедренные $$\Rightarrow$$ $$\angle OAB=\angle OBA=$$ $$\angle ODC=\angle OCD=45^{\circ}$$
2) Пусть $$\angle ODA=\angle OAD=\alpha$$, $$\angle OBC=\angle OCB=\beta$$, тогда по свойству вписанного четырехугольника: $$\angle ADC+\angle ABC=180^{\circ}$$; $$\angle\alpha\neq45^{\circ}+\angle\beta+45=180^{\circ}$$; $$\angle\alpha+\angle\beta=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle\beta=90-\angle\alpha(1)$$
3) $$\angle ADC+\angle BCD=\angle\alpha+45+45+\angle\beta=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$AD\parallel BC$$ (сумма односторонних $$180^{\circ}$$)
б) 1) $$BC=\frac{1}{2}AD$$; $$CH=9$$ Построим $$MN\parallel CH$$, пусть $$MO=x$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=9-x$$
2) $$\bigtriangleup ANO$$ - прямоугольный, $$\angle OAN=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AON=90-\alpha=\beta$$; $$\bigtriangleup BOM$$ - прямоугольный, $$\angle OBM=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOM=90-\beta=\alpha$$; $$OB=OA$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ANO=\bigtriangleup BOM$$; $$ON=BM$$; $$AN=OM$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AOD}=S_{BOC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}BC\cdot OM=\frac{1}{2}AD\cdot ON$$ $$\Rightarrow$$ $$BC\cdot x=2BC(9-x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=18-2x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=6$$
3) $$OM=6$$; $$ON=3$$ $$\Rightarrow$$ $$AN=6$$ и из $$\bigtriangleup AON$$: $$AO=\sqrt{AN^{2}+ON^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$$
4) $$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OB=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{45}\cdot\sqrt{45}=22,5$$
Задание 17
Предприятие производит холодильники и является прибыльным. Известно, что при изготовлении $$n$$ холодильников в месяц расходы на выпуск одного холодильника составляют не менее $$\frac{48000}{n}+240-|80-\frac{48000}{n}|$$ тыс. руб., а цена реализации каждого холодильника при этом не превосходит $$480-\frac{n}{5}$$ тыс.руб. Определить ежемесячный объем производства, при котором может быть получена наибольшая при данных условиях ежемесячная прибыль.
$$\frac{48000}{n}+240-|80-\frac{48000}{n}|$$ - расход; $$480-\frac{n}{5}$$ - доход;
a) Если $$80-\frac{48000}{n}\geq0$$ (1), то прибыль с одного холодильника: $$S=480-\frac{n}{5}-\frac{48000}{n}-240+80-\frac{48000}{n}=$$ $$320-\frac{96000}{n}-\frac{n}{5}=$$ $$\frac{-n^{2}+1600n-480000}{5n}$$ (2)
Общая прибыль при этом: $$S_{n}=480-\frac{n}{5}-\frac{48000}{n}-240+80-\frac{48000}{n}\cdot n=\frac{-n^{2}+1600n-480000}{5}$$
В данном случае представлена квадратичная функция, наибольшее значение которой при $$n=\frac{-1600}{-2}=800$$ $$S_{n}(800)=\frac{-640000+1280000-480000}{5}=32000$$
б) Если $$80-\frac{4800}{n}<0$$ $$\Rightarrow$$ $$n\in(0;600)$$, то прибыль с одного: $$S=480-\frac{n}{5}-\frac{48000}{n}-240-80+\frac{48000}{n}=$$ $$160-\frac{n}{5}=\frac{800-n}{5}$$
Общая прибыль: $$S_{n}=\frac{800-n}{5}\cdot n=\frac{800n-n^{2}}{5}$$
Снова квадратичная убывающая функция, наибольшее значение которой при $$n=\frac{-800}{-2}=400$$; $$S_{n}=\frac{800\cdot400-400^{2}}{5}=32000$$
Как видим, одинаковая максимальная прибыль при 800 и 400 единицах товара