Перейти к основному содержанию

ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 212.



Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 212. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 212 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 212. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 212 (alexlarin.com)

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Света отправила SMS‐сообщения с новогодними поздравлениями своим 19 друзьям. Стоимость одного SMS‐сообщения 1 рубль 90 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Светы было 37 рублей. Сколько рублей останется у Светы после отправки всех сообщений?

Ответ: 0,9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$37-19\cdot1,9=37-36,1=0,9$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,
выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, какого числа за данный период впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге изображён круг площадью 60. Найдите площадь заштрихованного сектора.

Ответ: 52,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{sek}=\frac{S_{kr}\cdot\alpha}{360}=\frac{60\cdot315}{360}=52,5$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,0588
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$0,96\cdot0,02=0,0192$$ - брак исправной $$0,04\cdot0,99=0,0396$$ - брак неисправной $$0,0192+0,0396=0,0588$$ - брак случайной

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

В треугольнике ABC угол В равен 68°, угол А равен 59°. AD, BE и CF – биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол ВOF. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\angle C=180-\angle A-\angle B=180-59-68=53$$ $$\angle FCB=0,5\cdot\angle C=0,5\cdot53=26,5$$ $$\angle OBF=0,5\cdot\angle B=0,5\cdot68=34$$ $$\angle CFB=180-\angle FCB-\angle B=180-26,5-68=85,5$$ $$\angle FOB=180-\angle CFB-\angle FBO=180-85,5-34=60,5$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Функция у = f (x) определена на отрезке [-2; 4]. На рисунке приведен график ее производной. Укажите абсциссу точки графика функции у = f (x), в которой она принимает наименьшее значение.

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная $$>0$$ $$\Rightarrow$$ f всегда возрастает $$\Rightarrow$$ в начале промежутка

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Площадь боковой поверхности конуса равна 60. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Ответ: 45
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Sверхнего=$$\frac{S}{4}=\frac{60}{4}=15$$ (т.к. $$k=\frac{1}{2}$$; $$\frac{S_{1}}{S_{2}}=k^{2}$$)

$$60-15=45$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите значение выражения $$\lg(\lg\sqrt[10]{10})$$

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\lg(\lg\sqrt[10]{10})=\lg\frac{1}{10}\cdot\lg 10=\lg\frac{1}{10}=-1$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Скорость автомобиля υ, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением а км/ч2, вычисляется по формуле $$u^{2}=2la$$. Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 900 метров от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 2000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$u=\sqrt{2la}=\sqrt{2\cdot0,9\cdot2000}=60$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Ответ: 50
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - масса 1го сплава,

250-х - масса 2го

0,1х - никель в 1ом

0,35(250-х) - ниель во 2ом

$$0,1x+0,35(250-x)=250\cdot 0,25$$

$$0,1x+87,5-0,35x=62,5$$

$$-0,25x=-25$$

$$x=100$$ - масса первого

$$250-100=150$$ - масса второго

$$150-100=50$$ - разница

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите точку максимума функции: $$y=(x^{2}-15x+15)\cdot e^{x+3}$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=(2x-15)\cdot\exp^{x+3}+(x^{2}-15x+15)\cdot\exp^{x+3}=\exp^{x+3}(x^{2}-13x)=0$$ $$x=0$$ $$x=13$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Дано уравнение $$\frac{1+2\sin^2 x-\sqrt{3}\sin 2x}{2\sin x-1}=0$$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$.
Ответ: а) $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n,n\in Z$$; б) $$\frac{7\pi}{6}$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной пирамиде $$PABCD$$ на ребрах $$AB$$ и $$PD$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$ соответственно, причем $$AM:BM=1:3$$, $$DK:PK=4:3$$.

а) Докажите, что прямая $$BP$$ параллельна плоскости $$MCK$$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$MCK$$, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.
Ответ: $$\frac{57\sqrt{11}}{28}$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$\frac{83-17\cdot 2^{x+1}}{4^x-2^{x+2}+3}\leq 4^x+3\cdot 2^{x+1}+17$$.

Ответ: $$[0;1,5)\cup(\log_23;+\infty)$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ – середина $$AC$$.

а) Докажите, что длина отрезка $$BM$$ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон $$AB$$ и $$BC$$.
б) Окружность проходит через точки $$B, C, M$$. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой $$AB$$, если известно, что $$AB=5,BC=3,BM=2$$.
Ответ: 0,2.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

1 ноября 2017 года Николай открыл в банке счёт «Управляй», вложив S тысяч рублей (S – целое число) сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 октября каждого последующего года.

1 ноября 2019 года и 1 ноября 2020 года Николай планирует снять со счёта 100 тысяч и 50 тысяч рублей соответственно.
1 ноября 2021 года Николай собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.

Найдите наименьшее значение S, при котором доход Николая от вложений в банк за эти 4 года окажется более 70 тысяч рублей.

Ответ: 207 тысяч рублей.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} x^2+xy-4x-2y+4=0,\\ ax^2-y=4; \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения?

Ответ: $$-\frac{1}{24};0;1$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Даны $$n$$ ($$ n\geq 3$$ ) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.

а) Может ли сумма всех данных чисел равняться 22?
б) Может ли сумма всех данных чисел равняться 23?
в) Найдите все возможные значения $$n$$, если сумма всех данных чисел равна 48.
Ответ: а) да; б) нет; в) 3;4;6.
Скрыть

а) Согласно условию $$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=22$$.

Или $$(a_1+a_n)\cdot n=4\cdot 11$$. Пусть $$n=4$$, тогда $$ a_1+a_4=11$$.

Сумма чисел арифметической прогрессии $$1;4;7;10$$ равна $$22$$.

б) Допустим, сумма всех данных чисел равна $$23$$. Тогда $$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=23$$. Или $$(a_1+a_n)\cdot n=2\cdot 23$$.

Так как 23 – простое число и по условию $$n\geq 3$$, то последнее равенство могло бы выполняться при $$n=23$$. Но тогда $$a_1+a_{23}=2$$, что невозможно.

в) Имеем $$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=48$$; $$(a_1+a_n)\cdot n=2^5\cdot 3$$.

Заметим, что $$a_1+a_2+...+a_n\geq 1+2+...+n=\frac{(n+1)n}{2}$$. Поэтому $$n^2+n\leq 96$$, откуда $$n\leq 9$$.

Тогда возможны лишь следующие варианты среди прочих: $$\left\{\begin{matrix} n=3,\\ a_1+a_3=32;\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix} n=4,\\ a_1+a_3=24;\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix} n=6,\\ a_1+a_3=16;\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix} n=8,\\ a_1+a_3=12;\end{matrix}\right.$$

В первом случае, когда $$n=3$$ и $$a_1+a_3=32$$, на роль арифметической прогрессии, сумма которой $$48$$, подходит ряд чисел $$14;16;18$$.

Во втором случае, когда $$n=4$$ и $$a_1+a_4=24$$, на роль арифметической прогрессии, сумма которой $$48$$, подходит ряд чисел $$3;9;15;21$$.

В третьем случае, когда $$n=6$$ и $$a_1+a_6=16$$, на роль арифметической прогрессии, сумма которой $$48$$, подходит ряд чисел $$3;5;7;9;11;13$$.

В четвертом случае, когда $$n=8$$ и $$a_1+a_8=12$$, подобрать подходящие числа $$a_1,a_2,...,a_8$$ нам не удастся.

Действительно, $$\frac{2a_1+7d}{2}\cdot 8=48$$ ($$d$$ – разность прогрессии), откуда $$2a_1+7d=12$$, что означает, что $$7d$$ кратно $$2$$, то есть $$d=2m,m\in N$$. Это бы означало, что $$a_1+7m=7$$, что невозможно для натуральных чисел $$a_1,m$$.

Итак, всевозможные значения $$n$$ при заданных условиях – это $$3;4;6$$.