358 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.
Больше разборов на моем ютуб-канале
Задание 1
$$\frac{\pi x}{2}-\frac{27\pi}{16}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$\frac{x}{2}-\frac{27}{16}=\frac{1}{2}+n$$
$$x=\frac{35}{8}+2n$$
$$n=-3$$
$$x=4\frac{3}{8}-6=-1,625$$
Задание 2
Вероятность $$P$$ события $$A$$ равна:
$$P(A)=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ - числа благоприятных исходов, а $$n$$ - число всех равновозможных исходов испытания
ООО ООР ОРО ОРР
РРР РРО РОР РОО
$$m=4, n=8$$
$$P=\frac{4}{8}=0,5$$
Задание 3
Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Диагонали трапеции пересекаются и образуют два подобных треугольника, опирающихся на основания трапеции; в случае равнобедренной трапеции эти треугольники тоже равнобедренные и (по условию) прямоугольные (т.к. углы при основании по 45°); следовательно, диагонали данной трапеции перпендикулярны.
Площадь четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей (это верно не только для ромба)
$$S=3\cdot\sqrt{2}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=9$$
Задание 4
$$5\sin^2 t+5\cos^2 t+3\cos^2 t=6$$
$$3\cos^2 t=1$$
$$\cos^2 t=\frac{1}{3}$$
$$\frac{1}{\cos^2 t}=3$$
$$1+\tg^2 t=3$$
$$\tg^2 t=2$$
$$\tg^6 t=8$$
Задание 5
$$T_{\cos}: x^2=(3\sqrt{3})^2+11^2-2\cdot3\sqrt{3}\cdot11\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x^2=49$$
$$x=7$$
$$11^2>(3\sqrt{3})^2+7^2<A>90^{\circ}$$
$$\Delta ABC$$ - тупоугольный.
Данная пирамида - "особая". Её все боковые рёбра равны между собой $$\Rightarrow$$ её вершина S проецируется в центр окружности, описанной около её основания. Радиус основания $$R$$.
$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{осн}}$$
$$S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{3}\cdot11\cdot\sin30^{\circ}=\frac{33\sqrt{3}}{4}$$
$$OC=R=\frac{3\sqrt{3}\cdot7\cdot11}{33\sqrt{3}}=7$$
$$SO=\sqrt{8^2-7^2}=\sqrt{15}$$
$$V_{пир}=\frac{1}{3}\cdot\frac{33\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{15}=\frac{11\sqrt{3}\cdot\sqrt{15}}{4}=\frac{11\sqrt{45}}{4}$$
$$\frac{11\sqrt{45}\cdot\sqrt{5}}{4}=41,25$$
Задание 6
При $$x=-2;-1;0$$ и $$1$$: $$f'(x)\geq0$$ на всём $$D(x)$$.
Тогда функция всегда возрастает $$\Rightarrow$$ наименьшее при $$x=-2$$.
Задание 7
Задание 8
Расстояние между пристанями А и В равно: $$S = 126$$ км
Скорость течения реки равна: $$V_р = 2$$ км/час
Расстояние, которое проплыл плот: $$S_п = 34$$ км
Скорость яхты в неподвижной воде: $$V_я$$ км/час
Яхта отправилась в путь через время после плота: $$Т_о = 1$$ час
Так как скорость плота равна скорости течения реки: $$V_п = V_р$$ км/час,
то время плавания плота: $$Т_п =\frac{S_п}{V_р} = \frac{34}{2} = 17$$ час
Время плавания яхты:
$$Т_я = Т_п - Т_о = 17 - 1 = 16$$ час;
Рассчитаем время $$Т_я$$:
$$Т_я = \frac{S}{V_я + V_р} + \frac{S}{V_я - V_р} = S\cdot\frac{2\cdot V_я}{V_я^2-4} = 16$$
$$252\cdot V_я = 16\cdot V_я - 64$$
$$4\cdot V_я^2 - 63\cdot V_я - 16 = 0$$
$$V_{я1,2} = \frac{63\pm\sqrt{63^2 + 4\cdot4\cdot16}}{4\cdot2}=\frac{63\pm65}{8}$$
Отрицательный корень не имеет смысла
$$V_я = \frac{63 + 65}{8} = 16$$ км/час
Задание 9
График проходит через (-3;-5), (-4;-5) и (-1;1).
$$\left\{\begin{matrix} -5=(-3)^2a-3b+c\\ -5=(-4)^2a-4b+c\\ 1=(-1)^2a-b+c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 0=-7a+b\\ -6=15a-3b\\ c=1-a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=7a\\ -6=15a-21a\\ c=1-a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=7\\ a=1\\ c=7 \end{matrix}\right.$$
Задание 11
Найдем критические точки функции:
$$y(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3$$
$$y'(x) = 3x^2 + 4x + 1$$
$$3x^2 + 4x + 1 = 0$$
$$\frac{D}{4} = 2^2 - 3 = 1$$
$$x = \frac{-2\pm\sqrt{1}}{3} = \frac{-2\pm1}{3}$$
$$x_1 = \frac{-2 - 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$$
$$x_2 = \frac{-2 + 1}{3} = \frac{-1}{3}$$
Значения функции в точках $$-3, -1$$ и $$-0,5$$:
$$y(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3$$
$$y(-3) = (-3)^3 + 2\cdot(-3)^2 + (-3) + 3 = -27 + 18 = -9$$
$$y(-1) = (-1)^3 + 2\cdot(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3$$
$$y(-0,5) = (-0,5)^3 + 2\cdot(-0,5)^2 + (-0,5) + 3 = -0,125 + 0,5 - 0,5 + 3 = 2,875$$
Задание 12
$$\cos\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=4\sin^2(\pi+x)\cos^2(\pi-x)-\sin\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}$$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;3\pi]$$