Перейти к основному содержанию

358 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 358 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №358 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$\cos(\frac{\pi x}{2}-\frac{27\pi}{16})=0$$

В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения
Ответ: -1,625
Скрыть

$$\frac{\pi x}{2}-\frac{27\pi}{16}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\frac{x}{2}-\frac{27}{16}=\frac{1}{2}+n$$

$$x=\frac{35}{8}+2n$$

$$n=-3$$

$$x=4\frac{3}{8}-6=-1,625$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что «орел» выпадет не менее 2 раз.
Ответ: 0,5
Скрыть

Вероятность $$P$$ события $$A$$ равна:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ - числа благоприятных исходов, а $$n$$ - число всех равновозможных исходов испытания

ООО ООР ОРО ОРР

РРР РРО РОР РОО

$$m=4, n=8$$

$$P=\frac{4}{8}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой равна $$3\sqrt{2}$$ и составляет с основанием угол $$45^{\circ}$$.
Ответ: 9
Скрыть

Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Диагонали трапеции пересекаются и образуют два подобных треугольника, опирающихся на основания трапеции; в случае равнобедренной трапеции эти треугольники тоже равнобедренные и (по условию) прямоугольные (т.к. углы при основании по 45°); следовательно, диагонали данной трапеции перпендикулярны.

Площадь четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей (это верно не только для ромба)

$$S=3\cdot\sqrt{2}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите $$\tg^6t$$, если $$5\sin^2 t+8\cos^2 t=6$$.
Ответ: 8
Скрыть

$$5\sin^2 t+5\cos^2 t+3\cos^2 t=6$$

$$3\cos^2 t=1$$

$$\cos^2 t=\frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{\cos^2 t}=3$$

$$1+\tg^2 t=3$$

$$\tg^2 t=2$$

$$\tg^6 t=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами $$3\sqrt{3}$$, $$11$$ и углом $$30^{\circ}$$ между ними. Все боковые ребра пирамиды равны $$8$$. Найдите объем пирамиды $$(V)$$. В ответе запишите $$V\sqrt{5}$$.
Ответ: 41,25
Скрыть

$$T_{\cos}: x^2=(3\sqrt{3})^2+11^2-2\cdot3\sqrt{3}\cdot11\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x^2=49$$

$$x=7$$

$$11^2>(3\sqrt{3})^2+7^2<A>90^{\circ}$$

$$\Delta ABC$$ - тупоугольный.

Данная пирамида - "особая". Её все боковые рёбра равны между собой $$\Rightarrow$$ её вершина S проецируется в центр окружности, описанной около её основания. Радиус основания $$R$$.

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{осн}}$$

$$S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{3}\cdot11\cdot\sin30^{\circ}=\frac{33\sqrt{3}}{4}$$

$$OC=R=\frac{3\sqrt{3}\cdot7\cdot11}{33\sqrt{3}}=7$$

$$SO=\sqrt{8^2-7^2}=\sqrt{15}$$

$$V_{пир}=\frac{1}{3}\cdot\frac{33\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{15}=\frac{11\sqrt{3}\cdot\sqrt{15}}{4}=\frac{11\sqrt{45}}{4}$$

$$\frac{11\sqrt{45}\cdot\sqrt{5}}{4}=41,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображён график функции $$y=f'(x)$$, где $$f'(x)$$ — производная функции $$y=f(x)$$, определённой на интервале $$(-5;6)$$. В какой из точек -2, -1, 0, 1 значение функции $$y=f(x)$$ будет наименьшим? В ответе укажите эту точку.

Ответ: -2
Скрыть

При $$x=-2;-1;0$$ и $$1$$: $$f'(x)\geq0$$ на всём $$D(x)$$.

Тогда функция всегда возрастает $$\Rightarrow$$ наименьшее при $$x=-2$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

При нормальном падении света с длиной волны $$\lambda=650$$ нм на дифракционную решётку с периодом $$d$$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $$\varphi$$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $$k$$ связаны соотношением $$d\sin\varphi=k\lambda$$. Под каким минимальным углом $$\varphi$$ (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1950 нм?
Ответ: 90
Скрыть

$$1950\cdot\sin\varphi=3\cdot650$$

$$\varphi=90^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 16
Скрыть

 Расстояние между пристанями А и В равно: $$S = 126$$ км

Скорость течения реки равна: $$V_р = 2$$ км/час

Расстояние, которое проплыл плот: $$S_п = 34$$ км

Скорость яхты в неподвижной воде: $$V_я$$ км/час

Яхта отправилась в путь через время после плота: $$Т_о = 1$$ час

Так как скорость плота равна скорости течения реки: $$V_п = V_р$$ км/час,

то время плавания плота: $$Т_п =\frac{S_п}{V_р} = \frac{34}{2} = 17$$ час

Время плавания яхты:

$$Т_я = Т_п - Т_о = 17 - 1 = 16$$ час;

Рассчитаем время $$Т_я$$:

$$Т_я = \frac{S}{V_я + V_р} + \frac{S}{V_я - V_р} = S\cdot\frac{2\cdot V_я}{V_я^2-4} = 16$$

$$252\cdot V_я = 16\cdot V_я - 64$$

$$4\cdot V_я^2 - 63\cdot V_я - 16 = 0$$

$$V_{я1,2} = \frac{63\pm\sqrt{63^2 + 4\cdot4\cdot16}}{4\cdot2}=\frac{63\pm65}{8}$$

Отрицательный корень не имеет смысла

$$V_я = \frac{63 + 65}{8} = 16$$ км/час

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображен график функции вида $$f(x)=ax^2+bx+c$$. Найдите значение $$a$$ по этому графику.

Ответ: 1
Скрыть

График проходит через (-3;-5), (-4;-5) и (-1;1).

$$\left\{\begin{matrix} -5=(-3)^2a-3b+c\\ -5=(-4)^2a-4b+c\\ 1=(-1)^2a-b+c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 0=-7a+b\\ -6=15a-3b\\ c=1-a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=7a\\ -6=15a-21a\\ c=1-a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=7\\ a=1\\ c=7 \end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Баскетболист на тренировке бросает мяч в корзину с дистанции 6 м. При каждом броске он попадает в корзину с вероятностью 0,7. Найдите математическое ожидание числа попаданий при 40 бросках.
Ответ: 28
Скрыть

Повторные испытания с двумя исходами.

$$n=40$$

$$p=0,7$$

$$M(X)=np=40\cdot0,7=28$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=x^3+2x^2+x+3$$ на отрезке $$[-13;-0,5]$$
Ответ: 3
Скрыть

Найдем критические точки функции:

$$y(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3$$

$$y'(x) = 3x^2 + 4x + 1$$

$$3x^2 + 4x + 1 = 0$$

$$\frac{D}{4} = 2^2 - 3 = 1$$

$$x = \frac{-2\pm\sqrt{1}}{3} = \frac{-2\pm1}{3}$$

$$x_1 = \frac{-2 - 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$$

$$x_2 = \frac{-2 + 1}{3} = \frac{-1}{3}$$

Значения функции в точках $$-3, -1$$ и $$-0,5$$:  

$$y(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3$$

$$y(-3) = (-3)^3 + 2\cdot(-3)^2 + (-3) + 3 = -27 + 18 = -9$$

$$y(-1) = (-1)^3 + 2\cdot(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3$$

$$y(-0,5) = (-0,5)^3 + 2\cdot(-0,5)^2 + (-0,5) + 3 = -0,125 + 0,5 - 0,5 + 3 = 2,875$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение

$$\cos\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=4\sin^2(\pi+x)\cos^2(\pi-x)-\sin\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;3\pi]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi n}{2}, n\in Z$$ Б)$$\pi;\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2};2\pi;\frac{9\pi}{4};\frac{5\pi}{2};3\pi$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ АС1 и пересекающая ребра ВВ1 и DD1 в точках F и Е соответственно.

а) Докажите, что сечение AFC1E - параллелограмм.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E - ромб и АВ = 3, ВС = 2, АА1 = 5.

Ответ: $$\sqrt{133}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство:

$$\log_2(4-x)^2+2\log_2(2x-1)\leq4\log_2 3$$

Ответ: $$(0,5;4)\cup(4;5]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

15 декабря планируется взять кредит в банке на 480 тысяч рублей на 27 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа первые два месяца и последний долг должен уменьшиться на m тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на n тысяч рублей.

Найдите отношение $$\frac{m}{n}$$, если всего было выплачено банку 656,4 тысяч рублей?

Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований AD и BC соответственно равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причем точка М расположена между точками В и N, а отрезки АМ и CN перпендикулярны диагонали BD.

a) Докажите, что BN : DM = 3 : 4.

б) Найдите длину отрезка CN, если известно, что BM : DN = 2:3.

Ответ: $$\frac{\sqrt{15}}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все положительные значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} (|x|+|y|-10)\cdot(9-|xy|)=0\\ x^2+y^2=a^2 \end{matrix}\right.$$

имеет не менее 12 решений

Ответ: $$[5\sqrt{2};\sqrt{82})\cup(\sqrt{82};10]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

В океанариуме каждой акуле дают 2,5 кг рыбы, мурене - 0,2 кг, скату - 1,5 кг ежедневно. Известно, что в среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены - 21, у каждого ската - 150. Все эти животные есть в океанариуме.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы?

б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было больше 2000 посещений?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет между ними 7 кг рыбы?

Ответ: А) 665, Б) нет, В) 725