Перейти к основному содержанию

231 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 231 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №231 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 231 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №231 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Железнодорожный билет для взрослого стоит 290 рублей. Стоимость билета для  школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 16  школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?  

Ответ: 3190
Скрыть

Стоимость билета для  школьника $$0,5\cdot290$$

Общая стоимость: $$16\cdot0,5\cdot290+3\cdot290=8\cdot290+3\cdot290=11\cdot290=3190$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости в течение  каждого часа 8 декабря 2009 года. По горизонтали указывается номер часа, по  вертикали – количество посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме,  сколько часов за эти сутки аудитория посетителей сайта РИА Новости находилась в  пределах от 30 до 50 тыс.  

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1  изображён прямоугольник ABCD. Найдите радиус  окружности, описанной около этого прямоугольника.

Ответ: 2,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В 10‐х классах 51 учащийся, среди них две подруги – Марина и Настя. Для  написания ВПР по географии 10‐классников случайным образом разбивают на 3  равные группы. Найдите вероятность того, что Марина и Настя окажутся в одной  группе. 

Ответ: 0,32
Скрыть

В каждой группе: $$\frac{51}{3}=17$$

Пусть Марина уже есть в группе, тогда в ней остается 16 свободных мест, а человек на них претендует 50: $$p=\frac{16}{50}=0,32$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$8^{3+2x}=0,64\cdot10^{3+2x}$$

Ответ: -0,5
Скрыть

$$8^{3+2x}=\frac{8^{2}}{10^{2}}\cdot10^{3+2x}$$ $$|\div8^{2}$$

$$8^{1+2x}=10^{1+2x}$$

$$1+2x=0$$

$$x=-0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC  боковая сторона равна $$4\sqrt{15}$$, $$\sin\angle BAC=0,25$$. Найдите  длину высоты AH.

Ответ: 7,5
Скрыть

$$\cos BAC=\sqrt{1-\sin^{2}BAC}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot\cos BAC$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2\cdot4\sqrt{15}\cdot x\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=0$$; $$x^{2}-30x=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=30$$

из $$\bigtriangleup AHC$$: $$\frac{AH}{AC}=\sin\angle BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=AC\cdot\sin\angle BCA=30\cdot\frac{1}{4}=7,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На графике производной  функции $$y=f'(x)$$ отмечены  семь точек: х1,…, х7. Найдите все  отмеченные точки, в которых  функция f (x) убывает. В ответе  укажите количество этих точек.

 

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона  основания равна 1. Найдите боковое ребро. 

Ответ: 7
Скрыть

$$V=\frac{1}{3}S_{osn}\cdot h$$

Пусть а - сторона основания, тогда: $$S_{osn}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$$; $$h=\frac{3V}{S_{osn}}=\frac{3\cdot6}{\frac{3\sqrt{3}\cdot1}{2}}=$$ $$\frac{3\cdot4}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$; $$SE=\sqrt{CH^{2}+HE^{2}}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найти $$\cos4x$$, если $$\sin x-\cos x=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

Ответ: 0,98
Скрыть

$$\sin^{2}x-2\sin x\cos x+\cos^{2}x=\frac{9}{10}$$

$$-\sin2x=-\frac{1}{10}$$; $$\sin2x=\frac{1}{10}$$; $$\cos4x=1-2\sin^{2}2x=1-2(\frac{1}{10})^{2}=1-\frac{2}{100}=0,98$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $$v_{0}=30$$ м/с,  начал торможение с постоянным ускорением а = 4 м/с 2. За t секунд после начала  торможения он прошёл путь $$S=v_{0}t\frac{at^{2}}{2}$$ (м). Определите время, прошедшее от  момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112  метров. Ответ выразите в секундах.  

Ответ: 7
Скрыть

$$112=30t-\frac{4t^{2}}{2}$$; $$2t^{2}-30t+112=0$$; $$t^{2}-15t+56=0$$; $$\left\{\begin{matrix}t_{1}=7\\t_{2}=8\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Расстояние между городами A и B равно 550 км. Из города A в город B со  скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из  города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от  города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.  

Ответ: 250
Скрыть

Пусть х -время второго, тогда $$x+1$$ - время первого: $$50\cdot(x+1)+75x=550$$; $$125x+50=560$$; $$x=4$$; $$S=50\cdot(4+1)=250$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=18\sin x-9\sqrt{3}+1,5\sqrt{3}\pi+21$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: 30
Скрыть

$$y'=18\cos x-9\sqrt{3}-0$$; $$\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$;

$$y(\frac{\pi}{6})=18\sin\frac{\pi}{6}-9\sqrt{3}\frac{\pi}{6}+1,5\sqrt{3}\pi+21=18\cdot\frac{1}{2}+21=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Дано уравнение $$\sqrt{\sin2x}=\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt{\cos x}$$ 

А) Решите уравнение.  

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$

Ответ: a) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$$; б) $${-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}}$$
Скрыть

a) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin2x\geq0\\\cos x\geq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\pi n\leq2x\leq\pi+2\pi n\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+\pi n\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.$$

$$x\in[2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n]\cup{-\frac{\pi}{2}+2\pi n},n\in Z$$

$$\sin2x=\sqrt{2}\cos x$$; $$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$; $$\sqrt{2}\cos x(\sqrt{2}-1)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$ 

С учетом ОДЗ: $$\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$$

б) $${-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит прямоугольная  трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС < АD), в которой АВ=5, CD=4, ВС=6. Через  точку С и середину ребра $$BB_{1}$$ параллельно $$B_{1}D$$ проведена плоскость β.

А) Докажите, что плоскость β пересекает ребро $$AA_{1}$$ в такой точке Р, что $$A_{1}P=3AP$$.

Б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, основанием которой служит  сечение призмы плоскостью β, если известно, что $$BB_{1}=16$$.  

Ответ: a) $$\frac{A_{1}P}{PA}=\frac{3}{1}$$; б) $$48$$
Скрыть
a) 1) из $$\bigtriangleup LAB$$: $$LA=\sqrt{AB^{2}-BL^{2}}=3$$; $$(LB\parallel DC)$$
2) $$AL\parallel CB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LAN\sim\bigtriangleup CNB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{LA}{CB}=\frac{AN}{NB}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}=\frac{AN}{NB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AN=5$$
3) $$\bigtriangleup RBN\sim\bigtriangleup PAN$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PA}{RB}=\frac{AN}{NB}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$PA=\frac{1}{2}RB$$, но $$RB=\frac{1}{2}B_{1}B$$ $$\Rightarrow$$ $$PA=\frac{1}{4}BB_{1}=\frac{1}{4}AA_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}P=\frac{3}{4}AA_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}P}{PA}=\frac{3}{1}$$
б) 1) $$CLAB$$ - проекция $$\beta$$ на основание.
2) Введем ортогональную систему координат: центр в точке C, Ох через СВ, Оу через CD, Oz через CC1
$$C(0;0;0)$$; $$L(6;4;0;)$$; $$R(6;0;8)$$
$$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение плоскости
$$\left\{\begin{matrix}0a+0b+0c+d=0\\6a+4b+0c+d=0\\6a+0b+8c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}d=0\\6a+4b=0\\6a+8c=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}d=0\\b=-\frac{3a}{2}\\c=-\frac{3a}{4}\end{matrix}\right.$$
$$ax-\frac{3a}{2}y-\frac{3a}{4}z+0=0$$ $$|\div a$$
$$x-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}z+0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\vec{n}{1;-\frac{3}{2};-\frac{3}{4}}$$ - нормаль для $$\beta$$
$$\vec{m}{0;0;1}$$ - нормаль для основания $$\Rightarrow$$ $$\cos\alpha=\frac{|1\cdot0+(-\frac{3}{2})\cdot0-\frac{3}{4}\cdot1|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}\cdot\sqrt{1}}=$$ $$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{16+36+9}{16}}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{61}}=\frac{3}{\sqrt{61}}$$
3) $$S_{CLAB}=\frac{3+6}{2}\cdot4=9\cdot2=18$$; $$S_{\beta}=\frac{S_{CLAB}}{\cos\alpha}=\frac{18\cdot\sqrt{61}}{3}=6\sqrt{61}$$
4) $$d(B_{1};\alpha)=\frac{|6-\frac{3}{2}\cdot0-\frac{3}{4}\cdot16|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}}=\frac{|6-12|}{\frac{\sqrt{61}}{4}}=$$ $$\frac{6\cdot4}{\sqrt{61}}=\frac{24}{\sqrt{61}}$$
5) $$V=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{61}\cdot\frac{24}{\sqrt{61}}=48$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{7\cdot4^{x}+2^{x^{2}+1}}{3-2^{2x-x^{2}}}\geq2^{2x+3}$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1]\cup{1}\cup[3;+\infty)$$
Скрыть

$$\frac{7\cdot2^{2x}+\cdot2^{x^{2}}}{3-\frac{2^{2x}}{2^{x^{2}}}}\geq2^{2x}\cdot8$$

Пусть $$2^{2x}=a>0$$; $$2^{x^{2}}=b>0$$

$$\frac{7a+2b}{3-\frac{a}{b}}\geq8a$$; $$\frac{(7a+2b)b}{3b-a}\geq\frac{8a(3b-a)}{3b-a}$$; $$3\cdot2^{x^{2}}-2^{2x}=2^{\log_{2}3}\cdot2^{x^{2}}-2^{2x}=2^{x^{2}+\log_{2}3}-2^{2x}$$ $$\Rightarrow$$ всегда$$>0$$

$$x^{2}+\log_{2}3-2x=0$$

$$D=4-4\log_{2}3=\log_{2}16-\log_{2}81<0$$

$$7ab+2b^{2}\geq24ab-8a^{a}$$; $$2b^{2}-17ab+8a^{2}\geq0$$ $$|\div a^{2}$$;

$$2(\frac{b}{a})^{2}-17\frac{b}{a}+8\geq0$$

$$D=289-64=225$$;

$$\frac{b}{a}=\frac{17+15}{4}=8$$; $$\frac{b}{a}=\frac{17-15}{4}=\frac{1}{2}$$;

$$\left\{\begin{matrix}\frac{b}{a}\geq8\\\frac{b}{a}\leq\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{2^{x^{2}}}{2^{2x}}\geq8\\\frac{2^{x^{2}}}{2^{2x}}\leq\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x^{2}-2x}\geq2^{3}\\2^{x^{2}-2x}\leq2^{-1}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2x\geq3\\x^{2}-2x\leq-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2x-3\geq0\\x^{2}-2x+1\leq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x+1)\geq0\\(x-1)^{2}\leq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq3\\x<-1\\x=1\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Оказалось, что отрезок АК  пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС.  

А) Докажите, что ВК=КE.  

Б) Найдите площадь четырехугольника CDEК, если известно, что АВ=13, АЕ=7, АD=4.

Ответ: $$\frac{451\sqrt{3}}{93}$$
Скрыть

а) 1) По т. Менелая: $$\frac{AE}{EK}\cdot\frac{BK}{BC}\cdot\frac{CD}{DA}=1$$; $$AE=BC$$; $$CD=DA$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BK}{EK}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{1}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BK=EK$$ 

ч.т.д.

б) 1) Пусть $$BK=EK=x$$; $$AK=7+x$$; $$KC=7-x$$; $$AC=8$$

$$\bigtriangleup ABC$$: $$\cos C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{64+49-169}{2\cdot8\cdot7}=-\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle C=120^{\circ}$$; $$\bigtriangleup AKC$$: $$AK^{2}=AC^{2}+KC^{2}-2AC\cdot KC\cdot\cos C$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(7+x)^{2}=8^{2}+(7-x)^{2}-2\cdot8\cdot(7-x)(-\frac{1}{2})$$; $$49+14x+x^{2}=64+49-14x+x^{2}+56-8x$$; $$36x=120$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{120}{36}=\frac{10}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$KC=7-\frac{10}{3}=\frac{11}{3}$$;

2) По т. Менелая: $$\frac{BE}{ED}\cdot\frac{AD}{AC}\cdot\frac{CK}{KB}=1$$; $$\frac{BE}{ED}\cdot\frac{4}{8}\cdot\frac{11}{3}\cdot\frac{3}{10}=1$$; $$\frac{BE}{ED}=\frac{20}{11}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BE}{ED}=\frac{20}{31}$$

3) $$\frac{S_{BEK}}{S_{BDC}}=\frac{BE\cdot BK}{BD\cdot BC}=\frac{20}{31}\cdot\frac{10}{3\cdot7}=\frac{200}{651}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BEK}=\frac{200}{651}S_{BDC}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{DEKC}=\frac{451}{651}S_{BDC}$$;

4) $$S_{BDC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3}$$; $$S_{DEKC}=\frac{451\cdot7\sqrt{3}}{651}=\frac{451\sqrt{3}}{93}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Оказалось, что отрезок АК  пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС.  

А) Докажите, что ВК=КE.  
Б) Найдите площадь четырехугольника CDEК, если известно, что АВ=13, АЕ=7, АD=4.
Ответ: $$\frac{451\sqrt{3}}{93}$$
Скрыть

   А) По т. Менелая для $$\Delta AKC$$ и прямой BD имеем: $$\frac{AD}{DC}*\frac{CB}{BK}*\frac{KE}{EA}=1$$; $$CB=EA$$, $$AD=DC$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{KE}{BK}=1$$, т.е.BK=KE

   Б) 1) Из $$\Delta ABC$$ по т. Косинусов  $$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC*BC*\cos C$$ откуда $$\cos C=\frac{64+49-169}{2*8*7}=-\frac{1}{2}$$, тогда $$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*BC*\sin C=14\sqrt{3}$$

     2) Пусть $$BK=KE=x$$, тогда  $$AK=7+x$$, $$KC=7-x$$. Из $$\Delta AKC$$ по т. Косинусов  $$AK^{2}=AC^{2}+KC^{2}-2AC*KC*\cos C\Leftrightarrow$$$$(7+x)^{22}=64+(7-x)^{2}-2*8*(7-x)*(-\frac{1}{2})$$, откуда получаем $$x=\frac{10}{3}$$

     3) $$S_{EKC}=\frac{x}{x+7}S_{AKC}$$;

$$S_{DEC}=\frac{1}{2}*\frac{7}{x+7}S_{AKC}=\frac{3,5}{x+7}S_{AKC}$$;
$$S_{CDEK}=S_{EKC}+S_{DEC}=\frac{x+3,5}{x+7}S_{AKC}$$;
$$S_{AKC}=\frac{7-x}{7}S_{ABC}$$
$$S_{CDEK}=\frac{x+3,5}{x+7}*\frac{7-x}{7}*14\sqrt{3}=$$$$\frac{\frac{41}{6}*\frac{11}{3}}{\frac{31}{3}*7}*14\sqrt{3}=\frac{451\sqrt{3}}{93}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Олигарх Аристарх Луков‐Арбалетов имеет в собственности три частных банка.  Активы первого банка состоят на 70% из рублей и на 30% из долларов. Во втором  банке 80% активов составляют рубли и 20% – евро; в третьем банке 50% активов в  рублях, 10% – в долларах и 40% – в евро. Аристарх планирует открыть 4‐й банк,  направив туда часть активов из каждого банка так, чтобы доля каждой валюты в  каждом из них сохранилась, а активы нового банка состояли бы ровно на 15% в  долларах. Какой наименьший процент рублей могут содержать активы нового банка?  

Ответ:
Скрыть

Пусть х - объем денег с первого, тогда рубли $$0,7x$$; доллары - $$0,3x$$. Второй - $$y$$; тогда рубли - $$0,8y$$; $$0,2y$$ - евро, третий - $$z$$, тогда $$0,5z$$ - рубли, доллары - $$0,1z$$, евро - $$0,4z$$. Т.к. во втором долларов нет, то при внесении денег оттуда добавятся только рубли и евро, а т.к. процент рублей больше, чем евро, то по отношению  к общей массе денег в четвертом процент рублей увеличится. Тогда из 2го лучше не брать, раз надо минимальный процент рублей в четвертом: 

Всего: $$x+y+z$$

Рубли: $$0,7x+0,8y+0,5z$$

Доллары: $$0,3x+0,1z$$

Евро: $$0,2y+0,4z$$

$$\frac{0,3x+0,1z}{x+y+z}=0,15$$ - (15% долларов); $$x+y+z=\frac{0,3x+0,1z}{0,15}$$; $$x+y+z=2x+\frac{2}{3}z$$; $$z=3x-3y$$ $$\Rightarrow$$ $$x>y$$

Функция процента рублей: $$f(x;y;z)=\frac{0,7x+0,8y+0,5z}{x+y+z}=\frac{(0,7x+0,8y+0,5z)\cdot0,15}{0,3x+0,1z}=$$ $$\frac{0,15(0,7x+0,8y+1,5x-1,5y)}{0,3x+0,1(3x-3y)}=\frac{0,15(2,2x-0,7y)}{0,3x+0,3x-0,3y}=$$ $$\frac{2,2x-0,7y}{4x-2y}=0,55+\frac{0,4y}{4x-2y}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Найдите все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\log{\frac{1,2x}{\pi}}(2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1)=0$$ имеет не более трёх корней,  входящих в отрезок $$[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ:
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1>0\\\frac{1,2x}{\pi}>0\\x\in[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]\\2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=0(1)\\x\in(0;\frac{5\pi}{2})\cup{\frac{5\pi}{6}}\end{matrix}\right.$$

1) $$2\sin^{2}x-\sin x(4a+1)+2a=0$$

$$D=16a^{2}+8a+1-16a=(4a-1)^{2}$$; $$\sin x=\frac{4a+1\pm|4a-1|}{2}=2a;\frac{1}{2}$$; $$\sin x=\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z$$; $$\sin x=2a$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\arcsin2a+\pi n,n\in Z$$

$$\sin x=\frac{1}{2}$$ дает с учетоа ОДЗ 2 корня: $$(\frac{\pi}{6};\frac{13\pi}{6})$$, значит $$\sin x=2a$$ не более одного отличного решения $$\Rightarrow$$ $$2a\in(-\infty;-1]\cup{\frac{1}{2}}\cup(1;+\infty)$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(-\infty;-\frac{1}{2}]\cup{\frac{1}{4}}\cup(\frac{1}{2};+\infty)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Даны 20 чисел: 2, 3, 4,…, 20, 21.  

А) Какое наибольшее количество попарно взаимно простых чисел можно выбрать из  приведенных 20 чисел?  

Б) Докажите, что если из приведенных 20 чисел выбрать любые 12, то обязательно  найдутся два числа, из которых одно делится на другое.  

В) Пусть 20 приведенных чисел являются соответственно длинами сторон 20  квадратов. Можно ли эти 20 квадратов разделить на две группы так, чтобы суммы  площадей квадратов в этих группах были бы одинаковыми?  

Ответ: а) 8; б) нет; в) да.
Скрыть

a) Выпишем все числа: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21. Из них простых - 8: 2,3,5,7,11,13,17,19. Остальные составные $$\Rightarrow$$ делятся на 1 из предыдущих минимум 8

б) Т.к, необходимо взять 8 чисел есть несколько возможных вариантов. Можно взять все 8 простых и 4 составных. Но если взять 8 простых, то из 12 оставшихся только 3 нечетных, то есть минимум 1 четное $$\Rightarrow$$ делится на 2. Значит не подойдет.

Брать разные числа, но каждое из первых десяти чисел будет делителем хотя бы для одного из следующих 10ти (т.к. однозначное, умноженное на 2,в любом случае не больше 20) $$\Rightarrow$$ из 12 чисел хотя бы 1 будет однозначным  $$\Rightarrow$$ делителем  $$\Rightarrow$$ ответ: нет.

в) сумма квадратов n-первых натуральных чисел: $$p(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{21\cdot22\cdot43}{6}=3311$$; т.к. 1 не входит, то 3310  $$\Rightarrow$$ в каждом по 1655. 

$$21^{2}+20^{2}+19^{2}+18^{2}=1526$$  $$\Rightarrow$$ осталось 129

$$10^{2}+5^{2}+2^{2}=129$$ $$\Rightarrow$$ в певрвой: 2,5,10,18,19,20,21

во второй: 3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17.