Перейти к основному содержанию

387 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 387 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №387 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$\sqrt[x]{5^{5\sqrt{x}}}=5^{\sqrt{x}-4}.$$
Ответ: 25
Скрыть

$$5^{\frac{5\sqrt{x}}{x}}=5^{\sqrt{x}-4}$$

$$x=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}, x\geq0$$

$$\frac{5}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-4$$

$$\sqrt{x}=t, t\geq0$$

$$\frac{5}{t}=t-4\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t^2-4t-5=0\\ t\neq0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} t=-1\\ t=5 \end{matrix}\right.\\ t\neq0 \end{matrix}\right.$$

$$t=5\Leftrightarrow\sqrt{x}=5\Leftrightarrow x=25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Из ящика, где хранятся 5 желтых и 7 красных карандашей, продавец, не глядя, вынимает один за другим 3 карандаша. Найдите вероятность того, что два карандаша - желтые, а один - красный? Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,32
Скрыть

ЖКЖ - $$\frac{5}{12}\cdot\frac{7}{11}\cdot\frac{4}{10}$$

ЖЖК - $$\frac{5}{12}\cdot\frac{4}{11}\cdot\frac{7}{10}$$

КЖЖ - $$\frac{7}{12}\cdot\frac{5}{11}\cdot\frac{4}{10}$$

$$\frac{140+140+140}{12\cdot11\cdot10}=\frac{420}{12\cdot11\cdot10}=\frac{7}{22}\approx0,32$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 22 и 15. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Ответ: 22
Скрыть

Так как трапеция равнобедренная, то отрезки $$AH=EB=15$$ (см. рисунок ниже). Следовательно, длина

$$DC=EH=AE-AH=22-15=7$$

а

$$AB=7+15+15=37$$

Средняя линия трапеции по длине равна полусумме ее оснований:

$$l=\frac{DC+AB}{2}=\frac{7+37}{2}=22$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\sqrt{75}\cos^2\frac{7\pi}{12}-\sqrt{75}\sin^2\frac{7\pi}{12}.$$
Ответ: -7,5
Скрыть

$$\sqrt{75}\cos^2\frac{7\pi}{12}-\sqrt{75}\sin^2\frac{7\pi}{12}=\sqrt{75}(\cos^2\frac{7\pi}{12}-\sin^2\frac{7\pi}{12})=$$

$$=\sqrt{75}\cos(2\cdot\frac{7\pi}{12})=\sqrt{75}\cos\frac{7\pi}{6}=\sqrt{75}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\sqrt{225}}{2}=-\frac{15}{2}=-7,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12, а угол между боковой гранью и основанием равен 45o. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 1296
Скрыть

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot h$$

угол между боковой гранью и основанием равен 45° ⇒ ∆SHM равнобедренный, так как ∠Н=90°, ∠М=45° ∠S=90°-∠M=90°-45°=45° ⇒ h=SH=HM

$$∆CMH (∠M=90°) MH^2=HC^2-CM^2=122-62=144-36=108=36\cdot3$$

$$h=MH = 6\sqrt{3}$$

$$S_{осн}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot122=216\sqrt{3}$$

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot216\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=1296$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображен график первообразной $$y=F(x)$$ функции $$f(x)$$ и 8 точек на оси абсцисс: $$x_1, x_2, x_3,..., x_8.$$ В скольких из этих точек функция $$f(x)$$ отрицательна?

Ответ: 5
Скрыть

Для упрощения решения задачи примем $$y=F(x)$$ за $$y=f(x),$$ а $$f(x)$$ за $$f'(x).$$ В итоге получаем: $$y=f(x)$$ и $$f'(x)$$

Тогда:

$$f'(x)$$ будет отрицательна там, где $$f(x)$$ убывает, а это точки $$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$$ - всего 5

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение $$y=0,0043x^2-0,8x+42,$$ где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 90 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 4,83
Скрыть

$$y=0,0043x^2-0,8x+42$$

$$y=0,0043\cdot90^2-0,8\cdot90+42=0,0043\cdot90^2-72+42=0,0043\cdot8100-30=$$

$$=34,83-30=4,83$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Турист проплыл по реке 90 км, прошел пешком 10 км, при этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист плыл по реке столько же времени, сколько он шел пешком, а шел пешком - сколько плыл по реке, то эти расстояния были бы равны. Сколько часов турист плыл по реке?
Ответ: 6
Скрыть

Пусть $$t$$ часов - пешком, тогда $$t+4$$ - по реке.

$$V_{по\,реке}=\frac{90}{t+4}$$

$$V_{пеш.}=\frac{10}{t}$$

$$\frac{90}{t+4}\cdot t=\frac{10}{t}\cdot(t+4)$$

$$\frac{t^2}{(t+4)^2}=\frac{1}{9}$$

$$\frac{t}{t+4}=\frac{1}{3}$$

$$3t=t+4$$

$$2t=4$$

$$t=2$$

$$2+4=6$$ часов по реке

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображены графики функции $$f(x)=-2x^2+bx+c.$$ Найдите $$f(5).$$

Ответ: -13
Скрыть

Точки $$(2;5)$$ и $$(3;3)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 5=-8+2b+c\; (1)\\ 3=-18+3b+c\; (2) \end{matrix}\right.$$

$$(2) - (1):$$

$$-2=-10+b$$

$$b=8$$

$$-8+2\cdot8+c=5$$

$$c=5-8=-3$$

$$f(5)=-2\cdot25+8\cdot5-3=-13$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Какое минимальное число раз надо бросить монету наудачу, чтобы решка выпала хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей, чем 0,99?
Ответ: 7
Скрыть

$$P(среди\, n\, бросков\, хотя\, бы\, 1\, решка)=1-P(среди\, n\, бросков\, нет\, решек)=$$

$$=1-(\frac{1}{2})^n\geq0,99\Leftrightarrow (\frac{1}{2})^n\leq\frac{1}{100}$$

$$n=6: \frac{1}{64}>\frac{1}{100}$$ - не подходит

$$n=7: \frac{1}{128}<\frac{1}{100}$$ - подходит $$\Rightarrow 7$$ раз

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите точку минимума функции: $$y=-\frac{x}{x^2+225}$$
Ответ: 15
Скрыть

$$1)$$ $$x\in R$$

$$2)$$ $$y'=-\frac{1(x^2+225)-2x\cdot x}{(x^2+225)^2}=-\frac{225-x^2}{(x^2+225)^2}=\frac{x^2-225}{(x^2+225)^2}$$

$$3)$$ $$\frac{x^2-225}{(x^2+225)^2}=0\Leftrightarrow x^2-225=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=15\\ x=-15 \end{matrix}\right.$$

$$x_{min}=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$2\sin 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin x$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}, n\in Z$$ Б)$$-\frac{11\pi}{6};-\frac{31\pi}{18};-\frac{19\pi}{18}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной четырехугольной призме $$MNPQM_1N_1P_1Q_1$$ сторона основания равна 11, а боковое ребро - 15. На ребрах $$M_1Q_1, M_1N_1$$ и $$PQ$$ взяты точки X, Y, Z соответственно так, что $$Q_1X=N_1Y=QZ=5.$$

А) Пусть C - точка пересечения плоскости XYZ c ребром PN. Докажите, что XYCZ - прямоугольник.

Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью XYZ.

Ответ: $$\frac{85\sqrt{22}}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\frac{4\log_2(x+0,5)}{5^{1-\sqrt{x}}-1}\leq5^{\sqrt{x}}\log_2(x+0,5)$$
Ответ: $$[0;\frac{1}{2}],(1;\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

В банк помещен вклад 64000 рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трех лет (после начисления процентов) вкладчик дополнительно положил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвертого года после начисления процентов оказалось, что вклад составляет 385000 рублей. Какую сумму (в рублях) ежегодно добавлял вкладчик?
Ответ: 48000
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

На продолжении стороны АС за вершину A треугольника АВС отложен отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке М.

А) Докажите, что АМ - биссектриса угла ВАС.

Б) Найдите площадь трапеции АМВD, если площадь треугольника АВС равна 144 и известно отношение АС : АВ = 3 : 1.

Ответ: 84
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$(\log_7(x+a)-\log_7(x-a))^2+3a\log_7(x-a)=3a(\log_7(x+a)-1)+9-2a^2$$

имеет ровно два решения.

Ответ: $$(-\infty;-3),(\frac{3}{2};6),(6;\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зеленого, либо красного цвета. Каждое зеленое число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зеленые числа различны и все красные различны (какое-то зеленое может равняться какому-то красному числу).

А) Может ли сумма написанных чисел быть меньше $$1395 = 3 + 6 +... + 90,$$ если все числа на доске кратны 3?

Б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

В) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Ответ: А) да, Б) нет, В) 6