Перейти к основному содержанию

257 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 257 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №257 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 257 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №257 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В супермаркете проходит рекламная акция: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три шоколадки (одна шоколадка в подарок). Шоколадка стоит 32 рубля. Какое наибольшее число шоколадок можно получить на 120 рублей?

Ответ: 4
Скрыть

$$\frac{120}{32}=3,75\Rightarrow$$ купили 3 шт . Также 1 получили в подарок $$\Rightarrow$$ 4 шт. всего.

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показано количество жителей городов Московской области с населением свыше 100000 человек (на 1 января 2014 года). Найдите количество городов с населением больше 140000 человек.

Ответ: 9
Скрыть

Всего таких город 9 (Балашиха, Железнодорожный, Коломна, Королев, Люберцы, Мытищи, Подольск, Химки, Электросталь)

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге изображён круг. Площадь закрашенного сектора равна 8. Найдите площадь незакрашенной части круга.

Ответ: 40
Скрыть

Видим, что сегмент составляет $$\frac{1}{6}$$ круга $$\Rightarrow$$ оставшаяся часть составляет $$\frac{5}{6}$$ круг, то есть в пять раз больше $$\Rightarrow$$ $$5*8=40$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На рисунке показана схема лесных дорожек. Пешеход идет из точки S по дорожкам, на каждой развилке выбирая дорожку случайным образом и не возвращаясь обратно. Найдите вероятность того, что он попадет в грибное место, обозначенное на схеме закрашенной областью. Результат округлите до сотых

Ответ: 0,36
Скрыть

В грибное место ведут :

SEN: $$\frac{1}{3} *\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$$

SEL :$$\frac{1}{3}*\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$$

SEK :$$\frac{1}{3}*\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$$

SDH: $$\frac{1}{3}*\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$$

Следовательно , вероятность попасть: $$P=\frac{1}{12}*3+\frac{1}{9}=$$$$\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=$$$$\frac{13}{36}\approx 0,36$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\log_{(x-5)}49=2$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Ответ: 12
Скрыть

$$log _{x-5} 49=2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-5>0\\x-5\neq 1\\(x-5)^{2}=49\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (5 ,6)\cup (6 ,+\infty )\\\left[\begin{matrix}x-5=7\\x-5=-7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Около круга описана равнобедренная трапеция, периметр которой 80, а острый угол равен 30o. Найдите площадь трапеции. 

Ответ: 200
Скрыть

  1. $$AB+CD=DC+AD=\frac{80}{2}\Rightarrow$$ $$AB=CD=20$$
  2. из $$\Delta ABH$$: $$BH=AB* \sin A=20*\frac{1}{2}=10$$
  3. $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*BH=$$$$\frac{40}{2}*10=200$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Прямая y=4x-3 является касательной к графику функции $$y=8x^{2}-12x+c$$. Найдите c .

Ответ: 5
Скрыть

          Так как является касательной, то производные данных функций равны: $${(4x-3)}'={(8x^{2}-12x+c)}'\Leftrightarrow$$ $$4=16x-12\Leftrightarrow$$ $$x=1$$

          Но значения функций в полученной точке так же равны: $$y_{1}(1)=4*1-3=1$$ ; $$y_{2}(1)=8*1^{2}-12*1+c=1$$$$\Leftrightarrow$$ $$c=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Из куба с ребром 3 вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 2,5 и боковым ребром 3. Найдите площадь поверхности получившегося после вырезания многогранника.

Ответ: 71,5
Скрыть

          Площадь поверхности куба, с учетом вырезов в основаниях: $$3*3*6-2,5*2,5*2=54-12,5=41,5$$

          Площадь внутренней поверхности: $$2,5 *3*4=30$$

          Площадь поверхности многогранника: $$41,5+30=71,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{9^{x+11}*2^{3x+8}}{3^{2x+21}*4^{x+4}}$$, при х=2

Ответ: 12
Скрыть

$$\frac{9^{x+11}*2^{3x+8}}{3^{2x+21}*4^{x+4}}=$$$$\frac{3^{2x+22}*2^{3x+8}}{3^{2x+21}*2^{2x+8}}=$$$$3^{2x+22-(2x+21)}*2^{3x+8-(2x+8)}=$$$$3*2^{x}=3*2^{2}=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в H * м ) определяется формулой $$M=NIBl^{2}\sin \alpha$$ , где I = 2A — сила тока в рамке, B=3*103 Тл — значение индукции магнитного поля, l = 0,5 м — размер рамки, N = 1000 — число витков провода в рамке, $$\alpha$$ — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $$\alpha$$ (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 H * м ?

Ответ: 30
Скрыть

           Выразим синус угла из формулы: $$M=NIBL^{2}\sin \alpha \Leftrightarrow$$ $$\sin \alpha=\frac{M}{NIBL^{2}}$$

           Найдем данный угол: $$\sin \alpha =\frac{0,75}{1000*2*3*10^{-3}*0,5^{2}}=$$$$\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$\alpha =30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час после этого—третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 25
Скрыть

   Пусть x км\ч –скорость третьего . К моменту его выезда, первый ехал 2 часа, и проехал 15*2=30км , второй- 1 час $$\Rightarrow$$ 10*1=10 км. Тогда:

$$t_{2}=\frac{10}{x-10}$$ - время , через которое третий догонит второго.

$$t_{1}=\frac{30}{x-15}$$ - первого.

$$t_{1}-t_{2}=2\frac{20}{60}\Leftrightarrow$$ $$\frac{30}{x-15}-\frac{10}{x-10}=\frac{7}{3}\Leftrightarrow$$ $$3(30x-300-10x+150)=7(x^{2}-25x+150)\Leftrightarrow$$ $$60x-450=7x^{2}-175x+1050\Leftrightarrow$$ $$7x^{2}-235x+1500=0$$

$$D=55225-42000=13225=115^{2}$$

$$x_{1}=\frac{235+115}{14}=25$$

$$x_{2}=\frac{235-115}{14}=\frac{60}{7}$$ < скорости первого, не подходит

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=7^{5x-2}+9*7^{4-5x}-41$$

Ответ: 1
Скрыть

          Пусть $$7^{5x}=m>0$$, тогда: $$f(m)=\frac{m}{7^{2}}+\frac{9*7^{4}}{m}-41$$

          Найдем производную данной функции: $${f}'(m)=\frac{1}{7^{2}}-\frac{9*7^{4}}{m^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{m^{2}-9*7^{6}}{(7m)^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow$$$$m=\pm 3*7^{3}$$

          Так как $$m>0$$ $$\Rightarrow$$ $$m=7^{5x}=3*7^{3}$$ - при данном значении и будет наименьшее значение функции:

          $$y=\frac{3*7^{3}}{7^{2}}+\frac{9*7^{4}}{3*7^{3}}-41=42-41=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\frac{1+\sqrt{3}}{2}\sin 2x=(\sqrt{3}-1)\cos^{2} x+1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;\frac{3\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{3}+\pi k,n,k \in Z$$ Б)$$\frac{5\pi}{4};\frac{4\pi}{3}$$
Скрыть

А)   $$\frac{1+\sqrt{3}}{2}\sin 2x=(\sqrt{3}-1)\cos ^{2}x +1\Leftrightarrow$$$$(1+\sqrt{3}) \sin x \cos x -(\sqrt{3}-1) \cos ^{2}x- \sin ^{2}x- \cos ^{2}x=0\Leftrightarrow$$$$\sin ^{2}x+\sqrt{3} \cos ^{2}x -(1+\sqrt{3}) \sin x \cos x=0|:\cos x\Leftrightarrow$$$$tg^{2}x-(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0$$

$$D=(1+\sqrt{3})^{2}-4* \sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=(1-\sqrt{3})^{2}$$

$$\left[\begin{matrix}tg x=\frac{1+\sqrt{3}-\left | 1-\sqrt{3} \right |}{2}=1\\tg x=\frac{1+\sqrt{3}+\left | 1-\sqrt{3} \right |}{2}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\x=\frac{\pi}{3}+\pi k,k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   На промежутке $$[\pi;\frac{3\pi}{2}]$$ получим следующие корни:

$$\frac{\pi}{4}+\pi n:$$$$\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$

$$\frac{\pi}{3}+\pi k:$$$$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Диагональ основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 8, высота пирамиды SO равна 1. Точка М – середина ребра SC, точка К – середина ребра CD.

А) Найдите угол между прямыми ВМ и SK
Б) Найдите расстояние между прямыми ВМ и SK
Ответ: А)$$arccos \frac{23}{27}$$ Б) $$\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Скрыть

A)     1) Зададим ортогальную систему координат как показано на рисунке:

          2)из $$\Delta ABD$$: $$AB=BD \sin D=8*\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

          3) Найдем координаиты точек:

$$B (-\frac{BC}{2}; -\frac{AB}{2},0)\Rightarrow$$ $$B(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2},0)$$

$$S(0;0; SO)$$$$\Rightarrow$$ $$S(0;0;1)$$

$$K (\frac{AD}{2};0;0)\Rightarrow$$ $$k(2\sqrt{2};0;0)$$

          Опустим $$MM_{1}\perp (ABC)$$, $$\Delta SOC \sim \Delta MM_{1}C$$, тогда:

$$M(\frac{AD}{4};-\frac{CD}{4};\frac{SO}{2})\Rightarrow$$ $$M (\sqrt{2};-\sqrt{2};\frac{1}{2})$$

          Тогда: $$\bar{BM} (3\sqrt{2}; \sqrt{2};\frac{1}{2})$$, $$\bar{SK}(2\sqrt{2};0;-1)$$

          Найдем угол между данными векторами:

$$\cos \angle (\bar{BM}, \bar{SK})=$$$$\frac{3\sqrt{2}*2\sqrt{2}+\sqrt{2}*0+\frac{1}{2}(-1)}{\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}* \sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=$$$$\frac{23}{27}\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{BM}; \bar{SK})=arccos \frac{23}{27}$$

Б)     1) Построим $$MN \left | \right |SK (MN\cap DC=N)\Rightarrow$$ $$(BMN)\left | \right |SK\Rightarrow$$ $$\rho (SK; (BMN))=\rho (BM; SK)$$

          2) $$N (\frac{AD}{2}; -\frac{CD}{4};0) \Rightarrow$$ $$N (2\sqrt{2}; -\sqrt{2},0)$$

          Зададим уравнение (BMN):

$$\left\{\begin{matrix}-2\sqrt{2}a-2\sqrt{2}b +d=0\\\sqrt{2}a -\sqrt{2}b +\frac{1}{2}c+d=0\\2\sqrt{2}a-\sqrt{2}b +d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=\frac{\sqrt{2}d}{3}\\c=-\frac{d}{3}\\a=-\frac{\sqrt{2}d}{12}\end{matrix}\right.$$

          Тогда уравнение (BMN): $$-\frac{\sqrt{2}}{12}x+\frac{\sqrt{2}}{3}y-\frac{1}{3}z+1=0$$

          Тогда расстояние между прямыми: $$\rho (BM, SK) =\frac{\left | -\frac{\sqrt{2}}{12}*2\sqrt{2}+1 \right |}{\sqrt{(-\frac{\sqrt{2}}{12})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{3})^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{2} (5-x)*\log_{x+1} 8 \geq -6$$

Ответ: $$(-1;0)\cup [1;5)$$
Скрыть

          ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}5-x>0\\x+1>0\\x+1\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<5\\x>-1\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$

          Решение:

$$\log_{2}(5-x)*(-3)*\log_{x+1}2\geq -6\Leftrightarrow$$ $$\log_{2}(5-x)*\frac{1}{\log_{2}(x+1)}\leq 2\Leftrightarrow$$ $$\log_{(x+1)}(5-x)\leq 2\Leftrightarrow$$ $$\log_{(x+1)}(5-x)\leq \log_{(x+1)}(x+1)^{2}\Leftrightarrow$$ $$(5-x-(x+1))((x+1)-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(-x^{2}-3x+4)*x\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x(x+4)(x-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq -4\\x\leq 0 \end{matrix}\right.\\ x\geq 1\end{matrix}\right..$$

          С учетом ОДЗ: $$x \in (-1;0)\cup [1;5)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, расположенной в середине катета ВС, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу АВ. $$AE=\sqrt{10}EL$$, $$BC>AC$$

А) Найдите углы треугольника АВС
Б) Найдите отношение $$\frac{AE}{CL}$$
Ответ: А) $$90;arcsin \frac{2\sqrt{5}}{5};arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Б) $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

A)    1) пусть $$EL=x$$$$\Rightarrow$$ $$AE=x\sqrt{10}$$. Тогда из $$\Delta ELA:$$ $$AL=\sqrt{AE^{2}-EL^{2}}=3x$$

       2) Пусть $$BL=y$$ $$\Rightarrow$$. Тогда из $$\Delta EBL:$$$$BE=\sqrt{BL^{2}+EL^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=EC$$

       3) $$\Delta EBL\sim \Delta ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{EB}{AB}=\frac{BL}{BC}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y+3x}=\frac{y}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$$$\Leftrightarrow$$ $$2(x^{2}+y^{2})=y^{2}+3xy$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x^{2}+2y^{2}-y^{2}-3xy=0\Leftrightarrow$$ $$2x^{2}-3xy+y^{2}=0$$

$$D=9y^{2}-8y^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$x=\frac{3y\pm y}{4}$$$$\Rightarrow$$ $$x=y$$ или $$x=\frac{y}{2}$$

  1. Если $$x=y$$ , то $$AB=4x$$ ; $$BC=2x\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$AC=\sqrt{16x^{2}-8x^{2}}=2x\sqrt{2}$$ (но BC>AC)
  2. Если $$x=\frac{y}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$AB=5x; BC=2x\sqrt{5}$$$$\Rightarrow$$ $$AC=\sqrt{25x^{2}-20x^{2}}=x\sqrt{5}$$

       4) $$\angle C=90$$; $$\angle A=arcsin \frac{BC}{AB}=arcsin \frac{2\sqrt{5}}{5}$$; $$\angle B=arcsin \frac{AC}{AB}=arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Б)       1) $$\cos \angle A=\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow$$ из $$\Delta ALC:$$ $$CL=\sqrt{AC^{2}+AL^{2}-2 AC*AL*\cos A}=2\sqrt{2}x$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{AE}{CL}=\frac{\sqrt{10}x}{2\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Школьник купил тетради трех типов: в клетку, в линейку и в треугольник. Цена тетрадей в клетку и в линейку одинакова и выражается целым числом рублей, тетради в треугольник продаются по 50 рублей за штуку. Тетрадей в клетку было куплено 12 штук, в линейку – на 150 рублей, а в треугольник – столько же, сколько тетрадей в линейку. Какова наименьшая сумма, которую школьник мог заплатить за тетради?

Ответ: 750
Скрыть

   Пусть x руб - цена за шт клетки и линейки , тогда сумма за клетку 12x руб. , количество в линейку $$\frac{150}{x}$$ шт., как и количество в треугольник, тогда сумма за треугольник: $$\frac{50*150}{x}$$ руб. и общая сумма:

$$S(x)=12x+150+\frac{7500}{x}$$. 

   Найдем наименьшее значение данной суммы: 

$${S}'(x)=12-\frac{7500}{x^{2}}=\frac{12x^{2}-7500}{x^{2}}=0$$. Тогда: $$x^{2}=625\Rightarrow$$ $$x=\pm 25$$ , $$x=25$$ - точка минимума, следовательно, $$S_{min}=S(25)$$

   Найдем данное значение: $$S(25)=12*25+150+\frac{7500}{25}=750$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение $$4a^{2}x^{4}+(2a-8)x^{2}+a+|a|=0$$ имеет ровно три корня на промежутке (-1;1]

Ответ: $$(-\infty ; \frac{-1-\sqrt{33}}{4})\cup {1}$$
Скрыть

       Если один из корней лежит на промежутке (0;1], то всегда будет ему симметричный относительно О на [-1;0)(например , $$\frac{1}{2}$$ и $$-\frac{1}{2}$$) т.к дано биквадратное уравнение . Чтобы было три корня существует 2 случая :

       1) $$x_{1}=x_{2}=0$$;$$x_{3,4}=\pm b_{m}$$; $$b_{m} \in (0;1)$$

       Если $$x_{1}=x_{2}=0$$, то $$a+\left | a \right |=0$$$$\Rightarrow$$ $$a<0$$. Получим : $$4a^{2}x^{4}+(2a-8)x^{2}+a-a=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}(4a^{2} x^{2}+(2a-8))=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=\frac{8-2a}{4a^{2}}\\x^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm \sqrt{\frac{8-2a}{4a^{2}}}\\x=0\end{matrix}\right.$$

       Учитывая, что $$\sqrt{\frac{8-2a}{4a^{2}}}<1$$ (если будет равен 1 , то ему симметричный =-1, не попадет в (-1; 1]):

       $$\left\{\begin{matrix}\frac{8-2a}{4a^{2}}<1\\\frac{8-2a}{4a^{2}}>0\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4a^{2}+2a-8>0\\8-2a>0\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x<\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\\x>\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\end{matrix}\right.\\a<4\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$$

       2) Если один из корней равен 1, а симметричный $$\in (-1,1]$$(тогда $$-1 \in (-1;1]$$ и получим 3 корня):

       $$4a^{2}*1^{4}+(2a-8)*1^{2}+a+\left | a \right |=0\Leftrightarrow$$$$4a^{2}+2a-8+a+\left | a \right |=0$$

       Учитываем, что a>0 (смотреть п.1): $$4a^{2}+4a-8=0\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=1\\a=-2(a<0)\end{matrix}\right.$$

       Сделаем проверку: при a=1: $$4x^{4}-6x^{2}+2=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x^{4}-3x^{2}+1=0$$

       $$D=9-8=1$$ 

       $$x_{1,2}^{2}=\frac{3\pm 1}{4}=1, \frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$x=\pm 1$$ и $$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - три корня на (-1;1]

       Отдельно рассмотрим a=0

       $$4*0*x^{4}+(2*0-8)x^{2}+0+\left | 0 \right |=0\Leftrightarrow$$$$-8x^{2}=0\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Бесконечная арифметическая прогрессия a1,a2,...,an,... состоит из различных натуральных чисел. 

А) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1,a2,...,a7 ровно три числа делятся на 24?
Б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1,a2,...,a30 ровно 9 чисел делятся на 24?
В) Для какого наибольшего натурального числа могло оказаться так, что среди чисел a1,a2,...,a3n больше кратных 24, чем среди чисел a3n+1,a3n+2,...,a7n , если известно, что разность прогрессии равна 1?
Ответ: да, нет, 17
Скрыть

A)    Да, например, 12;24;36;48;60;72;84.

Б)    Пусть $$a_{m}$$ и $$a_{n}$$ (m>n) - члены, кратные 24, d - разность прогрессии (при этом очевидно, что d - делитель 24), получаем: $$a_{m}-a_{n}=$$$$a_{1}+d(m-1)-(a_{1}+d(n-1))=$$$$d(m-n)$$. При этом $$\frac{a_{m}-a_{n}}{24}=R$$, где R - из последовательности целых от 0 $$\Rightarrow$$ $$\frac{d(m-n)}{24}=R$$. Раз d –делитель 24, то пусть $$\frac{24}{d}=k$$ ($$k \in N, k\leq 24$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{d(m-n)}{dk}=R$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{m-n}{k}=R$$$$\Rightarrow$$ $$m=R*k+n$$. Следовательно, из любых k последовательных членов - одно делится на 24. При $$k\leq 3$$ получим $$\frac{30}{k}\geq 0$$$$\Rightarrow$$ не подходит (надо 9) , при $$k\geq 4$$ имеем , что $$\frac{30}{k}<8$$ - не подходит $$\Rightarrow$$ не может.

B)   Среди чисел $$a_{1},a_{2}, a_{3n}$$ делится на 24 не более $$[\frac{3 n}{k}]+1$$, где $$[\frac{3 n }{k}]$$ - целая часть числа $$\frac{3n}{k}$$(рассмотрите числа при n=17 для понимания) , из чисел $$a_{3n+1}....a_{7n}$$ не менее $$[\frac{7n-3n}{k}]=[\frac{4n}{k}]$$. При этом : $$[\frac{3n}{k}]+1>[\frac{4n}{k}]$$. Очевидно, что выполняется только, если $$[\frac{3n}{k}]=[\frac{4n}{k}]$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{4n}{k}-\frac{3n}{k}<1$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{n}{k}<1$$$$\Rightarrow$$ $$[\frac{3n}{k}]<3$$ как и $$[\frac{4n}{k}]<3$$. Тогда получим , что и $$\frac{4n}{k}<3$$$$\Rightarrow$$ $$n<\frac{3k}{4}$$, но так как k $$\leq 24$$, то $$n<\frac{3*24}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$n<18$$, т.е. $$n=17$$. (Например, при $$a_{1}=22$$ получим , что: $$a_{1}.. a_{3n} =a_{1}... a_{51}$$ : 24,48,72-3 кратных; $$a_{3n+1}... a_{5n}=a_{52}....a_{119}$$: 96,120-2 кратных).