368 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.
Больше разборов на моем ютуб-канале
Задание 1
ОДЗ:
$$\left\{\begin{matrix} x>2\\ x>12 \end{matrix}\right.$$
$$3\cdot\frac{1}{3}\log_2(x−2)=\log_2\sqrt{2x-1}$$
$$(x−2)=\sqrt{2x-1}$$ возводим в квадрат
$$x^2−6x+5=0$$
$$x=1$$ – не подходит под ОДЗ
$$x=5$$
Задание 2
Вероятность того, что одна батарейка исправна, равна $$1-0,06=0,94.$$ Тогда, вероятность исправности двух батареек в упаковке, равна произведению этих вероятностей (учитывая, что события исправности или неисправности батареек независимы):
$$P=0,94\cdot0,94=0,8836$$
Задание 3
$$S=0,5\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\alpha=96$$
Откуда $$\sin\alpha=\frac{24}{25}$$
$$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{24^2}{25^2}}=\frac{7}{25}$$
По теореме косинусов из треугольника ABM:
$$BM^2=AB^2+AM^2-2AB\cdot AM\cdot\cos\alpha$$ $$(AM=10,AB=10)$$
$$BM=12$$
Задание 4
Учтём, что $$7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$$
$$5-2\sqrt{6}=\frac{10-4\sqrt{6}}{2}=\frac{(2-\sqrt{6})^2}{2}$$
$$6-4\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^2$$
$$5+2\sqrt{6}=\frac{(10+4\sqrt{6})^2}{2}$$
Тогда: $$\sqrt{\frac{7-4\sqrt{3}}{5-2\sqrt{6}}}=\frac{|2-\sqrt{3}|\sqrt{2}}{|2-\sqrt{6}|}; \sqrt{\frac{6-4\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}}}=\frac{|2-\sqrt{2}|\sqrt{2}}{|2+\sqrt{6}|}$$
Получим: $$\frac{(2-\sqrt{3})^2}{\sqrt{6}-2}-\frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}-4\sqrt{2}=\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{6}+2)-(2\sqrt{2}-2)(\sqrt{6}-2)}{6-4}-$$
$$-4\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{12}+4\sqrt{2}-6-2\sqrt{6}-2\sqrt{12}+4\sqrt{2}+2\sqrt{6}-4}{2}-4\sqrt{2}=$$
$$=4\sqrt{2}-5-4\sqrt{2}=-5$$
Задание 5
$$V=h\cdot S_{осн}$$
$$S_{осн}=7^2\cdot\sin45=49\sin45$$ (площадь ромба $$S=a^2\sin\alpha$$)
$$\sin45=\frac{h}{7}$$ – из красного прямоугольного треугольника
$$h=7\sin45$$
$$V=7\sin45\cdot1\cdot\sin45=3,5$$
Задание 6
$$f'(x_0)=\tg150=\tg(180−30)=−\tg30=−\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Строим прямую $$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и считаем кол-во точек пересечения с графиком - 3
Задание 7
Задание 8
Пусть $$p_3$$ - производительность работы третьего станка.
$$70\cdot60=4200$$ каждый напечатает за час.
Составим уравнение исходя из условия:
$$\frac{4200}{p_3-70}-\frac{4200}{p_3-60}=3,5\cdot60$$
$$\frac{4200}{p_3-70}$$ – это время, через которое 3-ий станок сравняется со 2-ым.
$$\frac{4200}{p_3-60}$$ – это время, через которое 3-ий станок сравняется с 1-ым.
Откуда $$p_3=80$$
Задание 9
$$3=4a+2b+c$$
$$−3=a−b+c$$
$$−1=4a−2b+c$$
Откуда $$g(x)=x^2+x+1$$
$$f(x)=g(x)$$
$$5x+9=x^2+x−3$$
$$x=−2$$ – абсцисса точки А
$$x=6$$ – абсцисса точки В
Задание 10
Всего два благоприятных исхода
1) Маша купит 2 киндера, в первом не будет новой принцессы, а во второй будет новая принцесса
2) Маша купит 3 киндера, в первых двух не будет новой принцессы, а в третьем будет новая прицнесса
$$P(A_1)=0,2$$ – нет новой принцессы
$$P(A_2)=0,8$$ – выпала новая принцесса
$$P(A+B)=P(A)+P(B)=0,2\cdot0,8+0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,192$$
Задание 11
Найдём критические точки:
$$y'=6-3\cos x$$
$$6-3\cos x=0$$
$$\cos x=2$$ - нет решений, т.к. множество значений косинуса $$[-1;1]$$
Значит наименьшее значение будет достигаться на отрезке
$$y(\frac{5\pi}{6})=-1,5$$ – наименьшее значение