Перейти к основному содержанию

368 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 368 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №368 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$3\log_8(x-2)=\log_2\sqrt{2x-1}.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.
Ответ: 5
Скрыть

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix} ​x>2​\\ ​x>12​ \end{matrix}\right.$$

​$$3\cdot\frac{1}{3}\log_2(x−2)=\log_2\sqrt{2x-1}$$

​$$(x−2)=\sqrt{2x-1}$$ возводим в квадрат

​$$x^2−6x+5=0​$$

$$​x=1$$​ – не подходит под ОДЗ

$$​x=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Ответ: 0,8836
Скрыть

Вероятность того, что одна батарейка исправна, равна $$1-0,06=0,94.$$ Тогда, вероятность исправности двух батареек в упаковке, равна произведению этих вероятностей (учитывая, что события исправности или неисправности батареек независимы):

$$P=0,94\cdot0,94=0,8836$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

В треугольнике АВС сторона АВ равна 10, угол А-острый. Найдите медиану ВМ, если АС=20, а площадь треугольника АВС равна 96.
Ответ: 12
Скрыть

$$S=0,5\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\alpha=96​$$

Откуда $$\sin\alpha=\frac{24}{25}$$

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{24^2}{25^2}}=\frac{7}{25}$$

По теореме косинусов из треугольника ABM:

$$BM^2=AB^2+AM^2-2AB\cdot AM\cdot\cos\alpha$$​ $$(AM=10,AB=10)$$

$$BM=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\sqrt{\frac{7-4\sqrt{3}}{5-2\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{6-4\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}}}-4\sqrt{2}$$
Ответ: -5
Скрыть

Учтём, что $$7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$$

$$5-2\sqrt{6}=\frac{10-4\sqrt{6}}{2}=\frac{(2-\sqrt{6})^2}{2}$$

$$6-4\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^2$$

$$5+2\sqrt{6}=\frac{(10+4\sqrt{6})^2}{2}$$

Тогда: $$\sqrt{\frac{7-4\sqrt{3}}{5-2\sqrt{6}}}=\frac{|2-\sqrt{3}|\sqrt{2}}{|2-\sqrt{6}|}; \sqrt{\frac{6-4\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}}}=\frac{|2-\sqrt{2}|\sqrt{2}}{|2+\sqrt{6}|}$$

Получим: $$\frac{(2-\sqrt{3})^2}{\sqrt{6}-2}-\frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}-4\sqrt{2}=\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{6}+2)-(2\sqrt{2}-2)(\sqrt{6}-2)}{6-4}-$$

$$-4\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{12}+4\sqrt{2}-6-2\sqrt{6}-2\sqrt{12}+4\sqrt{2}+2\sqrt{6}-4}{2}-4\sqrt{2}=$$

$$=4\sqrt{2}-5-4\sqrt{2}=-5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 45°. Одно из рёбер параллелепипеда составляет с плоскостью этой грани угол 45° и равно 7. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 3,5
Скрыть

$$V=h\cdot S_{осн}​$$

$$​S_{осн}=7^2\cdot\sin45=49\sin45​$$ (площадь ромба $$​S=a^2\sin\alpha$$​)

$$\sin45=\frac{h}{7}$$​ – из красного прямоугольного треугольника

$$​h=7\sin45​$$

$$​V=7\sin45\cdot1\cdot\sin45=3,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Функция $$y=f(x)$$ определена на промежутке (-3;7). На рисунке изображён график её производной $$y=f'(x).$$ Найдите число касательных к графику функции $$y=f(x),$$ которые наклонены под углом 150° к положительному направлению оси абсцисс.

Ответ: 3
Скрыть

$$f'(x_0)=\tg150=\tg(180−30)=−\tg30=−\frac{1}{\sqrt{3}}$$​

Строим прямую $$​y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и считаем кол-во точек пересечения с графиком - 3

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Автомобиль, масса которого равна $$m = 2160$$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $$t$$ секунд остается неизменным, и проходит за это время путь $$S = 500$$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $$F = \frac{2mS}{t^2}.$$ Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила $$F,$$ приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.
Ответ: 30
Скрыть

$$2400=\frac{2\cdot2160\cdot500}{t^2}$$

$$t=30 (t>0)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Два станка одновременно начали штамповать детали с производительностью 70 деталей в минуту каждый. Через час пустили в работу третий станок. В этот момент первый станок снизил свою производительность на 10 деталей в минуту. Через некоторое время на третьем станке было сделано столько деталей, сколько было к этому моменту на первом, а еще через 3,5 часа он сравнялся по числу сделанных деталей со вторым. Найти производительность работы третьего станка (в деталях в минуту).
Ответ: 80
Скрыть

Пусть $$p_3$$ - производительность работы третьего станка.

$$70\cdot60=4200$$​ каждый напечатает за час.

Составим уравнение исходя из условия:

$$\frac{4200}{p_3-70}-\frac{4200}{p_3-60}=3,5\cdot60$$

$$\frac{4200}{p_3-70}​$$ – это время, через которое 3-ий станок сравняется со 2-ым.

$$\frac{4200}{p_3-60}$$ – это время, через которое 3-ий станок сравняется с 1-ым.

Откуда ​$$p_3=80$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображены графики функций $$f(x)=5x+9$$ и $$g(x)=ax^2+bx+c,$$ которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Ответ: 6
Скрыть

$$3=4a+2b+c​$$

$$​−3=a−b+c​$$

$$​−1=4a−2b+c$$​

Откуда ​$$g(x)=x^2+x+1​$$

$$​f(x)=g(x)$$​

​$$5x+9=x^2+x−3​$$

​$$x=−2$$ – абсцисса точки А

​$$x=6​$$ – абсцисса точки В

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?
Ответ: 0,192
Скрыть

Всего два благоприятных исхода

1) Маша купит 2 киндера, в первом не будет новой принцессы, а во второй будет новая принцесса

2) Маша купит 3 киндера, в первых двух не будет новой принцессы, а в третьем будет новая прицнесса

$$​P(A_1)=0,2$$ – нет новой принцессы

$$​P(A_2)=0,8$$ – выпала новая принцесса

​$$P(A+B)=P(A)+P(B)=0,2\cdot0,8+0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,192$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=6x-3\sin x-5\pi$$ на отрезке $$[\frac{5\pi}{6};\frac{3\pi}{2}]$$
Ответ: -1,5
Скрыть

Найдём критические точки:

$$​y'=6-3\cos x​$$

$$6-3\cos x=0$$​

$$\cos x=2$$ - нет решений, т.к. множество значений косинуса $$[-1;1]$$

Значит наименьшее значение будет достигаться на отрезке

$$y(\frac{5\pi}{6})=-1,5$$​ – наименьшее значение

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$\frac{\cos x-1}{\cos x}+2\ctg x\cdot\sin x=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$$ Б)$$-\frac{5\pi}{3};-\frac{7\pi}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В основании прямой призмы KBCDK1B1C1D1 лежит ромб KBCD со стороной, равной 4 и углом DKB, равным 60o. Точки Е и F являются соответственно серединами сторон KD и КВ нижнего основания призмы. Прямые В1Е и D1F пересекаются в точке О так, что угол B1OD1 равен 90o.

А) Докажите, что угол между плоскостями DD1F и BB1E равен 60o

Б) Найдите объем пирамиды EFK1C1

Ответ: $$4\sqrt{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\log_5(\frac{81^{x^2}-2\cdot3^{2x^2}+4}{4\cdot2^{2x^2}-2^{2+x^2}+4})+3^{-\log_3(2\cdot2^{x^2}-1)}>2^{-\log_2(3^{2x^1}-1)}$$
Ответ: $$(-\infty;-\sqrt{\log_{4,5}2}),(\sqrt{\log_{4,5}2};\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3,6 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько тысяч рублей увеличится сумма всех выплат, если взять кредит с такими же условиями на 72 месяца?

Ответ: 648
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике АВС проведены ВК - медиана, ВЕ - биссектриса, AD - высота, известно, что прямые ВК и ВЕ делят отрезок AD на три равные части.

А) Докажите, что треугольник АВС - тупоугольный

Б) Найти длину стороны АС, если АВ=4

Ответ: $$\sqrt{13}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$\pi\cdot\cos(\pi^{2x-x^2})=a-\sqrt{3}\cdot\pi\cdot\sin(\pi^{2x-x^2})$$

имеет ровно одно решение.

Ответ: $$-\pi$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

$$S_n$$ - сумма первых $$n$$ членов непостоянной бесконечной арифметической прогрессии $$a_1, a_2,..., a_n,...,$$ состоящей из натуральных чисел $$(S_1=a_1)$$

А) Существует ли такая арифметическая прогрессия указанного вида, что $$S_6 = 1980?$$

Б) Существует ли такая арифметическая прогрессия указанного вида, что для некоторого натурального числа $$n$$ имеют место равенства $$S_n=350$$ и $$S_{n+2}=625?$$

В) Сколько существует таких натуральных чисел $$n,$$ для каждого из которых существует такая арифметическая прогрессия указанного вида, что имеет место равенство $$S_n=625?$$

Ответ: А) да, Б) нет, В) 5 при $$n=1;2;5;10;25$$