Перейти к основному содержанию

ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 205

Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 209. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 205 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 209. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 205 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Одна таблетка лекарства весит 40 мг и содержит 6% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,2 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 6 кг в течение суток?

Ответ: 3
Скрыть

$$40 - 100$$ % $$x - 6$$ % $$x=\frac{40\cdot6}{100}=2,4$$ $$6\cdot1,2=7,2$$ мг - надо ребенку $$\frac{7,2}{2,4}=3$$ таблетки

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его
оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат – крутящий момент в Н∙м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v = 0,036n, где n -число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 140 Н∙м? Ответ дайте в километрах в час.

 

Ответ: 90
Скрыть

140 Н·м $$\rightarrow$$ 2500 об/мин

$$V=0,036\cdot2500=90$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

 

Ответ: 3
Скрыть

$$S=\frac{1}{2}\cdot ah=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 12 спортсменов из России, в том числе Святослав Кашин. Найдите вероятность того, что в первом туре Святослав Кашин будет играть с каким‐либо бадминтонистом из России.

Ответ: 0,44
Скрыть

11 человек из РФ, кроме Кашина. Всего 25 кроме него.
$$P=\frac{11}{25}=0,44$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения: $$\log_{\frac{1}{4}}(12-4x)=-3$$

Ответ: -13
Скрыть

$$\log_{\frac{1}{4}}(12-4x)=-3$$
$$12-4x=(\frac{1}{4})^{-3}=64$$
$$-4x=52$$
$$x=-13$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, угол A равен 30°, AB = 94. Найдите BH.

 

Ответ: 23,5
Скрыть

$$\bigtriangleup ABC$$: $$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 94=47$$
$$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup CHB\Rightarrow \angle A=\angle CHB$$
$$\bigtriangleup CHB: HB=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}\cdot 47=23,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график функции $$y=f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите
эту точку.

 

Ответ: 2
Скрыть

2 - т.к. там функция возрастает $$\Rightarrow$$ производная положительная;
в -1 тоже возрастает, но если провести касательную, то угол будет меньше, чем в $$x=2$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА1.

 

Ответ: 1,5
Скрыть

$$S_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot h$$
$$S_{ABDA_{1}}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot S_{ABCD}\cdot h=\frac{9}{6}=1,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$\frac{\log_{9}10}{\log_{9}11}+\log_{11}0,1$$

Ответ: 0
Скрыть

$$\frac{\log_{9}10}{\log_{9}11}+\log_{11}0,1=$$
$$=\log_{11}10+\log_{11}0,1=\log_{11}(10\cdot 0,1)=\log_{11}1=0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связаны соотношением $$p_{1}V_{1}^{1,4}=p_{2}V_{2}^{1,4}$$, где p1 и p2 - давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, V1 и V2 - объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 243,2 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Ответ: 7,6
Скрыть

$$p_{1}V_{1}^{1,4}=p_{2}V_{2}^{1,4}$$
$$243,2^{1,4}\cdot 1=V_{2}^{1,4}\cdot 128$$
$$(\frac{243,2}{V_{2}})^{1,4}=128=2^{7}$$
$$(\frac{243,2}{V_{2}})^{\frac{7}{5}}=2^{7}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{243,2}{V_{2}}=2^{5}=32$$
$$V_{2}=7,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Ответ: 36
Скрыть

Пусть х - масса первого $$\Rightarrow$$ $$0,05x$$ - масса меди в нем $$x+9$$ - масса второго $$\Rightarrow$$ $$0,13(x+5)$$ - масса меди в нем.
$$0,05x+0,13(x+9)=0,1(x+x+9)$$
$$0,05x+0,13x+1,17=0,2x+0,9$$
$$0,18x-0,2x=-0,27$$
$$-0,02x=-0,27$$
$$x=13,5$$ $$\Rightarrow$$ $$2\cdot 13,5+9=36$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку минимума функции $$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$ принадлежащую промежутку $$(0; \frac{\pi}{2})$$

Ответ: 1,5
Скрыть

$$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$  $${y}'={(6-4x)}'\cos x+(6-4x){(\cos x)}'+{(4\sin x)}'=$$ $$=-4cos x-\sin x(6-4x)+4cos x=-\sin x(6-4x)$$

$$\sin x=0$$ $$(6-4x)=0$$
$$x=\pi n, n\in Z$$ $$x=1,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Дано уравнение $$\sin x=\cos (\frac{\pi}{3}-x)$$ .
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ 4\pi; \frac{16\pi}{3}\right ]$$.

Ответ:
Скрыть

$$\sin x=\cos (\frac{\pi}{3}-x)$$
$$\cos (\frac{\pi}{2}-x)-\cos (\frac{\pi}{3}-x)=0$$
$$-2\sin x\frac{\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{3}+x}{2}\sin x\frac{\frac{\pi}{2}-x+\frac{\pi}{3}-x}{2}=0$$
$$\sin (\frac{5\pi}{6}-2x)=0$$
$$\frac{5\pi}{6}-2x=\pi n, n\in Z$$
$$-2x=-\frac{5\pi}{6}+\pi n, n\in Z$$
$$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n, n\in Z$$
$$x=\frac{5\pi}{12}+4\pi=\frac{53\pi}{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В
перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.
А) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Ответ: $$12\sqrt{6}$$
Скрыть

а) $$BK\perp AC$$ - ?

$$BK\perp DP$$ - по условию $$\Rightarrow$$ $$KO\perp DB$$ (по построению) $$\Rightarrow$$ DB проекция KB на (ABCD) $$\Rightarrow$$, т.к. ABCD - квадрат, $$DB\perp AC$$ по теореме о трех перпендикулярах $$BK\perp AC$$

ч.т.д.

б) $$PH=6$$, $$AB=BC=6$$

 Найти: $$S_{BNKL}$$ - ?

1) Введем ортогональную систему координат X0YZ.

2) $$\vec{DP}\perp (BNKL)$$ - это нормаль;

$$\vec{HP}\perp (ABCD)$$ - это нормаль; $$\Rightarrow$$

угол между (BNKL) и (ABCD)=углу между $$\vec{HD}$$ и $$\vec{DP}$$

3) $$\vec{HP}\parallel OZ$$ $$\Rightarrow$$ $$\vec{HP}\left \{ 0; 0; 6 \right \}$$

$$\left.\begin{matrix}P\left \{ 0; 0; 6 \right \}\\D\left \{ -3\sqrt{2}; 0; 0 \right \}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$

$$\vec{DP}\left \{ 3\sqrt{2}; 0; 6 \right \}$$

$$\cos$$ угла между $$(\vec{HD};\vec{DP})=\frac{\left | 0\cdot3\sqrt{2}+0\cdot0+6\cdot6\right |}{\sqrt{0^{2}+0^{2}+6^{2}}\cdot\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+0^{2}+6^{2}}}=$$

$$=\frac{36}{6\cdot\sqrt{54}}=\frac{6}{3\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$$

4) $$\frac{S_{BCOA}}{S_{BNKL}}=\cos$$ угла между $$(\vec{HD}; \vec{DP})=\frac{2}{\sqrt{6}}$$

$$\sin$$ угла между $$(\vec{HD};\vec{DP})=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{DK}{DB}$$ $$\Rightarrow$$ $$DK=DB\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 6\sqrt{2}=2\sqrt{6}$$

5) $$\sin$$ угла между $$(\vec{HD}; \vec{DP})=\cos KDO=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$DO=DK\cdot \cos KDO=2\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$OH=\sqrt{2}$$; $$BO=4\sqrt{2}$$

6) $$KO=4$$ $$\bigtriangleup KOB\sim \bigtriangleup JHB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{KO}{JH}=\frac{OB}{HB}$$ $$\Rightarrow$$ $$JH=3$$ $$\Rightarrow$$ $$JH=\frac{1}{2}PH$$ $$\Rightarrow$$  $$LN=\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}$$ 

$$KB=\sqrt{KO^{2}+OB^{2}}=4\sqrt{3}$$

$$S_{BNKL}=\frac{1}{2}KB\cdot LN=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{6}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{9}{\log_{2}(4x)}\leq 4-\log_{2}x$$

Ответ: $$(0; \frac{1}{4}) \cup \left \{ 2 \right \}$$
Скрыть

$$\frac{9}{\log_{2}(4x)}\leq 4-\log_{2}x$$
$$\left\{\begin{matrix}\log_{2}(4x)\neq 0\\4x> 0\\x> 0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}4x\neq 1\\x> 0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x\neq 0,25\\x> 0\end{matrix}\right.$$
$$\frac{9}{2+\log_{2}x}\leq 4-\log_{2}x$$
$$\log_{2}x=y$$
$$\frac{9}{2+y}\leq 4-y$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{9-(8-2y+4y-y^{2})}{2+y}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1-2y+y^{2}}{2+y}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{2+y}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}y-1=0\\y+2 $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x=1\\\log_{2}x $$\left\{\begin{matrix}x=2\\x