375 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.

$$\log_{2022^{-2}}x+\log_{2022}(2022^2\cdot x)=3\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\log_{2022}x+\log_{2022}2022^2+\log_{2022}x=3\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\log_{2022}x+2=3\Leftrightarrow \log_{2022}x=2\Leftrightarrow x=2022^2=4088484$$

$$P(A)=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}\approx0,33$$

Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы его противолежащих сторон равны.

В нашем случае $$AB : BC = 3 : 7, AD : CD = 5 : 9$$ это отношение частей сторон и выполняется равенство $$AB+CD=3+9=12$$ и$$ BC+AD=7+5=12.$$

На сумму двух сторон приходится $$\frac{1}{2}\cdot2022=1011$$

Пусть одна часть $$x,$$ тогда $$12х=1011\Rightarrow х=84,25.$$

Самая маленькая сторона состоит из трёх частей и равна $$3\cdot84,25=252,75$$

$$\sin^2 1752^{\circ}=\sin^2(1800^{\circ}-48^{\circ})=\sin^2 48^{\circ}$$

$$\sin^2 2022^{\circ}=\sin^2(1980^{\circ}+42^{\circ})=\sin^2 42^{\circ}=\sin^2(90^{\circ}-48^{\circ})=\cos^2 48^{\circ}$$

Получим: $$\sin^2 48^{\circ}+\cos^2 48^{\circ}=1$$

ОА₁ — проекция РА₁, поэтому ОА₁ ⊥ ВС. Значит OA₁ — расстояние от точки О до BC. Аналогично ОВ₁ и ОС₁ — расстояние от точки О до АС и AB соответственно. Но по теореме Пифагора:

$$OB_1=\sqrt{PB_1^2-PO^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8,$$

аналогично ОА₁ и ОС₁ равны 9 см. Но это и означает, что О — центр вписанной окружности. 

Площадь треугольника S вычисляется через радиус r вписанной окружности и полупериметр p по следующей формуле:

$$S=pr=8\cdot1011=8088$$

$$(10x+b)'=(x^4-22x+2022)'\Leftrightarrow 10=4x^3-22\Leftrightarrow 4x^3=32\Rightarrow x^3=8\Rightarrow x=2$$

Получим: $$10\cdot2+b=2^4-22\cdot2+2022\Rightarrow b=1974$$

$$A=202200\Leftrightarrow q(p-v)-f=202200\Leftrightarrow q(400-200)-500000=202200\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow q=3511$$

За $$x$$ принимаем скорость туда. За $$x+6$$ принимаем скорость обратно. 10 минут - это $$\frac{1}{6}$$ часа. Составляем уравнение времени:

$$\frac{120}{x}=\frac{120-x}{x+6}+\frac{1}{6}+1.$$

$$120\cdot(x+6)=x\cdot(120-x)+7\cdot\frac{x^2+6x}{6}.$$

$$120x+720-120x+x^2-\frac{7\cdot(x^2+6x)}{6}=0.$$

$$720\cdot6+6x^2-7x^2-42x=0.$$

$$4320-x^2-42x=0.$$

$$x^2+42x–4320=0.$$

$$x = 48$$ км/час.

График проходит через $$(1;2), (-3;6), (-5;-4).$$ Получим:

$$\left\{\begin{matrix} 2=\frac{k+a}{1+b}\\ 6=\frac{-3k+a}{-3+b}\\ -4=\frac{-5k+a}{-5+b} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2+2b=k+a\\ -18+6b=-3k+a\\ 20-4b=-5k+a \end{matrix}\right.$$

Вычтем второе из первого и третьего:

$$\left\{\begin{matrix} 20-4b=4k\\ 38-10b=-2k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 5-b=k\\ -19+5b=k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 24-6b=0\\ 5-b=k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=4\\ k=1 \end{matrix}\right.$$

Тогда:

$$2+2\cdot4=1+a\Rightarrow a=9$$

Во втором изначально одинаковое количество. Чтобы это сохранить, надо взять 1 для мальчиков (3 из 5) и 1 для девочек (2 из оставшихся после забора подарка 4). Получим:

$$\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}.$$

Можно взять сначала для девочки (2 из 5), потом для мальчика (3 из 4):

$$\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10}.$$

Оба исхода удовлетворяют: $$\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=0,6.$$

$$y'=(\sqrt{2022}^{12x^2-x^3-254})'=(2022^{6x^2-\frac{x^3}{2}-127})'=$$

$$=2022^{6x^2-\frac{x^3}{2}-127}\cdot\ln2022\cdot(6x^2-\frac{x^3}{2}-127)'=0$$

$$\Rightarrow (6x^2-\frac{x^3}{2}-127)=0$$

$$f(x)=12x-\frac{3}{2}x^2=0\Leftrightarrow \frac{3}{2}x(8-x)=0\Rightarrow x=0;8$$

$$f(1)=\frac{3}{2}\cdot7>0$$

$$f(-1)=\frac{3}{2}\cdot(-1)\cdot9<0\Rightarrow x=0$$ - min

$$f(9)=\frac{3}{2}\cdot9\cdot(-1)<0\Rightarrow x=8$$ - max

$$y(8)=(\sqrt{2022})^{12\cdot64-512-254}=(\sqrt{2022})^2=2022$$