360 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.

$$10^{x^2−3}=10^{−2}\cdot10^{3(x−1)}$$​

$$​x^2−3=3(x−1)−2​$$

$$​x^2−3x+2=0​$$

$$​x=1​$$

$$​x=2$$

Всего $$6\cdot6=36$$​ вариантов

Благоприятные {1,1},{1,2},{2,1} – 3 исхода

$$​P(A)=\frac{3}{36}\approx0,08$$

Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны.

Значит, по теореме Пифагора:

$$(17x)^2=(5x+6)^2+(12x+6)^2$$, $$(r=6)$$

Решаем квадратное уравнение:

$$\left\{\begin{matrix} x=-\frac{3}{10}\; -\; не\; подходит\; x>0\\ x=2 \end{matrix}\right.$$

$$AC=17x=17\cdot2=34$$

$$\frac{a}{b}=4$$​

$$\log_{16}a−\log_{16}b=\log_{16}\frac{a}{b}=\log_{16}4=0,5$$

Пусть сторона основания $$a$$

$$OM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$

$$SO=\frac{a\sqrt{3}\cdot\sqrt{23}}{6}=\frac{a\sqrt{69}}{36}$$

$$OC=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

$$SO^2+OC^2=225$$

$$\frac{69a^2}{36^2}+\frac{3a^2}{9}=225$$

$$15=\sqrt{\frac{69a^2}{36}+\frac{3a^2}{9}}$$

$$\sqrt{\frac{81a^2}{36}}=15$$

$$a=10$$

$$f'(3)=1$$​ и по геометрическому смыслу производной

$$\tg\alpha=1\Rightarrow$$ угол $$45^{\circ}$$

$$1000\cdot10\cdot\frac{4}{3}\cdot3,14\cdot R^3\leq1130400​$$

$$​R\leq3$$

Пусть ​$$A$$ ​- сколько было в бутыли, $$​x$$ - сколько отлили

$$​0,25A−0,25x=0,12A​$$

отсюда ​$$\frac{x}{A}=0,52$$​ – это и есть часть раствора, которая была заменена водой

Составим систему (на рисунке отмечены точки, которые нужно брать)

$$\left\{\begin{matrix} -1=b+\log_a4\\ -2=b+\log_a2 \end{matrix}\right.$$

Вычтем одно из другого

$$\log_a4−\log_a2=1$$​

$$\log_a2=1​$$

$$​a=2​$$

$$​b=−2−\log_22=−3$$​

$$​f(x)=−3+\log_2x$$​

$$​f(32)=−3+\log_232=−3+5=2$$

Тут легче найти обратное.

$$P(B)=0,1\cdot0,1\cdot0,1​$$ – все продавцы будут заняты делом

$$P_{иск}=1−0,1^3=0,999$$

Пусть $$t=\frac{5x^2+2}{3x^2+20}​$$

$$f(t)=t+\frac{1}{t}$$​

​$$f'(t)=1−\frac{1}{t^2}$$​

Найдем критические точки:

$$f'(t)=0$$​

$$\frac{t^2−1}{t^2}=0​$$

$$​t=−1$$​ – точка максимума

$$​t=1​$$ – точка минимума

$$​t=0​$$

$$​y(1)=2$$