Перейти к основному содержанию

237 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 237 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №237 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 237 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №237 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 120 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

Ответ: 75
Скрыть

Скорость автомобиля : $$v=\frac{120}{1,6}=75$$ миль в час

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших  в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по  вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах.  Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по  рисунку, сколько дней за данный период не выпадало осадков.

Ответ: 3
Скрыть

Отсутствовали осадки 12,14 и 16 числа, то есть 3 дня

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён  треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Ответ: 2,5
Скрыть

Проведем диаметр данной окружности - он будет равен 5, следовательно, радиус равен 2,5

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

При изготовлении подшипников диаметром 61 мм вероятность того, что диаметр  будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,976. Найдите  вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 60,99  мм, или больше, чем 61,01 мм.

Ответ: 0,024
Скрыть

Вероятность того, что будет отличаться менее, чем на 0,01 составляет 0,976, следовательно, вероятность противоположного события, что отличаться будет более чем на 0,01: $$P=1-0,976=0,024$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$36^{2x+1}=\frac{1}{6}$$

Ответ: -0,75
Скрыть

$$36^{2x+1}=\frac{1}{6} \Leftrightarrow$$$$(6^{2})^{2x+1}=6^{-1} \Leftrightarrow$$$$4x+2=-1\Leftrightarrow$$$$4x=-3|:4 \Leftrightarrow$$$$x=-0,75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Один из углов прямоугольного треугольника  равен 69°. Найдите угол между высотой и  биссектрисой, проведёнными из вершины прямого  угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 24
Скрыть

$$\angle CHB=69^{\circ} \Leftrightarrow \angle HCB = 90 - 69 = 21^{\circ}$$ (CHB - прямоугольный)
$$\angle DCB = \frac{90}{2}=45^{\circ}$$ (CD - биссектриса)
$$\angle DCH = 45-21=24^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и  касательная к нему в точке с абсциссой $$x_{0}$$. Найдите  значение производной функции $$y'=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$.

Ответ: 1,5
Скрыть

Значение производной в точке равно значению тангенса угла между касательной, проведенной в эту точку, и осью ОХ. Достроим треугольник прямоугольный как показано на рисунке:

$$tg \angle BAC = \frac{BC}{AC}=\frac{9}{6}=1,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12,  отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей  через вершину пирамиды и среднюю линию основания.  Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Ответ: 3
Скрыть

Объем пирамиды находится как треть произведения площади основания пирамиды на высоту. У начальной и отсеченной пирамиды высота будет одинаковая, различаться будут площади основания. Треугольник MNC подобен треугольнику ABC (MN - средняя линия), и коэффициент подобия у данных треугольников $$\frac{1}{2}$$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
$$\frac{S_{MNC}}{S_{ABC}}=(\frac{1}{2})^{2}$$
$$S_{MNC}=\frac{1}{4}S_{ABC}$$
Тогда и $$V_{MNCS}=\frac{1}{4}S_{ABCS}=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\log_{2}5\cdot\log_{5}0,25$$

Ответ: -2
Скрыть

$$\log_{2}5\cdot\log_{5}0,25=$$$$\log_{2}5\cdot\log_{5}2^{-2}=$$$$\log_{2}5\cdot (-2)\log_{5}2=$$$$-2\cdot \log_{2}5\cdot \frac{1}{\log_{5}2}=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В розетку электросети подключен прибор, общее сопротивление которого 80 Ом.  Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель.  Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление этого обогревателя, если  известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1  и R2 сопротивление задается формулой  $$R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$, а для нормальной работы  электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 30 Ом.  

Ответ: 48
Скрыть

Подставим известные значения в уравнение:
$$30=\frac{80\cdot R_{2}}{80+R_{2}} \Leftrightarrow$$$$30\cdot (80+R_{2})=80\cdot R_{2} \Leftrightarrow$$$$2400+30\cdot R_{2}=80\cdot R_{2} \Leftrightarrow$$$$2400=50\cdot R_{2} |:50 \Leftrightarrow$$$$R_{2}=48$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из города A в город B выехал  первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со  скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если  автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A. Ответ дайте в км/ч.  

Ответ: 60
Скрыть

Расстояние от города B: $$S_{B}=450-240=210$$км
Время авто из города B: $$\frac{210}{70}=3$$ч
Время авто из города A: $$3+1=4$$ч
Скорость авто из города А: $$\frac{240}{4}=60$$км\ч

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=(x-4)^{2}\cdot e^{x}$$

Ответ: 2
Скрыть
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:
$$y'=((x-4)^{2})'e^{x}+(e^{x})'(x-4)^{2}=0$$
$$y'=2(x-4)e^{x}+e^{x}(x-4)^{2}=0$$
$$e^{x}(x-4)(2+x-4)=0$$
$$x=4 ; x=2$$
Начертим координатную прямую, отметим полученные точки и расставим знаки, которые принимает производная на полученных промежутках.
Тогда x=2 - точка максимума
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Дано уравнение $$2\cdot8^{\cos(\frac{3\pi}{2}+x)}=(\frac{1}{2})^{\cos2x}$$
А) Решите уравнение.  
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$$
Ответ: a)$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n , n \in Z $$ б)$$\frac{19\pi}{6}$$
Скрыть
a) $$2\cdot8^{\cos(\frac{3\pi}{2}+x)}=(\frac{1}{2})^{\cos2x}\Leftrightarrow$$$$2\cdot(2^{3})^{\sin(x)}=(2^{-1})^{\cos2x}\Leftrightarrow$$$$2^{1+3\sin x}=2^{-\cos 2x}\Leftrightarrow$$$$1+3\sin x +\cos 2x=0\Leftrightarrow$$$$1+3\sin x +1 - 2\sin^{2} x=0\Leftrightarrow$$$$2\sin ^{2} x - 3\sin x -2=0\Leftrightarrow$$
$$D=9+16=25=5^{2}$$
$$\sin x_{1}=\frac{3+5}{4}=2 \Leftrightarrow \varnothing $$
$$\sin x_{2}=\frac{3-5}{4}=-0,5 \Leftrightarrow$$$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n , n \in Z$$
б) Начертим единичную окружность и отметим полученные корни и данный отрезок на ней:
Как видим $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$ попадает в данный отрезок. Чтобы найти частный случай этого корня мы должны к $$3\pi$$ прибавить $$\frac{\pi}{6}$$. Тогда получим $$\frac{19\pi}{6}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В конусе с вершиной в точке Р высота $$PO=\sqrt{7}$$. В его основании проведена  хорда АВ, отстоящая от точки О на расстоянии, равном 3. Известно, что радиус  основания конуса равен 5.  

А) Докажите, что расстояние от точки Р до прямой АВ вдвое меньше длины отрезка АВ.  

Б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды РОАВ.  

Ответ: $$\frac{2}{3}\sqrt{43}$$
Скрыть

А) 1) Пусть $$(PC)\perp (AB)$$, $$c \in (AB)$$, тогда по теореме о 3-х перпендикулярах: $$(OC)\perp (AB)$$, $$\left | OC \right |=3$$

   2) Из $$\Delta OPC:\left | PC \right |=\sqrt{\left | PO \right |^{2}+\left | OC \right |^{2}}=4$$

   3) С другой стороны : $$\left | AB \right |=2\left | BC \right |=8=2\left | PC \right |$$ ($$\Delta BOC$$ - равнобедренный, соедовательно, высота является еще и медианой)

Б) 1) Пусть Q-центр сферы, описанной около пирамиды  POAB . Тогда , в силу симметрии, $$Q \in (OPC)$$. Пусть $$D \in (OP)$$, $$\left | PD \right |=\left | DO \right |$$, тогда $$\left | OQ \right |:{2} (QD)\perp (PO)$$ . Так как $$(AB)\perp (OCP)$$ и $$\left | CB \right |=\left | AC \right |$$, то $$(OD)\left | \right |(CO)$$

     2) Рассмотрим систему координат :O- начало, ось Oz-вдоль [OP], (Ox) вдоль [OC), $$(Oy)\left | \right |[BA)$$. Тогда :

$$Q=(x;0;\frac{\sqrt{7}}{2})$$;$$O=(0;0;0)$$;$$A=(3;4;0)$$

Отсюда: $$x^{2}+\frac{7}{4}=R^{2}=(x-3)^{2}+4^{2}+\frac{7}{4}\Leftrightarrow$$ $$(x-x+3)(2x-3)=16\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{25}{6}\Rightarrow$$ $$R^{2}=\frac{625}{36}+\frac{7}{4}=$$$$\frac{172}{9}\Rightarrow$$ $$R=\frac{2}{3}\sqrt{43}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{(\log_{2}x^{4}+1)\cdot(\log_{2}x-3)-\log_{2}x+2}{\log_{2}^{2}x-5\cdot\log_{2}x+6}\geq\frac{\log_{2}^{2}x-\log_{2}x^{3}+1}{3-\log_{2}x}$$

Ответ: $$x \in \left \{ \frac{1}{2} \right \} \cup (4;8) \cup (8; +\infty)$$
Скрыть

Найдем ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\log_{2}^{2}x-5\cdot\log_{2}x+6\neq 0\\3-\log_{2}x\neq 0\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} \log_{2}x\neq 2\\ \log_{2}x\neq 3\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\neq 4\\ x\neq 8\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in(0;4)\cup (4;8)\cup (8;+\infty )$$

Введем замену: $$\log_{2} x = y$$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{(4y+1)\cdot(y-3)-y+2}{y^{2}-5y+6}\geq\frac{y^{2}-3y+1}{3-y}\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y+y-3-y+2}{(y-3)(y-2)}-\frac{y^{2}-3y+1}{-(y-3)}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y-1}{(y-3)(y-2)}+\frac{(y^{2}-3y+1)(y-2)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y-1+y^{3}-2y^{2}-3y^{2}+6y+y-2}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{y^{3}-y^{2}-5y-3}{(y-3)(y-2)}\geq 0$$

Рассмотрим числитель данной дроби. Методом подбора найдем корень (рассматривая целочисленные делители свободного члена, то есть (-3): получим, что $$y=-1$$ является корнем, выделим данный множитель (метод деления вы можете найти в видео, прикрепленному к данному варианту):

$$\frac{(y+1)(y^{2}-2y-3)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{(y+1)(y-3)(y+1)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$
$$\frac{(y+1)^{2}}{y-2}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\left [ \begin{matrix}y\geq 2\\ y=-1\end{matrix}\right.$$

Вернемся к обратной замене:

$$\left [ \begin{matrix}\log_{2}x \geq 2\\ \log_{2}x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left [ \begin{matrix}x \geq 4\\ x=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

C учетом ОДЗ получаем:
$$x \in \left \{ \frac{1}{2} \right \} \cup (4;8) \cup (8; +\infty)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О –  центр описанной окружности, точка К – середина ВС.  

А) Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК.  
Б) Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ=5, ВС=6, АС=7.
Ответ: $$\frac{\sqrt{310}}{8}$$
Скрыть

   А) 1) Пусть О - центр окружности описанной около $$\Delta ABC$$, тогда OK и ON - серединные перпендикуляры к BC и AC. KN - средняя линия, следовательно, $$KN=\frac{1}{2}AB$$, $$KN \parallel AB$$. 

     2) $$BC\perp AC$$, $$ON\perp AC$$, $$AH\perp BC$$, $$OK\perp BC$$$$\Rightarrow$$ $$BH\parallel ON$$, $$AH\parallel OK$$. $$\Delta AHB\sim \Delta KON$$, т.к. $$\angle 1=\angle 2$$, $$\angle 3=\angle 4$$. Следовательно, $$\frac{AH}{OK}=\frac{AB}{KN}=\frac{2}{1}$$. следовательно, $$AH=2OK$$

   Б) 1) Найдем площадь треугольника ABC: $$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=6\sqrt{6}$$. OC - радиус описанной окружности, следовательно, $$R=\frac{AB*BC*AC}{4S_{ABC}}=\frac{35}{4\sqrt{6}}$$. 

     2) $$CN=0,5AC=3,5$$, $$ON=\sqrt{OC^{2}-CN^{2}}=\frac{7}{4\sqrt{6}}$$, $$BH=2ON$$

     3) Пусть $$OT \parallel AC$$, тогда $$HT=BB_{1}-3ON$$, $$AC*BB_{1}=2S_{ABC}=12\sqrt{6}$$, следовательно, $$BB_{1}=\frac{12\sqrt{6}}{7}$$, $$HT=\frac{141}{28\sqrt{6}}$$

     4) Из $$\Delta BB_{1}C:$$ $$B_{1}C=\sqrt{BC^{2}-BB_{1}^{2}}=\frac{30}{7}$$, тогда $$TO=B_{1}N=B_{1}C-CN=\frac{11}{14}$$

     5) Из $$\Delta HTO$$: $$OH=\sqrt{HT^{2}+TO^{2}}=\frac{\sqrt{310}}{8}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В 2016 году в НИИ «Наномир» работали 20 сотрудников: директор, пять его заместителей, 12 инженеров и две уборщицы. Среднемесячная зарплата директора составляла 500 тыс. руб., зама – 200 тыс. руб., инженера 50 тыс. руб., уборщицы – 25 тыс. руб.

С 1 января 2017 года 4 инженера ушли на заслуженный отдых. Чтобы сохранить  среднюю зарплату по НИИ на уровне прошлого года, директор решил изменить  зарплату только у своих замов.

В конце 2017 года неожиданно выяснилось, что годовой фонд заработной  платы НИИ, сформированный в объеме прошлого года, оказался выбран не  полностью. В связи с этим все оставшиеся на счету фонда деньги директор перечислил  себе в качестве премии.

Определите:  

а) среднюю зарплату по НИИ в 2017 году;  

б) на сколько % изменилась (увеличилась или уменьшилась) зарплата заместителей  директора НИИ в 2017 году;  

в) размер премии, полученной директором НИИ в конце 2017 года

Ответ: а) 107,5 тысяч б)23% в)5160 тысяч
Скрыть

     Средняя зарплата в 2016: $$\frac{500+5*200+12*50+2+25}{20}=107,5$$ тысяч. Данная зарплата сохраняется и в 2017, только меняется количество людей и зарплата замов. Пусть она составляет х тысяч рублей, тогда:

     $$\frac{500+5*x+8*50*2*25}{16}=107,5|*16$$

     $$950+5x=1720$$

     $$x=\frac{1720-950}{5}=154$$ тысячи рублей.

     То есть их зарплата уменьшилась на $$200-154=46$$ тысяч рублей, что составляет : $$\frac{46}{200}*100=23$$ процента от первоначальной.

     В 2016 году в месяц общая зарплата составляла 2150 тысяч, в 2017 стала 1720 тысяч. То есть экономия в месяц $$2150-1720=430$$ тысяч. В таком случае после распила бюджета годовая премия составила: $$430*12=5160$$ тысяч (как у наших неуважаемых госдеятелей)

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $$4^{1-x^{2}}-3a^{2}\cdot2^{1-x^{2}}+3a^{3}-a^{2}=0$$ имеет ровно два корня

Ответ: $$(-\frac{2}{3}; 0)\cup (0 ;\frac{1}{3}]\cup {\frac{2}{3}}\cup (1;2)$$
Скрыть

В исходном уравнении $$4^{1-x^{2}}-3a^{2}*2^{1-x^{2}}+3a^{2}-a^{2}=0$$ выполним замену переменной $$t=2^{1-x^{2}}$$. Получим уравнение  $$t^{2}-3a^{2}t+3a^{3}-a^{2}=0$$. В этом уравнении $$t>0$$

Поскольку $$1-x^{2}\leq 1$$ имеем : $$2^{1-x^{2}}\leq 2\Leftrightarrow t\leq 2$$. Если $$x_{0}\neq 0$$ является корнем исходного уравнения, то и $$-x_{0}$$-также является его корнем. Следовательно, преобразовательное уравнение должно иметь ровно один корень в промежутке (0;2]. Более того, если 2- корень преобразованного уравнения , то исходное уравнение имеет нечётное количество корней , т.к. равенство $$2^{1-x^{2}}=2$$ выполняется только при $$x=0$$

1)Преобразованное уравнение имеет единственный корень при $$D=0$$, т.е. $$D=9a^{4}-12a^{3}+4a^{2}=a^{2}(3a-2)^{2}=0$$

При $$a=0$$ получаем $$t=0\notin (0;2)$$ . При $$a=\frac{2}{3}$$ получаем $$(t-\frac{2}{3})^{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}$$-решение задачи

$$a =\frac{2}{3}$$

2) Обозначим $$f(t)=t^{2}-3a^{2}+3a^{3}-a^{2}$$ и рассмотрим теперь промежуток (0;2) для значений корня преобразованного уравнения. Обозначим $$f(t)=t^{2}-3a^{2}t+3a^{3}-a^{2}$$

Для того, чтобы единственный корень этого уравнения попадал в указанный промедуток , досаточно, чтобы a\neq 0

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}f(0)>0\\f(2)<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}f(0)<0\\f(2)>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}(a-1)(a-2)(a+\frac{2}{3})<0\\a^{2}(a-\frac{1}{3})>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(a-1)(a-2)(a+\frac{2}{3})>0\\a^{2}(a-\frac{1}{3})<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Остается рассмотреть случай $$a=\frac{1}{3}$$. В этом случае преобразованное уравнение принимает

 Вид $$t(t-\frac{1}{3})=0$$, откуда $$t=\frac{1}{3}$$-единственный корень в промежутке (0;2) , т.е.

$$a=\frac{1}{3}$$-решение задачи

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

В ряду чисел $$3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15$$ на месте каждой звездочки поставили  знак «+» или «–» (по своему усмотрению) и подсчитали результат.  

А) Могло ли в результате вычисления получиться число 9?  

Б) Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?  В) В ряду чисел $$3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15$$ на месте каждой звездочки поставили знак  $$"\times"$$ или $$"\div"$$ (по своему усмотрению) и подсчитали результат.  Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?

Ответ: а)нет б)2 в)91
Скрыть

а) Пусть сумма всех чисел, у которых оказался знак "+" равна $$X$$, сумма всех чисел, у которых оказался знак "-" составляет $$Y$$. Сумма всех представленных чисел равна: $$3+4+5+6+12+13+14+15=72$$. Значит мы можем составить систему:
$$\left\{\begin{matrix}x+y=72\\x-y=9 \end{matrix}\right.$$
Сложим первое уравнение со вторым и получим: $$2x=81 \Leftrightarrow x=40,5$$. Но $$X$$ -сумма натуральных, он не может быть ненатуральным, следовательно, ответ на пункт а: "нет"
б) Аналогично рассуждая проверим минимальные натуральные значения, начиная от единицы:
$$\left\{\begin{matrix}x+y=72\\x-y=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$$$2x=73$$, следовательно вариант невозможен
$$\left\{\begin{matrix}x+y=72\\x-y=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$$$2x=74 \Leftrightarrow x=37$$. Найдем такой случай:
$$x=3+4+5+12+13=37$$. Значит ответ на пункт б "2"
в) Разобьем на простые множители все числа: $$3 ; 2^{2} ; 5 ; 2*3 ; 2^{2}*3 ; 13 ; 2*7 ; 3* 5$$. Если выпишем все множители, получим: $$2^{6} ; 3^{4} ; 5^{2} ; 7 ; 13$$. Как видим, 7 и 13 не имеют степени, остальные имеют четную степень, то есть можно подобрать такой вариант, когда степени сократятся. Но 7 и 13 однозначно останутся, причем оба числа в числителе, так как иначе получим ненатуральное значение. Найдем такой вариант:
$$\frac{12*13*14*15}{3*4*5*6}=\frac{2^{3}*3^{2}*5*7*13}{2^{3}*3^{2}*5}=91$$