353 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.

Если предположить, что при изменении ширины никакого конфликта при крое деталей палатки нет, то все дело сводится к расчету площади ткани, которая идет на 1 палатку. Если 120 м брезента идут на 6 палаток, то на 1 палатку будет затрачено:

$$120 : 6 = 20$$ м.

При ширине 1,2 м площадь ткани составит:

$$S = 1,2\cdot20 = 24$$ м².

При ширине брезента 1,5 м на 1 палатку потребуется:

$$24 : 1,5 = 16$$ м.

Учитывая, что палаток нужно сшить 4, то длина отреза ткани нужна в 4 раза большая:

$$16\cdot4 = 64$$ м.

Закрашенный сектор занимает $$\frac{1}{3}$$ части всего круга, следовательно, площадь круга, равна:

$$S=3\cdot27=81$$

Это уже более сложная задача, чем просто разделить "благоприятные" на общие случаи.

Здесь нужно аккуратно рассматривать события и лучше постараться их разделить на несовместные события, потому что несовместные события можно складывать.:

Нам надо посчитать вероятность что формула содержится не менее чем в двух справочниках.

Это может быть когда:

1) формула есть в 1 и 2 и 3 справочнике

2) формула есть в 1 и 2, а в 3 нет (это как раз несовместное событие с 1)

3) формула есть в 1 и 3, а в 2 нет (это как раз несовместное событие с 1 и 2)

4) формула есть в 2 и 3, а в 1 нет (это как раз несовместное событие с 1, 2 и 3)

И раз мы разложили полностью на несовместные события, то искомая вероятность будет суммой вероятностей этих событий.

Остается посчитать вероятность каждого перечисленного события.

Вероятность присутствия формулы в справочнике не зависит от вероятности присутствия формулы в других справочниках. А раз эти события независимы, то общая вероятность равно произведению этих вероятностей ("1+" - означает формула содержится в 1 справочнике; "1-" - формула отсутсвует в 1 справочнике; для других аналогично :

1) Р(1+;2+;3+) = 0,6•0,7•0,8 = 0,336

2) Р(1+;2+;3-) = 0,6•0,7•0,2 = 0,084 (вероятность присутствия формулы в 3 справочнике 0,8, значит вероятность отсутствия - 0,2)

3) Р(1+;2-;3+) = 0,6•0,3•0,8 = 0,144 (аналогично вероятность отсутствия формулы во 2 справочнике - 0,3)

4) Р(1-;2+;3+) = 0,4•0,7•0,8 = 0,224 (аналогично вероятность отсутствия формулы в 1 справочнике - 0,4)

Итого получаем вероятность присутствия формулы не менее чем в двух справочниках:

P = Р(1+;2+;3+) + Р(1+;2+;3-) + Р(1+;2-;3+) + Р(1-;2+;3+) = 0,336 + 0,084 + 0,144 + 0,224 = 0,788 $$\approx$$ 0,79

Тут прием “на сопряг”, т.е. умножаем на сопряженное выражение

$$\frac{\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}}{\sqrt{27+x}-\sqrt{27-x}}\cdot\frac{\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}}{\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}}=\frac{(\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x})^2}{27+x-27-x}$$

$$\frac{(\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x})^2}{27+x-27-x}=\frac{27}{x}$$

$$\frac{(\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x})^2}{2x}=\frac{27}{x}\cdot 2x\neq0$$

$$(\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x})^2=27\cdot2$$

$$|\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}|=\sqrt{2\cdot27}$$

1) $$​\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}=\sqrt{27\cdot2}$$

Возводим все в квадрат, можно не писать ОДЗ, т.к правая часть положительна

$$27+x+2\cdot\sqrt{27+x}\cdot\sqrt{27-x}+27-x=27\cdot2$$

$$2\cdot\sqrt{27+x}\cdot\sqrt{27-x}=0$$

Значит, $$​x=27​$$

$$​x=−27​$$

2) ​$$\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}=-\sqrt{27\cdot2}$$

Здесь нет решений, т.к. корень это величина неотрицательная

Если четырехугольник можно вписать в окружность, то суммы противоположных сторон равны друг другу

$$​3+x=10+8​$$

​$$x=15​$$

Зная все стороны, мы знаем периметр и полупериметр.

Теперь вспоминаем формулу Герона

$$​p=\frac{10+3+8+15}{2}​=18$$

$$​S=\sqrt{(p−10)(p−3)(p−8)(p−15)}=60$$

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.

$$y'(x_0)=\tg(180^{\circ}-\alpha)=-\tg\alpha=-\frac{1}{4}=-0,25$$.

$$H_1H_2||AB​$$

$$​H_1H_2=\frac{AB}{2}​$$

медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, значит из подобия треугольник $$SH_1H_2$$ и $$SA_1B_1$$ можно найти $$​A_1B_1=k\cdot H_1H_2$$​, $$k=\frac{2}{3}$$​ – коэффициент подобия треугольников

​$$A_1B_1=\frac{2}{3}\cdot\frac{AB}{2}=\frac{AB}{3}$$​

Аналогичные рассуждения можно провести с остальными сторонами пирамиды.

Значит все ребра пирамиды будут в 3 раза меньше ребер исходной пирамиды и отсюда следует, что объем искомой пирамиды будет в ​$$q^3$$, где $$​q=3​$$ – (коэффициент подобия) раза меньше объема исходной пирамиды

$$​V_{иск}=\frac{V}{27}=5$$

$$1\cdot24^{1,4}=128\cdot V^{1,4}$$

$$24^{\frac{7}{5}}=2^7\cdot V^{\frac{7}{5}}$$

$$24^{\frac{1}{5}}=2\cdot V^{\frac{1}{5}}$$

Возведем обе части уравнения в 5 степень

$$24 = 32\cdot V$$

$$V = \frac{24}{32}$$

$$V = 0,75$$

Пусть скорость третьего автомобиля равна $$x$$ км / ч.

Допустим, что третий автомобиль догнал второй через $$y$$ часов. Получаем уравнение:

$$x\cdot y = 40\cdot(y + 0,5)$$.

Так как третий автомобиль догнал первый на 1,5 часа позже, то получаем следующее уравнение:

$$x\cdot (y +1,5) = 50\cdot (y + 0,5 + 1,5) = 50\cdot (y + 2)$$.

Выразим из первого уравнения значение $$x$$:

$$x\cdot y = 40\cdot y + 20$$,

$$x = \frac{40\cdot y + 20}{y}$$.

Подставим это значение $$x$$ во второе уравнение:

$$\frac{40y + 20}{y}\cdot (y + 1,5) = 50\cdot (y + 2)$$,

$$40y^2 + 60y + 20y + 30 = 50y^2 + 100$$,

$$-10y^2 - 20y + 30 = 0$$,

$$-y^2 - 2y + 3 = 0$$,

Найдём дискриминант уравнения:

$$D = 4 - 4\cdot (-1)\cdot 3 = 4 + 12 = 16$$, значит $$y = \frac{2 + 4}{-2} = -3$$ и $$y = \frac{2 - 4}{-2} = 1$$.

Так как $$y$$ - это время в пути третьего автомобиля, то $$y$$ не может быть отрицательным, значит $$y = 1$$.

Теперь найдем $$x$$:

$$x = \frac{40\cdot1 + 20}{1} = 60$$ (км / ч) - скорость третьего автомобиля.

$$y=\frac{2\sin x\cos x}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)​}$$

Можно искать производную и точки экстремума, но это сложно.

Наименьшее значение будет когда знаменатель будет максимальным. Знаменатель будет максимальным в точке ​$$π/4$$​. Но на концах отрезка функция обращается в ноль

Значит, ​$$y(π2||0)=0$$