Перейти к основному содержанию

320 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.

Решаем ЕГЭ 320 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №320 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки счётчиков за воду платили 800 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 300 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Ответ: 7
Скрыть Разница в оплате 500 р/месяц $$\to $$ окупится через $$\frac{3300}{500}=6,6\to $$ 7 месяцев.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показана цена тонны никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена тонны никеля на момент закрытия торгов была наименьшей за указанный период.

Ответ: 18
Скрыть Наименьшая была 12000 на 18 число.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 56. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 168
Скрыть Радиус внутреннего $$r_1=2$$, внешнего $$r_2=4\to $$ их площади относятся как $${\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2\to \frac{56}{S_2}={\left(\frac{2}{4}\right)}^2\to S_2=224$$, тогда площадь закрашенной области $$224-56=168$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите вероятность того, что произведение трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера чётно.

Ответ: 0,875
Скрыть Вероятность события «чётно» $$P\left(A\right)=1-P(B)$$, где $$P(B)$$ - вероятность события «нечётно». Нечётно произведение только если множители нечётны $$P\left(A\right)=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{7}{8}=0,875$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $${27}^{2x-1}={\left(\frac{1}{9}\right)}^{2x+4}$$

Ответ: -0,5
Скрыть $${27}^{2x-1}={\left(\frac{1}{9}\right)}^{2x+4}\to 3^{6x-3}=3^{-4x-8}\to 6x-3=-4x-8\to 10x=-5\to x=-0,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С равен $$48{}^\circ $$. Найдите угол между стороной АВ и высотой АН этого треугольника.

Ответ: 24
Скрыть $$\angle CAH=90{}^\circ -48{}^\circ =42{}^\circ $$ $$\angle CAB=\frac{180{}^\circ -48{}^\circ }{2}=66{}^\circ $$ $$\angle HAB=66{}^\circ -42{}^\circ =24{}^\circ $$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график $$y=f'\left(x\right)$$ - производной непрерывной функции $$f(x)$$, определенной на интервале $$\left(-4;7\right)$$. Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку $$\left[-3;6\right]$$.

Ответ: 3
Скрыть Точка минимума там, где график переходит с отрицательной полуоси $$O_y$$, в положительную: -2 и 5; т.к. $$f(x)$$ - непрерывная и $$f'(x)<0$$ при $$x\to 2$$, а далее $$f'(x)>0$$ то $$x=2$$ тоже точка минимума $$\to $$ 3 точки.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Ответ: 144
Скрыть Пусть $$AB=3;AD=6\to BD=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}\to B_1B=\sqrt{81-45}=6$$ Тогда $$S=\left(3\cdot 6+3\cdot 6+6\cdot 6\right)\cdot 2=144$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{{{\log }_9 10\ }}{{{\log }_9 11\ }}+{{\log }_{11} 0,1\ }$$

Ответ: 0
Скрыть $$\frac{{{\log }_9 10\ }}{{{\log }_9 11\ }}+{{\log }_{11} 0,1\ }={{\log }_{11} 10\ }+{{\log }_{11} {10}^{-1}\ }={{\log }_{11} 10\ }-{{\log }_{11} 10\ }=0$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $$\varphi =\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$, где t - время в минутах, $$\omega =40{}^\circ $$/мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а $$\beta =4{}^\circ $$/мин$${}^{2 }$$- угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $$\varphi $$ достигнет $$3000{}^\circ $$.

Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 30
Скрыть Подставим известные: $$3000=40t+\frac{4t^2}{2}\to t^2+20t-1500=0\to \left\{ \begin{array}{c} t_1+t_2=-20 \\ t_1t_2=-1500 \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} t_1=-50 \\ t_2=30 \end{array} \right.\right.$$, т.к. $$t>0$$, то $$t=30$$ минут
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 22
Скрыть Плот затратил $$\frac{24}{2}=12$$ часов, тогда лодка 11 часов. Пусть $$x$$ км/ч - собственная скорость лодки, тогда $$\frac{120}{x-2}+\frac{120}{x+2}=11\to 120x+240+120x-240=$$ $$=11x^2-44\to 11x^2-240x-44=0\to \frac{D}{4}=14400+484={122}^2$$ $$x_1=\frac{120+122}{11}=22$$ км/ч, $$x_2<0$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$f\left(x\right)=x^8\cdot e^{5x+6}$$.

Ответ: -1,6
Скрыть $$f'\left(x\right)={(x^8)}'e^{5x+6}+x^8{(e^{5x+6})}'=8x^7\cdot e^{5x+6}+x^8\cdot 5e^{5x+6}=0\to$$ $$\to e^{5x+6}\left(8x^7+5x^8\right)=0\to x^7\left(8+5x\right)=0\to \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=-1,6 \end{array} \right.$$ Расставим знаки производной: $$x=-1,6$$ - точка максимума.
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sqrt{{\sin x\ }-{\cos x\ }}\left({\cot x\ }-\sqrt{3}\right)=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р - середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS.

а) Доказать, что $${\sin \angle ASO\ }=\frac{NO}{PS}$$

б) Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если $$AB=12\sqrt{3},\ {\sin \angle ASO\ }=\frac{3}{\sqrt{13}}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{{{\log }_3 (9x)\ }-13}{{({{\log }_3 x\ })}^2+{{\log }_3 x^4\ }}\le 1$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка М, причем $$\angle BAM=30{}^\circ $$. Прямая АМ пересекает окружность, описанную около треугольника АВС в точке N, отличной от А. Известно, что $$\angle BNC=105{}^\circ ,\ AB=2,AC=2\sqrt{6}$$.

а) Доказать, что $$BN:NC=1:\sqrt{2}$$

б) Найдите длину отрезка AN.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В феврале планируется взять кредит в банке в размере 3,6 млн рублей сроком на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $$r\%$$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждый месяц долг должен уменьшиться на одну и ту же величину.

Известно, что с 5 по 10 месяц включительно, нужно выплатить банку 1,089 млн рублей.

Найдите процент банка $$r$$. Сколько будет выплачено банку за первые 12 месяцев?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$2^{\sqrt{x-0,5}}\cdot \left(\sqrt{a-8x^4}-2x^2\right)=0$$

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству $$x(x-1)<0$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Склад имеющий форму прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ размером $$p\times n\times k$$ м$$^{3}$$ $$(p,n,k\in N)$$, плотно заставлен канистрами размером $$1\times 1\times 1$$ м$${}^{3}$$. Пуля летит по прямой и повреждает канистру только, если делает в ней две дырки. Возможно ли одним выстрелом повредить более чем $$\left(p+n+k-3\right)$$ канистр, если

а) $$p=5,n=3,k=2$$ и выстрел произведен по диагонали $$AC_1$$

б) $$p=26,n=13,k=5$$ и выстрел произведен по диагонали $$AC_1$$

в) Сколько канистр повредит пуля, пролетающая по диагонали $$AC_1$$, если $$p=1812,n=1914,k=1941$$

Ответ: