Перейти к основному содержанию

382 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 382 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №382 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$\log_{x-2}(2x^2-12x+19)=2.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Ответ: 5
Скрыть

ОДЗ:

$$​x−2>0​, ​x−2≠1​,$$

​$$2x^2−12x+19>0​$$

Решаем само уравнение:

$$​2x^2−12x+19=(x−2)^2​$$

​$$x^2−8x+15=0​$$

$$​x=3$$​ – не подходит под ОДЗ

​$$x=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В городе 48% взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Ответ: 0,1
Скрыть

Взрослые женщины составляют:

$$​100\%−48\%=52\%​$$

Женщины пенсионеры составляют:

$$​0,15\cdot0,52=7,8\%$$%

Мужчины пенсионеры:

$$​12,6\%−7,8\%=4,8\%$$​ от всего населения

Всевозможные исходы – это ​48%​ взрослые мужчины

$$​P(A)=\frac{4,8}{48}=0,1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Трапеция ABCD AD || BC вписана в окружность, причем меньшая дуга ВС равна 39o, а меньшая дуга AD равна 93o. Найдите угол $$\angle ADB.$$ Ответ дайте в градусах.

Ответ: 57
Скрыть

Вписать можно только равнобокую трапецию.

Значит $$DC=AB\Rightarrow$$ дуги DC и AB, отсекаемые хордами, тоже равны.

Каждая: $$\frac{360^{\circ}-(39^{\circ}+93^{\circ})}{2}=114^{\circ}$$

Тогда $$\angle ADB=\frac{114^{\circ}}{2}=57^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$5\sin(\beta-7\pi)-11\cos(\frac{3\pi}{2}+\beta),$$ если $$\sin\beta=0,1.$$
Ответ: -1,6
Скрыть

По формулам приведения

$$​−5\sinβ−11\sinβ​$$

Подставляя известное значение получаем ответ $$-1,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите расстояние между точками А и В указанного на рисунке многогранника (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 13
Скрыть

По теореме Пифагора:

$$​AB=\sqrt{4^2+3^2+12^2}=13$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображен график функции $$y=f(x),$$ одна из первообразных которой $$F(x).$$ Найдите разность $$F(5)-F(1).$$

Ответ: -16,5
Скрыть

​$$F(5)−F(1)=\int^5_1f(x)dx​$$

Для этого посчитаем площади фигур:

$$​S_1=\frac{4+6}{2}\cdot2=10​$$

$$​S_2=4\cdot1=4​$$

$$​S_3=\frac{1+4}{2}\cdot1=2,5​$$

$$​F(5)−F(1)=−(S_1+S_2+S_3)=−16,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону

$$h(t)=1,4+9t-5t^2,$$

где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте, не менее трех метров?

Ответ: 1,4
Скрыть

$$​1,4+9t−5t^2\geq3​$$

$$​t\in [\frac{1}{5};\frac{8}{5}]​$$

$$\tau=\frac{8}{5}−\frac{1}{5}=1,4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Риэлтерская фирма вложила 50% своего капитала в покупку квартир, 60% от остатка в покупку дачных участков, а средства, оставшиеся после сделок с недвижимостью, внесла в банк под 5% годовых. Через год, реализовав недвижимость и сняв деньги со счета в банке, фирма получила 22% прибыли. Какой процент прибыли принесли сделки с квартирами, если прибыль от продажи дачных участков составила 20%?
Ответ: 30
Скрыть

Пусть изначальный капитал $$​x$$​

Но обычно в таких задачах удобнее всего взять за ​$$x$$​ какое-то хорошее число, чтобы было удобно работать с процентами, это никем не запрещается в первой части

Возьмем например $$​x=100​$$ рублей

Тогда $$​50$$​ рублей фирма вложила в квартиры

​$$50\cdot0,6=30$$​ –  в дачные участки

​$$50−30=20$$​ – в банк под 5% годовых

Через год фирма получила 22% прибыли, т.е получила ​$$100\cdot1,22=122$$​ рубля

Известно, получили от дачных участков ​$$30\cdot1,2=36​$$

Получили от банка $$​20\cdot1,05=21​$$

Значит получили от квартир ​$$122−36−21=65​$$

Прибыль от квартир $$​65−50=15$$​ (т.к мы вложили 50 рублей)

$$\frac{​15}{50}=30\%$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображены графики функций $$f(x)=a\sqrt{x}$$ и $$g(x)=kx+b,$$ которые пересекаются в точке А. Найдите ординату точки А.

Ответ: 15
Скрыть

Подставляя отмеченные точки:

​$$5=a\sqrt{4}$$​

 

​$$−2=k\cdot2+b​$$

​$$−1=k\cdot4+b​$$

 

$$​g(x)=0.5x−3​$$

$$​f(x)=2,5\sqrt{x}$$

Найдем точку пересечения

$$​0,5x−3=2,5\sqrt{x}$$​

$$​x=36$$​ – абцисса

$$​f(36)=g(36)=2,5\cdot6=15​$$ ордината

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На диаграмме Эйлера показаны события А и В в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновозможных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите $$P(B|A)$$ - условную вероятность события В при условии А.

Ответ: 0,4
Скрыть

$$P(B|A)=\frac{P(BA)}{P(A)}$$​ – по определению

$$​P(A)=\frac{5}{10}$$​ (всего 10 точек, 5 точек лежат в левом круге, т.е принадлежат событию А)

​$$P(BA)=\frac{2}{10}​$$ (всего 2 точки принадлежат пересечению двух кругов)

$$P(B|A)=\frac{\frac{2}{10}}{\frac{5}{10}}=\frac{2}{5}=0,4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$f'(x)=\sqrt{x}\cdot(6-\sqrt{x})-36$$ на отрезке $$[1;16].$$
Ответ: -27
Скрыть

Найдем критические точки:

$$​\frac{1}{2\sqrt{x}}(6−\sqrt{x})+\sqrt{x}(−\frac{1}{2\sqrt{x}})=0​$$

$$​x=9$$​ – т максимума по методу интервалов

$$​f(9)=−27​$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$\sqrt{\tg x-1}\cdot(3\cos x+\cos 2x+2)=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}+\pi n;-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{5\pi}{4};\frac{4\pi}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S точки M и N - середины ребер АВ и ВС соответственно. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки М и N и пересекает ребра AS и CS в точках К и Р соответственно.

А) Докажите, что точка пересечения прямых МР и KN лежит на высоте пирамиды SABC

Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью $$\alpha,$$ если известно, что АВ=24, AS=28, SK=7.

Ответ: $$54\sqrt{10}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\frac{\log_5(x^2-6x-6)^2-\log_{11}(x^2-6x-6)^3}{4+x-3x^2}\geq0$$
Ответ: $$(-\infty;-1),(-1;3-\sqrt{15}),[7;\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тыс. рублей и 12 кг для первого типа, 500 тыс. рублей и 16 кг для второго типа, 600 тыс. рублей и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг. Определить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий.
Ответ: 10,5 млн руб и 12,6 млн руб
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Окружность $$\omega_1$$ касается стороны АС и продолжений сторон АВ и ВС треугольника АВС за точки А и С соответственно. М - точка ее касания с прямой ВС. Окружность $$\omega_2$$ касается стороны АВ и продолжений сторон АС и ВС за точки А и В соответственно, N - точка ее касания с прямой ВС.

А) Докажите, что СМ=BN

Б) Найдите расстояние между центрами окружностей $$\omega_1$$ и $$\omega_2,$$ если $$AC = \sqrt{11}, AB = \sqrt{14}, BC = 5.$$

Ответ: $$5\sqrt{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых система имеет единственное решение

$$\left\{\begin{matrix} (x^2+3x+y-4)(x-y+4)\geq0\\ ax-y-2a+3=0\\ x\leq0 \end{matrix}\right.$$

Ответ: -1;0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Из трех разных цифр a, b, c, отличных от 0, всевозможными перестановками составим 6 трехзначных чисел. Пусть их НОД (наибольший общий делитель) равен d .

А) Может ли быть d = 6?

Б) Может ли быть d = 7?

В) Какое максимальное значение может иметь d? Найдите значения a,b,c, при которых d достигает максимального значения.

Ответ: А) да, Б) нет, В) 18