367 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.

ОДЗ:

$$​0\leq x\leq\frac{3}{2}$$​

​$$x^2=3$$​

$$​x=3$$ - не подходит под ОДЗ

$$​x=−3$$​ – не подходит под ОДЗ

$$\sqrt{3-2x}=x​$$

$$x^2+2x−3=0$$​ (возвели в квадрат)

$$​x=1$$​ – подходит

$$​x=−3$$ ​– не подходит под ОДЗ

Пусть Михаил попадет в какую-то из групп (неважно в какую), тогда для Олега останется только 1 место в этой группе, а всего мест 5 (т.к Михаил свое занял)

$$​P(A)=\frac{1}{5}=0,2$$

Треугольник ​AOD​ – прямоугольный, ​OF​ – высота в прямоугольном треугольнике, значит

​$$OF^2=AF\cdot FD=4x\cdot x=4x^2$$​

​$$OF=2x​$$

​$$AO=\sqrt{16x^2+4x^2}=2\sqrt{5}x$$​

$$\cos\alpha=\frac{4x}{2\sqrt{5}x}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$​

​$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=0,6$$

$$\frac{5\cdot2\sin49^{\circ}\cos49^{\circ}}{\sin49^{\circ}\cdot\sin41^{\circ}}=\frac{10\cos(90^{\circ}-41^{\circ})}{\sin41^{\circ}}=10$$

Из рисунка:

$$​C_3M=2​$$

$$​NM=3​$$

​$$AN=2​$$

​$$AM^2=9+4=13​$$

$$​AC_3^2=4+13=17$$

По геометрическому смыслу производной $$​f'(x_0)=\tg\alpha$$​

Видно, что в точках ​$$x=−2;4$$​ функция убывает, значит $$​f'(x=−2;4)<0​.$$

Из рисунка видно, что в точке $$x=4$$ тангенс угла больше чем в точке $$x=-2,$$ значит, значение будет наименьшим именно в точке $$x=4.$$

Нужно решить неравенство

$$​2\cdot\cos(240^{\circ}t−120^{\circ})\geq1$$​

$$\cos(240^{\circ}t-120^{\circ})\geq0,5$$

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\leq240^{\circ}t-120^{\circ}\leq\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$​-60^{\circ}+360^{\circ}n\leq240^{\circ}t-120^{\circ}\leq60^{\circ}+360n$$​

$$​60^{\circ}+360^{\circ}n\leq240^{\circ}t\leq180^{\circ}+360^{\circ}n​$$

​$$\frac{1}{4}+1,5n\leq t\leq\frac{3}{4}+1,5n​$$

​$$n=0​$$

$$\frac{1}{4}\leq t\leq\frac{3}{4}$$​

Значит на протяжении первой секунды лампа будет гореть ​$$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=0,5$$​ или $$50\%$$

Пусть ​$$x$$​ – скорость грибника, тогда

$$​1,25x​$$ – скорость туриста

$$​1,25\cdot1,6x=2x$$​ – скорость спортсмена

​$$S=xt_1​$$

$$​S=1,25xt_2​$$

$$​t_1−t_2=1​$$

$$\frac{S}{x}=5=t_1$$​ – это и есть время $$t_1$$ (за сколько дошел грибник до B)

Значит, $$t_2=t_1−1=4​$$

$$​S=2x\cdot t_3$$​

$$t_3=\frac{S}{2x}=\frac{5}{2}=2,5$$​

Но так как спортсмен вышел через два часа, то ​$$dt_3=2,5-2=0,5​$$ часа или $$30$$ минут

Угловой коэффициент прямой легко найти через тангенс $$\tg\alpha=k=0,5$$​

$$​b=−3​$$

$$5\cdot a\cdot\sqrt{4},$$ откуда $$​a=2,5​$$

Теперь найдем точки пересечения:

$$​2,5\sqrt{x}=0,5x-3$$​ – решаем уравнение

$$​x=36​$$

$$​f(36)=15$$

Так как всего в турнире 16 игроков и каждая команда из 2 человек, тогда в каждом туре участвуют:

1) 16 человек

2) 8 человек

3) 4 человека

4) 2 человека

Тогда благоприятные события:

$$A_1$$ –  они попадутся в 1-ом туре ​$$P(A_1)=\frac{1}{15}$$​

$$A_2$$ –  не играли в 1-ом туре, но попались во втором, т.е. оба матча в 1-ом туре они выиграли ​

$$P(A_2)=\frac{14}{15}\cdot0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{30}$$​

$$A_3$$ –  не играли в 1-ом туре и во 2-ом туре, но попались в 3-ем туре, т.е. они выиграли предыдущие два тура

$$​P(A_3)=\frac{14}{15}\cdot0,5\cdot0,5\cdot\frac{6}{7}\cdot0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{60}$$​

$$A_4$$ – встретились в 4-ом туре, выиграли предыдущие 3 тура

$$​P(A_4)=\frac{14}{15}\cdot0,5\cdot0,5\cdot\frac{6}{7}\cdot0,5\cdot0,5\cdot\frac{2}{3}\cdot0,5\cdot0,5\cdot1=\frac{1}{120}$$​

$$​P_{иск}(A_1+A_2+A_3+A_4)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4)=0,125$$

$$y=\frac{2}{\sqrt{(x+1)^2+4}}$$

Нужно найти наибольшее значение функции, значит, знаменатель должен принимать наименьшее значение

$$\sqrt{(x+1)^2+4}\quad min?$$

Очевидно, что выражение будет минимально, когда $$​(x+1)^2=0​$$

$$​x=−1​$$

$$​y(−1)=1$$