220 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Решаем ЕГЭ 220 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №220 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 220 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №220 (alexlarin.com)
Задание 1
Из одного листа бумаги при печати получается 4 книжные страницы. Сколько пачек бумаги (по 500 листов в каждой) необходимо, чтобы издать книгу тиражом 3000 экземпляров, в которой 55 страниц?
$$3000\cdot56=168000$$ страниц всего $$\frac{168000}{4}=42000$$ листов всего $$\frac{42000}{500}=84$$
Задание 2
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 400С до температуры 90ºС.
$$40-3$$ мин $$90-8$$ мин $$8-3=5$$ мин нагревался
Задание 3
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$ a,b - основание, h - высота $$S=\frac{(6-4)+(5-1)}{2}\cdot(8-4)=\frac{2+4}{2}\cdot4=12$$
Задание 4
В зале театра имеется 20 рядов по 15 мест в каждом. Какова вероятность, что в случайно взятом билете номер ряда и номер места окажутся равны?
Всего мест: $$N=15\cdot20=300$$ Всего одинаковых: $$n=15$$ $$P=\frac{n}{N}=\frac{15}{300}=0,05$$
Задание 5
Найдите корень уравнения $$\log_{0,5}(5-3x)=-5$$
$$\log_{0,5}(5-3x)=-5$$
ОДЗ: $$5-3x>0$$
$$x<\frac{5}{3}$$
$$5-3x=(0,5)^{-5}=2^{5}=32$$
$$-3x=32-5=27$$
$$x=-9$$
Задание 6
Точка О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Сколько градусов содержит угол AОC, если угол АВС равен 44º?
Пусть OH; OM; ON - радиусы
$$\angle BHO=\angle BNO=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
из $$\bigtriangleup BHON$$ $$\angle HON=\frac{360-2\cdot90-44}{2}=136^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
$$\angle HON$$ - внешний $$\Rightarrow$$ $$360^{\circ}-136^{\circ}=224^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
$$\angle HOA=\angle AOH$$; $$\angle MOC=\angle NOC$$
т.к. $$\angle HON$$ - внешний $$\Rightarrow$$ $$2\angle AOM+2\angle MOC=224^{\circ}$$
$$\angle AOM+\angle MOC=\angle AOC=\frac{224^{\circ}}{2}=112^{\circ}$$
Задание 7
$$f(x)=3^{x}-3^{-x}$$. Найдите значение выражения $$f(-4)+f(4)$$
$$f(x)=3^{x}-3^{-x}$$
$$f(-4)=3^{-4}-3^{4}$$
$$f(4)=3^{4}-3^{-4}$$
$$f(-4)+f(4)=3^{-4}-3^{4}+3^{4}-3^{-4}=0$$
Задание 8
В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат с площадью, равной 18. Найдите диагональ параллелепипеда, если известно, что его боковое ребро равно 8.
1) Пусть $$AB=BC=x$$: $$S_{ABCD}=x^{2}=18$$
2) $$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=2x^{2}$$
3) $$B_{1}D=\sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{2\cdot18+64}=\sqrt{100}=10$$
Задание 9
Найдите значение выражения: $$14\sqrt{6}\cos\frac{19\pi}{6}\cdot\cos\frac{7\pi}{4}$$
$$14\sqrt{6}\cos\frac{19\pi}{6}\cdot\cos\frac{7\pi}{4}=$$
$$=14\sqrt{6}\cos(3\pi+\frac{\pi}{6})\cdot\cos(2\pi-\frac{\pi}{4})=$$
$$=14\sqrt{6}\cdot(-\cos\frac{\pi}{6})\cdot\cos\frac{\pi}{4}=$$
$$=-14\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{14\cdot6}{2\cdot2}=-21$$
Задание 10
Зависимость температуры ( в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревателя некоторого прибора задается выражением $$T(t)=T_{0}+at+bt^{2}$$, где Т0 = 1200 К, а = 48 К/мин, b = – 0,4 К/мин2. Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
$$2000=1200+48t-0,4t^{2}$$
$$0,4t^{2}-48t+800=0$$
$$t^{2}-120t+2000=0$$
$$\left\{\begin{matrix}t_{1}+t_{2}=120\\t_{1}\cdot t_{2}=2000\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}t_{1}=20\\t_{2}=100\end{matrix}\right.$$
Задание 11
Теплоход прошел путь от пункта А до пункта В за 6 часов. В некоторый момент плавания с борта теплохода на воду была спущена моторная шлюпка, которая вернулась в пункт А и без задержки направилась в пункт В, прибыв туда одновременно с теплоходом. Теплоход и шлюпка двигались равномерно и без остановок, причём скорость шлюпки вдвое превышала скорость теплохода. Определите, через какое время после отплытия теплохода из пункта А на воду была спущена шлюпка? Ответ дайте в часах.
Пусть $$S=1$$ - расстояние от А до В. Раз теплоход плыл 6 часов, то $$\frac{1}{6}$$ - скорость теплохода. Тогда $$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$ - скорость шлюпки. Пусть х - расстояние от места спуска до А; $$\frac{1+x}{\frac{1}{3}}$$ - время шлюпки; $$\frac{1-x}{\frac{1}{6}}$$ - время теплохода
$$3(1+x)=6(1-x)$$
$$3+3x=6-6x$$ $$\Leftrightarrow$$
$$9x=3$$
$$x=\frac{1}{3}$$
$$t=\frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{1}=4$$ часа
$$\Rightarrow$$ $$6-4=2$$
Задание 12
Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$
$$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$
$$f'(x)=18\sin x\cos -6\cos x=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\3\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\x=\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\\x=\pi-\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\end{matrix}\right.$$
$$f(\arcsin\frac{1}{3})=9\sin^{2}(\arcsin\frac{1}{3})-6\sin(\arcsin\frac{1}{3})-1=$$
$$=9\cdot\frac{1}{9}-6\cdot\frac{1}{3}-1=1-2-1=-2$$
Задание 13
Дано уравнение $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$.
a) $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$
$$2^{3x}-3\cdot2^{2x}-2^{x}+3=0$$
Пусть $$2^{x}=y>0$$
$$y^{3}-3y^{2}-y+3=0$$
$$y(y^{2}-1)-3(y^{2}-1)=0$$
$$(y^{2}-1)(y-3)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}y=1\\y=-1\\y=3\end{matrix}\right.$$
1) $$2^{x}=1$$
$$x=0$$
2) $$2^{x}=-1$$ - нет решений
3) $$2^{x}=3$$
$$x=\log_{2}3$$
б) Сравним: $$\log_{2}3$$ и $$\frac{3}{2}$$
$$\frac{3}{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\log_{2}\sqrt{8}$$
$$\log_{2}3=\log_{2}\sqrt{9}$$
$$\log_{2}\sqrt{9}>\log_{2}\sqrt{8}$$ $$\Rightarrow$$
$$\log_{2}3\notin[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$$
Задание 14
В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ точка О1 – центр квадрата АВСD, точка О2 – центр квадрата $$CC_{1}D_{1}D$$
1) Опустим $$O_{2}M\perp C_{1}D_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}M$$ - проекция $$B_{1}O_{2}$$ на $$(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})\Rightarrow(B_{1}MO_{2})$$ плоскость $$B_{1}O_{2}$$; достроим её до $$(B_{1}MM_{1}B)$$
2) Опустим $$O_{1}L\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}L$$ - проекция $$A_{1}O_{1}$$ на $$(AA_{1}D_{1}D)\Rightarrow(A_{1}O_{1}L)$$ плоскость $$A_{1}O_{1}$$; достроим её до $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$
3) $$BM_{1}\cap LL_{1}=H$$ $$B_{1}$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$B_{1}H$$ -линия пересечения $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$ и $$(B_{1}MM_{1}B)$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}\cap(B_{1}MM_{1}B)$$ по $$B_{1}H$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}$$ не пересекает $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ не параллельна $$B_{1}O_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ - скрещивающиеся
б) 1) Введем ортогональную систему координат как на рисунке: $$B_{1}(0;0;2)$$; $$O_{2}(2;1;1)$$; $$A_{1}(0;2;2)$$
2) Пусть $$B_{1}L_{2}\parallel A_{1}L$$, тогда $$(B_{1}O_{2}L_{2})\parallel A_{1}L$$, $$d(A_{1}L; B_{1}O_{2})=d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})$$
$$L_{2}(1;-1;0)$$
3) Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(B_{1}O_{2}L_{2})$$
$$\left\{\begin{matrix}0\cdot x+0\cdot y+2z+d=0\\2x+1y+1z+d=0\\1x+(-1)\cdot y+0\cdot z+d=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}2z+d=0\\2x+y+z+d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}z=-\frac{d}{2}\\3x+z+2d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$
$$3x-0,5d+2d=0$$
$$3x=-1,5d$$
$$x=-0,5d$$
$$-y+0,5d=0$$
$$y=0,5d$$
$$d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$
$$=\frac{|1\cdot0-1\cdot2+1\cdot2-2}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Задание 16
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке К. Прямая р касается первой окружности в точке М, а второй – в точке N.
Задание 17
1 июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что сумма выплат за первый год оказалась на 144 тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.