Перейти к основному содержанию

220 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 220 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №220 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 220 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №220 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Из одного листа бумаги при печати получается 4 книжные страницы. Сколько пачек бумаги (по 500 листов в каждой) необходимо, чтобы издать книгу тиражом 3000 экземпляров, в которой 55 страниц?

Ответ: 84
Скрыть

$$3000\cdot56=168000$$ страниц всего
$$\frac{168000}{4}=42000$$ листов всего
$$\frac{42000}{500}=84$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 400С до температуры 90ºС.

Ответ: 5
Скрыть

$$40-3$$ мин
$$90-8$$ мин
$$8-3=5$$ мин нагревался

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Ответ: 12
Скрыть

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$ a,b - основание, h - высота
$$S=\frac{(6-4)+(5-1)}{2}\cdot(8-4)=\frac{2+4}{2}\cdot4=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В зале театра имеется 20 рядов по 15 мест в каждом. Какова вероятность, что в случайно взятом билете номер ряда и номер места окажутся равны?

Ответ: 0,05
Скрыть

Всего мест: $$N=15\cdot20=300$$
Всего одинаковых: $$n=15$$
$$P=\frac{n}{N}=\frac{15}{300}=0,05$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\log_{0,5}(5-3x)=-5$$

Ответ: -9
Скрыть

$$\log_{0,5}(5-3x)=-5$$

ОДЗ: $$5-3x>0$$

$$x<\frac{5}{3}$$

$$5-3x=(0,5)^{-5}=2^{5}=32$$

$$-3x=32-5=27$$

$$x=-9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Точка О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Сколько градусов содержит угол AОC, если угол АВС равен 44º?

Ответ: 112
Скрыть

Пусть OH; OM; ON - радиусы

$$\angle BHO=\angle BNO=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

из $$\bigtriangleup BHON$$ $$\angle HON=\frac{360-2\cdot90-44}{2}=136^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle HON$$  - внешний $$\Rightarrow$$ $$360^{\circ}-136^{\circ}=224^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle HOA=\angle AOH$$; $$\angle MOC=\angle NOC$$

т.к. $$\angle HON$$  - внешний $$\Rightarrow$$ $$2\angle AOM+2\angle MOC=224^{\circ}$$

$$\angle AOM+\angle MOC=\angle AOC=\frac{224^{\circ}}{2}=112^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

$$f(x)=3^{x}-3^{-x}$$. Найдите значение выражения $$f(-4)+f(4)$$

Ответ: 0
Скрыть

$$f(x)=3^{x}-3^{-x}$$

$$f(-4)=3^{-4}-3^{4}$$

$$f(4)=3^{4}-3^{-4}$$

$$f(-4)+f(4)=3^{-4}-3^{4}+3^{4}-3^{-4}=0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат с площадью, равной 18. Найдите диагональ параллелепипеда, если известно, что его боковое ребро равно 8.

Ответ: 10
Скрыть

1) Пусть $$AB=BC=x$$: $$S_{ABCD}=x^{2}=18$$

2) $$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=2x^{2}$$

3) $$B_{1}D=\sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{2\cdot18+64}=\sqrt{100}=10$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$14\sqrt{6}\cos\frac{19\pi}{6}\cdot\cos\frac{7\pi}{4}$$

Ответ: -21
Скрыть

$$14\sqrt{6}\cos\frac{19\pi}{6}\cdot\cos\frac{7\pi}{4}=$$

$$=14\sqrt{6}\cos(3\pi+\frac{\pi}{6})\cdot\cos(2\pi-\frac{\pi}{4})=$$

$$=14\sqrt{6}\cdot(-\cos\frac{\pi}{6})\cdot\cos\frac{\pi}{4}=$$

$$=-14\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{14\cdot6}{2\cdot2}=-21$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Зависимость температуры ( в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревателя некоторого прибора задается выражением $$T(t)=T_{0}+at+bt^{2}$$, где Т0 = 1200 К, а = 48 К/мин, b = – 0,4 К/мин2. Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

Ответ: 20
Скрыть

$$2000=1200+48t-0,4t^{2}$$

$$0,4t^{2}-48t+800=0$$

$$t^{2}-120t+2000=0$$

$$\left\{\begin{matrix}t_{1}+t_{2}=120\\t_{1}\cdot t_{2}=2000\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}t_{1}=20\\t_{2}=100\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Теплоход прошел путь от пункта А до пункта В за 6 часов. В некоторый момент плавания с борта теплохода на воду была спущена моторная шлюпка, которая вернулась в пункт А и без задержки направилась в пункт В, прибыв туда одновременно с теплоходом. Теплоход и шлюпка двигались равномерно и без остановок, причём скорость шлюпки вдвое превышала скорость теплохода. Определите, через какое время после отплытия теплохода из пункта А на воду была спущена шлюпка? Ответ дайте в часах.

Ответ: 2
Скрыть

Пусть $$S=1$$ - расстояние от А до В. Раз теплоход плыл 6 часов, то $$\frac{1}{6}$$ - скорость теплохода. Тогда $$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$ - скорость шлюпки. Пусть х -  расстояние от места спуска до А; $$\frac{1+x}{\frac{1}{3}}$$  - время шлюпки; $$\frac{1-x}{\frac{1}{6}}$$ - время теплохода

$$3(1+x)=6(1-x)$$

$$3+3x=6-6x$$ $$\Leftrightarrow$$

$$9x=3$$

$$x=\frac{1}{3}$$

$$t=\frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{1}=4$$ часа

$$\Rightarrow$$ $$6-4=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$

Ответ: -2
Скрыть

$$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$

$$f'(x)=18\sin x\cos -6\cos x=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\3\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\x=\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\\x=\pi-\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\end{matrix}\right.$$

$$f(\arcsin\frac{1}{3})=9\sin^{2}(\arcsin\frac{1}{3})-6\sin(\arcsin\frac{1}{3})-1=$$

$$=9\cdot\frac{1}{9}-6\cdot\frac{1}{3}-1=1-2-1=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Дано уравнение $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$$

Ответ: a) $${0;\log_{2}3}$$; б) 0
Скрыть

a) $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$

$$2^{3x}-3\cdot2^{2x}-2^{x}+3=0$$

Пусть $$2^{x}=y>0$$

$$y^{3}-3y^{2}-y+3=0$$

$$y(y^{2}-1)-3(y^{2}-1)=0$$

$$(y^{2}-1)(y-3)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}y=1\\y=-1\\y=3\end{matrix}\right.$$

1) $$2^{x}=1$$

$$x=0$$

2) $$2^{x}=-1$$ - нет решений

3) $$2^{x}=3$$

$$x=\log_{2}3$$

б) Сравним: $$\log_{2}3$$ и $$\frac{3}{2}$$

$$\frac{3}{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\log_{2}\sqrt{8}$$

$$\log_{2}3=\log_{2}\sqrt{9}$$

$$\log_{2}\sqrt{9}>\log_{2}\sqrt{8}$$ $$\Rightarrow$$

$$\log_{2}3\notin[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ точка О1 – центр квадрата АВСD, точка О2 – центр квадрата $$CC_{1}D_{1}D$$
а) Докажите, что прямые А1О1 и В1О2 – скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми А1О1 и В1О2, если ребро куба равно 2.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

1) Опустим $$O_{2}M\perp C_{1}D_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}M$$ - проекция $$B_{1}O_{2}$$ на $$(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})\Rightarrow(B_{1}MO_{2})$$ плоскость $$B_{1}O_{2}$$; достроим её до $$(B_{1}MM_{1}B)$$

2) Опустим $$O_{1}L\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}L$$ - проекция $$A_{1}O_{1}$$ на $$(AA_{1}D_{1}D)\Rightarrow(A_{1}O_{1}L)$$ плоскость $$A_{1}O_{1}$$; достроим её до $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$

3) $$BM_{1}\cap LL_{1}=H$$ $$B_{1}$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$B_{1}H$$ -линия пересечения $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$ и $$(B_{1}MM_{1}B)$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}\cap(B_{1}MM_{1}B)$$ по $$B_{1}H$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}$$ не пересекает $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ не параллельна $$B_{1}O_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ - скрещивающиеся

б) 1) Введем ортогональную систему координат как на рисунке: $$B_{1}(0;0;2)$$; $$O_{2}(2;1;1)$$; $$A_{1}(0;2;2)$$

2) Пусть $$B_{1}L_{2}\parallel A_{1}L$$, тогда $$(B_{1}O_{2}L_{2})\parallel A_{1}L$$, $$d(A_{1}L; B_{1}O_{2})=d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})$$

$$L_{2}(1;-1;0)$$

3) Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(B_{1}O_{2}L_{2})$$

$$\left\{\begin{matrix}0\cdot x+0\cdot y+2z+d=0\\2x+1y+1z+d=0\\1x+(-1)\cdot y+0\cdot z+d=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}2z+d=0\\2x+y+z+d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}z=-\frac{d}{2}\\3x+z+2d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$

$$3x-0,5d+2d=0$$

$$3x=-1,5d$$

$$x=-0,5d$$

$$-y+0,5d=0$$

$$y=0,5d$$

$$d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$

$$=\frac{|1\cdot0-1\cdot2+1\cdot2-2}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$2\sqrt{\sin^{2}x-\sin x-1}\geq\cos^{2}x+\sin x+3$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке К. Прямая р касается первой окружности в точке М, а второй – в точке N.
а) Докажите что расстояние от точки К до прямой р равно $$\frac{MK\cdot KN}{MN}$$
б) Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

1 июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
‐ 15 числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего месяца;
‐ с 16 по 28 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга.
‐ 1 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 1 число предыдущего месяца.
На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что сумма выплат за первый год оказалась на 144 тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $$\lg(1-x)+\lg(a^{2}-x^{2})=\lg(x-a)^{2}$$ имеет ровно один корень.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

а) Могут ли выполняться равенства $$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot a_{4}=30$$, где $$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$$ – целые числа?
б) Могут ли выполняться равенства $$a_{1}+a_{2}+...+a_{6}+a_{7}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot...\cdot a_{6}\cdot a_{7}=60$$, где $$a_{1},a_{2},...,a_{6},a_{7}$$ – целые числа?
в) При каком наименьшем номере $$n\geq2$$ могут выполняться равенства $$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot...\cdot a_{n}=2018$$, где $$a_{1},a_{2},...,a_{n}$$  – целые числа?

Ответ: