253 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019
Решаем ЕГЭ 253 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №253 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 253 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №253 (alexlarin.com)
Задание 1
Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 руб.?
Пусть x - цена изготовителя, тогда оптовая 1,3x, розничная 1,2*1,3x. Цена со скидкой : $$1,2*1,3x*0,9=1,0404x=70,2.$$ Тогда $$х=50$$. Разница в цене : $$70,2-50=20,2$$
Задание 2
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.
Не было осадков 5,8,9 и 12 числа, то есть 4 дня
Задание 3
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Площадь четырехугольника: $$S=S_{ABC}-S_{A_{1}BC}-S_{A_{1}C_{1}A}$$
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}*8*6=24$$
$$S_{A_{1}BC}=\frac{1}{2}*2*6=6$$
$$S_{A_{1}C_{1}A}=\frac{1}{2}*6*4=12$$
Найдем площадь четырехугольника: $$S=24-6-12=6$$
Задание 4
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков
Первый попал, второй - нет: $$0,7*0,2=0,14$$
Первый нет, второй да: $$0,3*0,8=0,24$$
Вероятность, что попадет только один : $$P=0,14+0,24=0,38$$
Задание 5
К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 5, 7 и 13. Найдите периметр треугольника АВС.
По свойству касательных : $$MX=MB_{1}$$; $$XN=NC_{1}$$; $$C_{1}L=LY$$; $$YK=KA_{1}$$; $$A_{1}R=RZ$$; $$ZH=HB_{1}$$
Получим , что $$P_{AMN}+P_{LBK}+P{CNK}=P_{ABC}$$
$$P_{ABC}=5+7+13=25$$
Задание 6
Функция $$y=f(x)$$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. На промежутке $$(-1;4]$$ она задается формулой $$f(x)=3-|1-x|$$ . Найдите значение выражения $$5f(20)-3f(-12)$$.
С учетом периода в 5: $$f(20)=f(0)$$, $$f(-12)=f(3)$$. Получим : $$f(3)=3-(1-3)=1$$; $$f(0)=3-(1-0)=2$$.
Тогда: $$5f(20)-3f(-12)=5*2-3*1=7$$
Задание 7
Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Площадь поверхности одного куба, входящего в крест: $$S=1*5=5$$ (учитываем, что одна грань лежит»внутри» креста , потому и берем 5,а не 6)
Площадь всего креста : $$5*6=30$$ (так как в снаружи находится 6 кубов)
Задание 8
Найдите значение выражения $$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}$$ при $$x=1,2007$$
Рассмотрим подкоренное выражение : $$x\pm 2\sqrt{x-1}=(\sqrt{x-1}\pm 1)^{2}$$. Тогда :
$$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\left | \sqrt{x-1}-1 \right |+\left | \sqrt{x-1}+1 \right |$$
С учетом , что x=1,2007 (необходимо для раскрытия модуля - менять или нет знаки) получим : $$1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1=2$$
Задание 9
Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m=1260 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной l = 18 метров и шириной метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $$p=\frac{mg}{2ls}$$ , где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.
Задание 10
Подарочный набор состоит трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сорта в этом наборе относятся как 1:2:8. Массу конфет первого сорта увеличили на 20% ,а второго – на 6%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса набора не изменилась?
Пусть x - масса первого сорта, тогда 2x - второго, 8x - третьего. Общая : 11x.
После увеличения: $$x\rightarrow 1,2x$$; $$2x\rightarrow 2,12x$$.
Тогда масса третьих должна быть: $$11x-1,2x-2,12x=7,68x.$$
Получим , что новая масса составляет :$$\frac{7,68x}{8x}*100=96$$%. Следовательно, надо уменьшить на 4%
Задание 11
Найдите наибольшее значение функции $$y=2,7e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$ на отрезке [1;3]
Найдем производную для $$y=2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$: $${y}'=2,7*e^{3x^{2}-x^{2}-4}*{(3x^{2}-x^{3}-4)}'=$$$$2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}*(6x-3x^{2})$$
Приравняем производную к 0: $${y}'=0\Leftrightarrow$$ $$6x-3x^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$3x(2-x)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.$$. x=0 - точка минимума, x=2 - максимума
$$f_{max}=f(2)=2,7*e^{3*2^{2}-2^{3}-4}=2,7$$
Задание 12
А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{3}}(x+5)>0\\x+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+5<1\\x+5>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<-4\\x>-5\end{matrix}\right.$$
Решение: $$\left\{\begin{matrix}\sin 2x-2 \cos x=0(1)\\\log_{2}(\log_{\frac{1}{2}}(x+5))=0(2)\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим (1): $$\sin 2x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x\cos x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x(\sin x-\cos x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$$
С учетом ОДЗ : $$x=-\frac{3 \pi}{2}$$
(2): $$\log_{2}(\log_{\frac{1}{3}}(x+5))=0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}}(x+5)=1\Leftrightarrow$$ $$x+5=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x=-4\frac{2}{3}$$
Б) Из двух полученных корней на данном промежутке лежит только $$x=-4\frac{2}{3}$$
Задание 13
В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, точки М и N – середины ребер АВ и В1С1 соответственно, а точка К расположена на ребре DC так, что DK=2KC.
A) 1) Введем ортогольную систему координат , как показано на рисунке. Найдем координаты : M,N,A,K.
$$M(0;\frac{1}{2}A;0)\Rightarrow$$ $$M(0;3;0)$$
$$N(\frac{1}{2}B_{1}C_{1}; 0;BB_{1})\Rightarrow$$ $$N(3;0;6)$$
$$K(BC;\frac{1}{3}CD; 0)\Rightarrow$$ $$K(6;2;0)$$
$$A(0;AB;0)\Rightarrow$$ $$A(0;6;0)$$
2) Построим $$MK_{1}\left | \right |AK$$ : $$\Delta M_{1}BK_{1}\sim \Delta AKD$$ и $$\frac{M_{1}B}{KD}=\frac{BK_{1}}{AD}\Rightarrow$$ $$BK_{1}=\frac{3*6}{4}=4,5$$
Тогда : $$K_{1}(4,5 , 0,0)$$
3) Расстояние между MN и AK равно расстоянию от A до ($$MNK_{1}$$). Зададим уравнение ($$MNK_{1}$$):
$$\left\{\begin{matrix}a*0+b*3+c*0+d=0\\a*3+b*0+c*6+d=0\\a*4,5+b*0+c*0+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{2d}{9}\\b=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{d}{8}\end{matrix}\right.$$
($$MNK_{1}$$) : $$-\frac{2}{9}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{18}z+1=0$$
Тогда расстояние: $$r=\frac{\left | -\frac{2}{9}*0-\frac{1}{43*6}-\frac{1}{18*0}+1 \right |}{\sqrt{(-\frac{2}{9})^{2}+(-\frac{1}{3})^{2}+(-\frac{1}{18})^{2}}}=$$$$\frac{1}{\frac{\sqrt{55}}{18}}=\frac{18}{\sqrt{53}}$$
Б) 1)Зададим уравнение (MNK):
$$\left\{\begin{matrix}a*0+b*3+c*0+d=0\\a*3+b*0+c*6+d=0\\a*6+B*2+c*0+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{8}\\b=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{5d}{36}\end{matrix}\right.$$
(MNK) : $$-\frac{1}{18}x-\frac{1}{3}y-\frac{5}{36}z+1=0$$
2) Найдем координаты $$A_{1}(0;6;6)$$. Тогда расстояние от $$A_{1}$$ до (MNK): $$\frac{\left | -\frac{1}{18}*0-\frac{1}{3}*6-\frac{5}{36}*6+1 \right |}{\sqrt{(-\frac{1}{18}^{2})+(-\frac{1}{3})^{2}+(-\frac{5}{36})^{2}}}=$$$$\frac{11}{6}*\frac{36}{\sqrt{173}}=\frac{66}{\sqrt{173}}$$
Задание 14
Решите неравенство $$2\log_{x+1} (1-2x)+\log_{1-4x+4x^{2}} (x+3) +\log_{\frac{1}{x+1}} (x^{2}+7x+12) \leq 0$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+1>0\\x+1\neq 1\\1-2x>0\\x+3>0\\x^{2}+7x+12>0\\1-4x+4x^{2}\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-1\\x\neq 0\\x<\frac{1}{2}\\x>-3\\x\in (-\infty ,-4)\cup (-3,+\infty )\\x\neq 0, x\neq 1\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow x \in (-1,0)\cup (0, \frac{1}{2})$$
На данном ОДЗ: $$2\log_{x+1} (1-2x)=$$$$\log_{(x+1)^{2}} (1-2x)=$$$$\frac{1}{\log_{(1-2x)^{2}}(x+1)}$$ и $$\log_{\frac{1}{x+1}} (x^{2}+7x+12)=-\log_{x+1} (x^{2}+7x+12)$$
$$\frac{1}{\log_{(1-2x)^{2}}(x+1)}*\log_{(1-2x)^{2}}(x+3)-\log_{x+1}(x+3)(x+4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{x+1}(x+3)\leq \log_{x+1}(x+3)(x+4)\Leftrightarrow$$ $$(x+1-1)((x+3)-(x+3)(x+4))\leq 0\Leftrightarrow$$
$$x(x+3)(1-x-4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x(x+3)^{2}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq 0\\x=-3\end{matrix}\right.$$
С учетом ОДЗ : $$(0; \frac{1}{2})$$
Задание 15
Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Окружность с центром в точке О проходит через вершину А, касается стороны ВС в точке К и пересекает сторону АС в точке М такой, что АМ:МС=4:1.
A) 1) $$OK\perp CB$$(радиус в точку касания ), но и AO - высота $$\Rightarrow$$ A, O и K $$\in$$ AK - высота , но тогда AK-диаметр окружности.
2) $$\angle KMA=90$$(опирается на диаметр)$$\Rightarrow$$ KM-высота прямоугольного треугольника AKC.
3) Пусть CM=x, тогда MA=4x; AC=5x. $$MK=\sqrt{MA*CM}=\sqrt{4x*x}=2x$$; $$CK=\sqrt{CM^{2}+MK^{2}}=$$$$\sqrt{4x^{2}+x^{2}}=x\sqrt{5}$$
4) $$\Delta ONA \sim \Delta KMA$$: $$\frac{AO}{AK}=\frac{AN}{AM}\Rightarrow$$ $$AN=\frac{1}{2} AM=2x\Rightarrow$$ $$CN=MN+MC=2x+x=3x$$
5) $$\Delta BNC \sim \Delta KMC$$: $$\frac{NC}{MC}=\frac{BC}{CK}\Rightarrow$$ $$BC=\frac{3x*x\sqrt{5}}{x}=3\sqrt{5}x\Rightarrow$$ $$BK=2\sqrt{5} x\Rightarrow$$ $$CK:KB=1:2$$
Б) 1) $$\Delta AKC$$: $$AK=\sqrt{AC^{2}-CK^{2}}=$$$$\sqrt{25x^{2}-5x^{2}}=$$$$\sqrt{20}x=4\Rightarrow$$$$x=\frac{4}{\sqrt{20}}$$
2) $$\Delta AKB$$: $$AB=\sqrt{AK^{2}+KB^{2}}=\sqrt{40}x=$$$$\frac{\sqrt{40}*4}{\sqrt{20}}=4\sqrt{2}$$
Задание 16
Кондитерский цех на одном и том же оборудовании производит печенье двух видов. Используя всё оборудование, за день можно произвести 60 центнеров печенья первого вида или 85 центнеров печенья второго вида. Себестоимость печенья первого вида равна 10000 рублей, отпускная цена – 15000 рублей, для печенья второго вида себестоимость равна 12000, а отпускная цена – 18000 рублей. Найдите, какую наибольшую прибыль в рублях может получить цех за день при условии, что будет использоваться все оборудование, будет продано все произведенное печенье и по договору с заказчиком должно производиться в день не менее 6 центнеров печенья каждого вида.
Пусть x-доля первого(из 60 ц ), y-доля второго(из 85) . Тогда : x+y=1. Учитывая это, и то, что минимум 6 центнеров каждого вида нужно выпустить:
$$\left\{\begin{matrix}60x\geq 6\\85y\geq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{10}\\y\geq \frac{6}{85}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in [\frac{1}{10};\frac{79}{85}]\\y \in [\frac{6}{85}; \frac{9}{10}]\end{matrix}\right.$$
Прибыль с первых : $$(15000-10000)*60x=3*10^{5}x$$
Прибыль со вторых: $$(18000-12000)*85y=51*10^{4}y$$.
Тогда общая прибыль: $$S(x,y)=10^{4}(30x+51y)\rightarrow max(1)$$
$$x+y=1\Rightarrow y=1-x$$. Подставим в (1): $$S(x)=10^{4}(30x+51-51x)=10^{4}(51-21x)$$
Чем меньше x, тем больше $$S(x)\Rightarrow x=\frac{1}{10}$$; $$S(\frac{1}{10})=10^{4}(51-\frac{21}{10})=489000$$
Задание 17
Найдите все значения x , удовлетворяющие уравнению $$\log_{2}(a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x})=\log_{2+a^{2}}(3-\sqrt{x-1})$$ при любом значении параметра a .
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x} >0\\3-\sqrt{x-1}>0\\2+a^{2}>0\\x-1\geq 0\\6-x\geq 0\end{matrix}\right.$$
Данная система будет иметь решения при следующих условиях: $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x}=1\\3-\sqrt{x-1}=1\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x}= 3-\sqrt{x-1}\\2=2+a^{2}\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим (1): $$3-\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow$$ $$2=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=5$$. Тогда : $$a^{2}5^{3}-5a^{2}*5^{2}+\sqrt{6-5}=1\Leftrightarrow$$ $$1=1$$ - верное при $$\forall a\Rightarrow x=5$$ - решение (в ОДЗ попадает)
Рассмотрим (2): $$2=2+a^{2}\Leftrightarrow$$ $$a^{2}=0\Leftrightarrow a=0$$, тогда нет смысла рассматривать , т.е. выполнение не при $$\forall a$$
Задание 18
Дано натуральное четырехзначное число n, в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь $$f(n)$$ , в числителе которой само число n , а в знаменателе – произведение всех цифр числа n.
Пусть число $$M=10^{3}a+10^{2}b+10c+d$$, $$0<a,b,c,d<9 \in N$$
A) $$\frac{643}{160}=\frac{643*k}{160*k}$$. $$M=643k$$ ; $$abcd=160k$$
Разложим 160: $$160=2^{5}*5$$. С учетом , что $$a,b,c,d \in N$$ и $$a,b,c,d \in [1;9]$$, то среди чисел точно есть 5. Рассмотрим умножение 643 на натуральное $$k\geq 2$$.
$$643*2=1286$$ - нет 5
$$643*3=1929$$ - нет 5
$$643*4=2572$$. При этом 2*5*7*2=140 не кратно 160.
$$643*5=3215\Rightarrow$$ $$3*2*1*5=30$$ - не подходит.
$$643*6=3858\Rightarrow$$ $$3*8*5*8=960=160*6$$ - подходит
Т.е. пример числа: 3858
B) Рассмотрим сначала наименьшее возможное f(n) . С учетом , что $$160=2^{5}*5$$ и $$a,b,c,d$$ – натуральные, меньшие 10, то возможные a,b,c и d : $$1,4,8,5$$; $$2,2,8,5$$; $$2,4,4,5$$ . При этом $$\frac{M}{abcd}\rightarrow min$$, при $$abcd\rightarrow max$$. Пусть k-множитель, который бы сокращался . $$k_{max}=18=2*3^{2}$$ т.к. тогда бы $$1\rightarrow 9$$; $$4\rightarrow 8$$ и M состояло бы из цифр $$9,8,8,5$$ (очевидно, что наибольшее k именно для множителей $$1,4,8,5$$) . При k>18 получим, что одна из цифр станет больше 9. При этом k - число составное.
Рассмотрим их. $$k=18\Rightarrow$$ $$a,b,c,d: 9,8,8,5$$. Но $$9+8+8+5=30$$, число 30 не делится нацело на 9, значит при сокращении на k мы не получим знаменатель 160.
$$k=16$$; $$a,b,c,d\Rightarrow$$ $$8,8,8,5$$. Комбинации с этими цифрами:
$$\frac{5888}{160*16}=\frac{368}{160}$$ - сократима дальше
$$\frac{8588}{160*16}=\frac{2147}{640}$$ - нет знаменателя 160
$$\frac{8858}{160*16}=\frac{4429}{1280}$$
$$\frac{8885}{160*16}$$ - не делится на 16
$$k=14$$: $$a,b,c,d: 7,8,8,5$$. Аналогично предыдущему нет чисел.
$$k=12$$: $$a,b,c,d :6,8,8,5$$. При использовании данных чисел наименьшее $$f(n)=\frac{5868}{160*12}=\frac{489}{160}$$