270 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.
Решаем ЕГЭ 270 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №270 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 270 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №270 (alexlarin.com)
Задание 1
Маша отправила СМС‐сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям. Стоимость одного СМС‐ сообщения—1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщений на счете у Маши было 30 рублей. Сколько рублей останется у Маши на счете после отправки всех сообщений?
Найдем стоимость всех сообщений $$16*1,3=20,8$$ рублей, тогда остаток на счета составит $$30-20,8=9,2$$ рубля
Задание 2
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за данный период не выпадало осадков.
Осадки не выпадали 12,14 и 16 декабря, то есть 3 дня
Задание 3
На клетчатой бумаге с размером клетки $$\sqrt{5}*\sqrt{5}$$ изображён треугольник. Найдите радиус его описанной окружности.
Найдем площадь треугольника в клетках: $$S=\frac{1}{2}*3*2=3$$ клетки.
Найдем длины сторон, выраженные в длине одной клетки: $$AB=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$$; $$AC=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}$$; $$BC=2$$
Тогда радиус описанной окружности будет: $$R=\frac{AB*BC*AC}{4S}=\sqrt{5}$$. С учетом, что сторона клетки равна $$\sqrt{5}$$, то радиус составит $$\sqrt{5}*\sqrt{5}=5$$
Задание 10
Автомобиль, двигавшийся со скоростью v0=27 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=5,4 м/с2. Определите время, прошедшее от момента начала торможения до полной остановки, если известно, что за это время автомобиль проехал 81 м. Тормозной путь, время торможения и ускорение связаны формулой $$S=v_{0}t-\frac{at^{2}}{2}$$ . Ответ выразите в секундах.
Задание 11
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в полтора раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 5 часов позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?
Задание 13
Задание 14
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. На ребре BC взята точка M, причём BM : CM=1 : 2.
Задание 16
Точка M —середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.
А) 1) Рассмотрим NMAC: $$\angle C=\angle M=90^{\circ}$$$$\Rightarrow$$ около NMAC можно описать окружность. Тогда $$\angle CAN=\angle NMC$$ так как опираются на одну хорду
Б) 1) $$tg \angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$$; пусть BC=4x, тогда AC=3x и AB=5x (по теореме Пифагора)
2) т.к. М - середина, то СМ - медиана прямоугольного треугольника, опущенная к гипотенузе, следовательно, СМ=МВ
3) $$MN \perp AB$$ и ВМ=МА, следовательно, $$\Delta BNM=\Delta NMA$$, тогда $$\Delta ANB$$ - ранобедренный
4) т.к. $$\angle A$$ - общий, то $$\Delta ANB=\Delta CBM$$, следовательно, $$\frac{R_{ANB}}{R_{CBM}}=\frac{AB}{CB}=\frac{5}{4}$$
Задание 17
Предприятие непрерывного цикла занимается испытанием готовых изделий двух типов. Ежемесячно предприятие получает для испытаний не более 300 изделий первого типа и не более 600 изделий второго типа. Качество каждого изделия проверяется на двух стендах А и Б (стенды могут использоваться для испытания каждого изделия в любой последовательности). Для проверки одного изделия первого типа требуется 36 минут испытаний на стенде А и 30 минут испытаний на стенде Б; для проверки одного изделия второго типа требуется 30 минут испытаний на стенде А и 9 минут испытаний на стенде Б. По техническим причинам стенд А может работать не более 360 часов в месяц, а стенд Б—не более 180 часов в месяц. Проверка одного изделия первого типа приносит предприятию 135 д. е. прибыли, а проверка одного изделия второго типа— 75 д.е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует ежемесячно проверять для получения этой прибыли.
Составим таблицу:
| количество единиц | стенд А (часов) | Стенд В (часов) | выручка | |
| изделие 1 | x | 0.6x | 0.5x | 135x |
| изделие 2 | y | 0.5y | 0.15y | 78y |
| суммарное количество | x+y | 0.6x+0.5y | 0.5x+0.15y | 135x+78y |
Получим систему:
$$\left\{\begin{matrix}0.6x+0.5y\leq 360\\0.5x+0.15y\leq 180\\135x+75y=S\\x\leq 300\\y\leq 600\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}6x+5y\leq 3600(1)\\10x+3y\leq 3600(2)\\9x+5y=\frac{S}{15}=a(3)\\x\leq 300\\y\leq 600\end{matrix}\right.$$
Из (3): $$y=\frac{a-9x}{5}$$. Подставим в (1) и (2):
$$\left\{\begin{matrix}6x+4-9x\leq 3600\\10x+\frac{a-9x}{5}*3\leq 3600\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq 3600+3x\\a\leq 6000-7\frac{2}{3}x\end{matrix}\right.$$
Вычтем из второго неравенства первое: $$0\leq 2400-10\frac{2}{3}x\Leftrightarrow$$$$x\leq 225$$. Подставим в (1): $$6*225+5y\leq 3600\Leftrightarrow$$$$y\leq 450$$. Очевидно, что S будет максимальным в том случае, если будут максимальны х и у, то есть х=225 и у=450. Тогда $$S=135*225+75*450=64125$$
Задание 18
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^{2}+5|x|+7\sqrt{2x^{2}+49}=2x+2|x-7a|$$ имеет хотя бы один корень.
Пусть $$f(x)=7\sqrt{2x^{2}+49}$$ и $$g(x)=2x+x|x-7a|-5|x|-a^{2}$$. Рассмотрим g(x): если $$7a>0$$, то получим следующее раскрытие модулей:
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<0\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq 7a\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>7a\\g(x)=-x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Если же $$7a<0$$, то:
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<7a\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}7a\leq x\leq 0\\g(x)=9x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>0\\g(x)=-x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
В обоих случаях необходимо, чтобы $$g(0)\geq f(0)$$:
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\14a-a^{2}\geq 49\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\-14a-a^{2}\geq 49\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\a^{2}-14a+49\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\a^{2}+14a+49\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\(a-7)^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\(a+7)^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a=\pm 7$$
При $$a=0$$ получим: $$7\sqrt{2x^{2}+49}=2x+2|x|-5|x|\Leftrightarrow$$$$7\sqrt{2x^{2}+49}=2x-3|x|$$ - решений не имеет, так как левая часть всегда больше нуля, а правая - меньше.
Задание 19
Ученики писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из‐за того, что задания оказались трудными, всем участникам теста добавили по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
А) Да. Например, не сдали два человека, их баллы 0 и 82, т.е. среднее арифметическое: $$\frac{0+82}{2}=41$$. После повышения на пять балов один из них сдал, остался один с 5 баллами, то есть новое среднее арифметическое составляет 5.
Б) Да. Например, не сдало два человека с баллами 0 и 79, сдал один, и его балл 200. Тогда среднее арифметическое для не сдавших составит 39,5, для сдавших 200. После повышения среднее арифметичекое не сдавших будет 5, а сдавших 144,5
В) Пусть изначально было Х сдавших, У - не сдавших, тогда сумма баллов славших 100х, не сдавших 75у. Пусть Z сдали после повышения на 5 баллов, и их начальная сумма составляла N. Тогда:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{100x+75y}{x+y}=90\\\frac{100x+5(x+z)+N}{x+z}=103\\\frac{75y+5(y-z)-N}{y-z}=79\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=3y\\2x+N=98x\\y-N=-74z\end{matrix}\right.$$
Сложим 2 и 3 уравнения: $$2x+y=24z$$, подставим из 1: $$3y+y=24z\rightarrow$$$$y=6z;x=9z$$. Так как минимальное z составляет 1 (иначе бы изменения среднего было на 5 баллов), то y=6 и x=9. То есть всего было 15 человек минимум