Перейти к основному содержанию

321 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.

Решаем ЕГЭ 321 вариант Ларина ЕГЭ 2021 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №321 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Магазин закупает мужские шорты по цене 600 рублей за штуку, а продает по 870 рублей. Сколько процентов составляет торговая наценка в этом магазине?  

Ответ: 45
Скрыть Разница в цене: $$870-600=270$$ рублей, что составляет $$\frac{270}{600}\cdot 100=45\%$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показаны продажи ювелирных изделий сетью магазинов в течение 7 лет (для наглядности точки соединены линией). По горизонтали указываются года, по вертикали - число проданных ювелирных изделий за год, в тыс. штук. Определите по рисунку суммарное число проданных ювелирных изделий (в тыс.штук) в сети за 2001, 2003 и 2007 годы.

Ответ: 28
Скрыть В 2001 - 4 тысячи, в 2003 - 8 тысяч, в 2007 - 16 тысяч, всего 28 тысяч.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь шестиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

2 см $$\times$$ 2 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 80
Скрыть Площадь клетки $$2\cdot 2=4$$ см$${}^{2}$$. Площадь фигуры $$\frac{3+7}{2}\cdot 2\cdot 2=20$$ клеток или 80 см$${}^{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В одном из регионов производством школьной формы занимаются две фабрики. Первая фабрика выпускает $$40\%$$ школьной формы, реализуемой в данном регионе, вторая -$$60\%$$. Среди комплектов школьной формы, произведенной первой фабрикой, дефекты пошива имеют $$5\%$$ комплектов, у второй фабрики дефекты пошива имеют $$9\%$$ комплектов. Найдите вероятность того, что случайно купленный в данном регионе комплект школьной формы не имеет дефект.

Ответ: 0,926
Скрыть Пусть x комплектов всего выпущено, тогда дефектных из первого: $$0,4x\cdot 0,05$$, из второго $$0,6x\cdot 0,09$$. Тогда вероятность купить без дефекта: $$1-\frac{0,02x+0,054x}{x}=0,926$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решить уравнение: $$\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=1$$

Ответ: 1
Скрыть $$\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=1$$. Пусть $$f\left(x\right)=\sqrt[3]{2x-1};g\left(x\right)=1-\sqrt[3]{x-1}\to f\left(x\right)=g(x)\ $$при $$x=1$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки M и N так, что $$AM:CM=3:1,\ BN:CN=1:2$$ (cм. рисунок). Площадь треугольника АВС равна 36. Найдите площадь четырехугольника AMNB.

Ответ: 30
Скрыть $$S_{CMN}=\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}\cdot S_{ABC}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot 36=6\to S_{AMNB}=36-6=30.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция $$y=f\left(x\right)$$ определена на промежутке $$(-4;4)$$. На рисунке изображен её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой $$x_0=1$$. Вычислите значение производной функции $$g\left(x\right)=16\cdot f\left(x\right)-6$$ в точке $$x_0=1$$.

Ответ: 0,25
Скрыть $$g'\left(x\right)=16f'\left(x\right)=16\cdot \frac{1}{4}=4$$. Найдем $$f'\left(x\right):{\ f}'\left(x\right)={\tan \alpha \ }=\frac{1}{4}=0,25$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Апофема правильной треугольной пирамиды равна $$2\sqrt{7}$$, а боковое ребро 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60
Скрыть $$AH=\sqrt{7^2-{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}=\sqrt{21}\to AC=2\sqrt{21}$$ $$BH=AC{\sin 60{}^\circ \ }=2\sqrt{21}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{63}$$ $${\cos DHB=\frac{DH^2+HB^2-DB^2}{2DH\cdot HB}\ }=\frac{28+63-49}{2\cdot 3\sqrt{7}\cdot 2\sqrt{7}}=\frac{42}{2\cdot 42}=\frac{1}{2}\to \angle DHB=60{}^\circ $$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$\frac{{{\log }_2 800\ }}{{{\log }_{800} 2\ }}-\frac{{{\log }_2 625\ }}{{{\log }_{160} 2\ }}$$

Ответ: 25
Скрыть $$\frac{{{\log }_2 800\ }}{{{\log }_{800} 2\ }}-\frac{{{\log }_2 625\ }}{{{\log }_{160} 2\ }}={\left({{\log }_2 800\ }\right)}^2-{{\log }_2 625\ }\cdot {{\log }_2 160\ }=$$ $$={\left({{{{\log }_2 160\ }{\rm +log}}_2 5\ }\right)}^2-4{{\log }_2 5\ }\cdot {{\log }_2 160\ }={\left({{\log }_2 160\ }\right)}^2+2{{\log }_2 160\ }\cdot {{\log }_2 5\ }+$$ $$+{\left({{\log }_2 5\ }\right)}^2-4{{\log }_2 5\ }{{\log }_2 160\ }={\left({{\log }_2 160\ }-{{\log }_2 5\ }\right)}^2={\left({{\log }_2 32\ }\right)}^2=5^2=25$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Два тела массой $$m=10$$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью 6 м/с под углом $$\alpha >0$$ друг к другу. Энергия Q (в джоулях),выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением: $$Q=mv^2{({\sin \frac{\alpha }{2}\ })}^2$$. Под каким наименьшим углом $$\alpha $$ (в градусах) могли двигаться тела, если в результате соударения выделилось не менее 180 джоулей?

Ответ: 90
Скрыть Подставим имеющиеся значения: $$180=10\cdot 6^2{\left({\sin \frac{\alpha }{2}\ }\right)}^2\to {\left({\sin \frac{\alpha }{2}\ }\right)}^2=\frac{1}{2}\to {\sin \frac{\alpha }{2}\ }=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ т.к. $$0{}^\circ \le \alpha \le 90{}^\circ $$, то $$\frac{\alpha }{2}=45{}^\circ \to \alpha =90{}^\circ $$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

В двух бочках содержится сахарный сироп различной концентрации. В первой бочке содержится 150 кг сиропа, а во второй 250 кг. Если перемешать весь сироп, находящийся в этих бочках, то получится сироп, в котором $$30\%$$ сахара. А если смешать равные массы сиропа из каждой бочки, то полученный сироп будет содержать $$28\%$$ сахара. Сколько килограммов сахара содержится в сиропе из второй бочки?

Ответ: 90
Скрыть Пусть x - концентрация в первой $$\to 150x$$ кг - масса сахара, y - во второй $$\to 250y$$ кг - масса сахара во второй. Получим $$150x+250y=0,3\cdot 400$$. Возьмем по 150 кг, тогда $$150x+150y=0,28\cdot 300$$. Получим: $$\left\{ \begin{array}{c} 15x+25y=0,3\cdot 40 \\ 15x+15y=0,28\cdot 30 \end{array} \to 10y=12-8,4\to y=0,36\right.$$ Масса сахара во второй: $$0,36\cdot 250=90$$ кг.
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=4x-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\sin x\ }+2+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi }{3}$$ на отрезке $$\left[0;\pi \right]$$.

Ответ: 2
Скрыть Найдем производную: $$y'={\left(4x\right)}'-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\left({\sin x\ }\right)}'=4-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\cos x\ }=0\to {\cos x\ }=\frac{4\cdot 3}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to$$ $$\to x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,\ n\in Z.$$ На $$\left[0;\pi \right]$$ имеем $$x=\frac{\pi }{6}$$. При этом это точка минимума $$\to y\left(\frac{\pi }{6}\right)=4\cdot \frac{\pi }{6}-\frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{2}+2+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi }{3}=2$$ - наименьшее значение.
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sqrt{{\cos 2x\ }-{\left({\sin x\ }\right)}^3+3}={\sin x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left(\frac{73\pi }{2};\left.41\pi \right]\right.$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$$ б)$$\frac{77\pi}{2};\frac{81\pi}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ на боковых ребрах $$AA_1$$ и $$DD_1$$ взяты соответственно точки K и М так, что $$AK:A_1K=2:3,\ DM:D_1M=4:1$$.

а) Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если $$AB=8,AA_1=10.$$

Ответ: $$\frac{4\sqrt{6}}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$\frac{{{{{\rm (log}}_{2x-1} (9x^2-12x+4)\ })}^2-10{{\log }_{2x-1} \left(3x-2\right)\ }+18}{3{{\log }_{2x-1} (6x^2-7x+2)\ }-2}\le 2$$

Ответ: 0,75
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точка Е - середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L.

а) Докажите, что EL - медиана треугольника КСЕ

б) Найдите отношение площади треугольника ВLC к площади четырехугольника AKCD, если площадь трапеции ABCD равна 100, а $$BC:AD=2:3$$.

Ответ: 2:21
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Петр Иванович получил кредит в банке под определенный процент годовых. Ровно через год (после начисления процентов) Петр Иванович в счет погашения кредита вернул $$\frac{2}{13}$$ той суммы, которую задолжал к тому моменту. А еще через год он внес сумму, на $$43\%$$ превышающую величину займа, и тем самым полностью погасил кредит. Каков был процент годовых?

Ответ: 30
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+\left(2-5a\right)x+4a^2-2a\le 0 \\ x^2+a^2=4 \end{array} \right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$[-\sqrt{2};0]; [\frac{16}{17};\sqrt{2}]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

За прохождение каждого уровня платной сетевой игры можно получить от одной до трех звезд. При этом со счета участника игры списывается 75 рублей при получении одной звезды, 60 рублей - при получении двух звезд и 45 рублей при получении трех звезд. Миша прошел несколько уровней игры подряд.

а) Могла ли сумма на его счете уменьшиться при этом на 330 рублей?

б) Сколько уровней игры прошел Миша, если сумма на его счете уменьшилась на 435 рублей, а число полученных им звезд равно 13?

в) За пройденный уровень начисляется 5000 очков при получении трех звезд, 3000 - при получении двух звезд и 2000 - при получении одной звезды. Какую наименьшую сумму (в рублях) мог потратить на игру Миша, если он набрал 50000 очков, получив при этом 32 звезды?

Ответ: да;7;780