Перейти к основному содержанию

234 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 234 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №234 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 234 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №234 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной  кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число  пакетиков нужно купить хозяйке для приготовления 8 литров маринада?  

Ответ: 10
Скрыть

На 8 литров маринада понадобится : $$8*12=96$$ грамм кислоты, что соответствует $$\frac{96}{10}=9,6$$ пакета. Но мы можем приобрести только целое число пакетов, то есть округлим до большего и получим 10

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показана среднемесячная цена нефти во все месяцы 1998 и 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – цена барреля  нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, во сколько раз среднемесячная цена нефти в августе 1999  года превосходила среднемесячную цену нефти в декабре 1998 года.

Ответ: 2
Скрыть

В августе 1999 года цена 20 долларов, а в декабре 1998 - 10 долларов, следовательно, разница в 2 раза

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Площадь квадрата, вписанного в круг, равна 3.  Найдите площадь квадрата, описанного около этого  круга.

Ответ: 6
Скрыть

Пусть а - сторона вписанного квадрата, тогда радиус круга равен половине его диагонали или $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$. С другой стороны - радиус круга составляет половину стороны описанного квадрата, то есть она равна $$a\sqrt{2}$$. Площади подобных фигур ( в нашем случае квадратов ) относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть $$(\frac{a}{a\sqrt{2}})^{2}=\frac{1}{2}$$. То есть площадь описанного в два раза больше, значит равна $$3*2=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что произведение  выпавших очков больше или равно 10. Ответ округлите до сотых.  

Ответ: 0,53
Скрыть

Найдем все исходы, когда произведение выпавших чисел больше или равно 10. Пусть первое число - первый кубик, второе число - второй кубик: 2*5 ; 2*6 ; 3*4 ; 3*5 ; 3 *6 ; 4*3....4*6 ; 5*2...5*6; 6*2....6*6. Всего 19 исходов. Общее же количество возможных исходов составляет $$6^{2}=36$$. Тогда вероятность будет равна $$P=\frac{19}{36}=0,53$$ (если округлить до сотых)

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$5^{x}\cdot2^{-x}=0,4$$

Ответ: -1
Скрыть

$$\frac{5^{x}}{2^{x}}=\frac{2}{5}$$; $$(\frac{5}{2})^{x}=(\frac{5}{2})^{-1}$$; $$x=-1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны  соответственно точки P и Q так, что BP:PA=1:2 и BQ:QC=4:1.  Найдите отношение площади четырёхугольника ACQP к  площади треугольника PBQ. 

Ответ: 2,75
Скрыть

$$\frac{S_{BPQ}}{S_{ABC}}=\frac{BP\cdot BQ}{BA\cdot BC}=\frac{x\cdot4y}{3x\cdot5y}=\frac{4}{15}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BPQ}=\frac{4}{15}S_{ABC}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{APQC}=\frac{11}{15}S_{ABC}$$; $$\frac{S_{ACQP}}{S_{BPQ}}=\frac{\frac{11}{15}S_{ABC}}{\frac{4}{15}S_{ABC}}=$$ $$\frac{11}{4}=2,75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале $$(-10;3)$$. Найдите количество точек, в  которых касательная к графику функции  параллельна прямой $$y=-3$$

Ответ: 9
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите объем многогранника, вершинами которого  являются вершины A, B, C, A1, B1, C1 правильной  шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь  основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Ответ: 3
Скрыть

пусть а - сторона основания, тогда $$S_{ABCDEF}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}$$; $$S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$; $$\frac{S_{ABC}}{S_{ABCDEF}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$; $$\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}$$; $$\frac{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{ABC...E_{1}F_{1}}}=\frac{S_{ABC}\cdot AA_{1}}{S_{ABCDEF}\cdot AA_{1}}=\frac{1}{6}$$; $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{6}\cdot6\cdot3=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$x+6^{2x+1}\div36^{x}$$ при $$x=5$$

Ответ: 11
Скрыть

$$x+6^{2x+1}\div36^{x}=$$ $$x+\frac{6^{2x+1}}{6^{2x}}=x+6=5+6=11$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Мяч бросили под острым углом $$\alpha$$ к горизонту. Время полета мяча, выраженная  в секундах, определяется по формуле $$t=\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$$. При каком наименьшем  значении $$\alpha$$ (в градусах) время полета будет не меньше 1,7 секунды, если мяч  бросают с начальной скоростью $$v_{0}=\frac{17}{\sqrt{3}}$$ м/c? Ускорение свободного падения $$g$$ считайте равным 10 м/c2.  

Ответ: 60
Скрыть

$$\sin\alpha=\frac{\tan}{2v_{0}}=\frac{1,7\cdot10}{2\cdot\frac{17}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha=60^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Первые 140 км автомобиль проехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км –  со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю  скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.  

Ответ: 63
Скрыть

$$t_{1}=\frac{140}{50}=\frac{14}{5}$$; $$t_{2}=\frac{160}{60}=\frac{8}{3}$$; $$t_{3}=\frac{120}{100}=\frac{6}{5}$$; $$v=\frac{S}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=$$ $$\frac{140+160+120}{\frac{14}{5}+\frac{8}{3}+\frac{6}{5}}=\frac{420}{\frac{20}{3}}=\frac{420\cdot3}{20}=63$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=11+6\sqrt{x}-2x\sqrt{x}$$

Ответ: 1
Скрыть

$$y=11+6x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}$$; $$y'=6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}-2\cdot\frac{3}{2}\cdot\sqrt{x}=$$ $$\frac{3}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}=0$$; $$\frac{3-3x}{\sqrt{x}}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а)Решите уравнение $$\cos2x+\sqrt{2}\cos(x+\frac{5\pi}{4})=\sin x$$
Б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[6\pi;\frac{15\pi}{2}]$$

Ответ: Б) $$6\pi$$; $$\frac{20\pi}{3}$$; $$\frac{22\pi}{3}$$
Скрыть

A) $$\cos2x+\sqrt{2}\cos(x+\frac{5\pi}{4})=\sin x$$; $$\cos2x+\sqrt{2}(\cos x\cos\frac{5\pi}{4}-\sin x\sin\frac{5\pi}{4})-\sin x=0$$; $$\cos2x+\sqrt{2}\cos x\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\sqrt{2}\sin x\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\sin x=0$$; $$\cos2x-\cos x+\sin x-\sin x=0$$; $$2\cos^{2}x-1-\cos x=0$$; Пусть $$\cos x=y\in[-1;1]$$; $$2y^{2}-y-1=0$$; $$D=1+8=9$$; $$y_{1}=\frac{1+3}{4}=1$$; $$y_{2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\pi n,n\in Z\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ $$AB=5$$, $$AD=6$$, $$AA_{1}=8$$  точка К – середина ребра $$DD_{1}$$ 

А) Докажите, что прямые $$BC$$ и $$KC_{1}$$ перпендикулярны.  

Б) Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед  плоскостью $$BKC_{1}$$

Ответ: $$\frac{7}{17}$$
Скрыть

а) т.к. $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ - прямоугол. параллелипипед, то $$BC\perp(CC_{1}D_{1}D)$$, по $$KC_{1}\in(CC_{1}D_{1}D)$$ $$\Rightarrow$$ $$BC\perp KC_{1}$$

б) 1) $$BC_{1}$$ соединяем; $$KC_{1}$$ соединяем; $$(BCC_{1})\parallel(ADD_{1})$$ $$\Rightarrow$$ через К пройдет прямая параллельная прямая $$BC_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$KM$$; из подобия $$\bigtriangleup MKD$$ $$\bigtriangleup BC_{1}C$$; М - середина AD $$\Rightarrow$$ $$(BCKD)$$ - искомая плоскость

2) $$BCC_{1}MDK$$ - усеченная пирамида: $$V=\frac{1}{3}h(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$; $$V_{1}=\frac{1}{3}DC\cdot(S_{BCC_{1}}+S_{MDK}+\sqrt{S_{BCC_{1}}\cdot S_{MDK}})$$; $$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot5\cdot(\frac{1}{2}\cdot6\cdot8+\frac{1}{2}\cdot3\cdot4+\sqrt{\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\frac{1}{2}\cdot3\cdot4})=$$ $$\frac{5}{3}(24+6+\frac{1}{2}\cdot3\cdot2)=\frac{5}{3}(30+12)=70$$

3) $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=5\cdot6\cdot8=240$$ $$\Rightarrow$$ объем оставшейся

$$V_{2}=240-70=170$$

4) $$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{70}{170}=\frac{7}{17}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq\log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x$$

Ответ: $$x\in(\sqrt{3};2)\cup(2;+\infty)$$
Скрыть

     Область допустимых значений неравенства задается системой:

$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x^{2}-3>0\\x^{2}-3\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\x\neq \pm 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (\sqrt{3}2)\cup (2+\infty )$$

     Решение: $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x\Leftrightarrow$$ $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{3}-3}(7x)\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>1\\x^{2}+6\geq 7x\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<x^{2}-3<1\\x^{2}+6\leq 7x\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-4>0\\x^{2}-7x+6\geq 0(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>0\\x^{2}-4<0\\x^{2}-7x+6\leq 0(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Решим каждую из систем (1) ,(2) в отдельности:

(1): $$\left\{\begin{matrix}(x-2)(x+2)>0\\(x-1)(x-6)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>2\\x<-2\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x\geq 6\\x\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\end{matrix}\right.$$

(2): $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\-2<x<2\\1\leq x\leq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3}<x<2$$

     В итоге решением будет ялвяться: $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\\\sqrt{3}<x<2\end{matrix}\right.$$

     С учетом области допустимых значений неравенства окончательно получим : $$x \in (\sqrt{3}; 2)\cup [6;+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону  АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB , касается отрезка  AD в точке Р , а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К .  

а) Докажите, что около четырехугольника ВDОК можно описать окружность.  

б) Найдите радиус этой окружности, если АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.  

Ответ: $$\frac{25\sqrt{10}}{24}$$
Скрыть

     А) 1) Поскольку DH серединный перпендикуляр к AB , то AD=DB, а значит  $$\Delta ADB$$ - равнобедренный , тогда  DH-биссектриса и  $$O\in DH.$$

     2) Обозначим $$\angle ABD=\angle BAD=\alpha$$; $$\angle BDA=\angle 180-2\alpha$$, откуда $$\angle BDH=\angle ADH=90-\alpha$$

     3) $$\Delta AKP$$: $$\angle AKP=90-\alpha$$, тогда $$\angle OKB=90+\alpha$$

     4) $$\angle BDO+\angle OKB=90-\alpha +90+\alpha =180$$, а значит около четырехугольника BDOK можно описать окружность.

   Б) 1) Т.к.  $$AC^{2}BC^{2}=AB^{2}$$, то $$\Delta ABC$$ - прямоугольный

     2) Пусть AD=DB=x, тогда DC=8-x. Из  $$\Delta BDC$$: $$(8-x)^{2}+36=x^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-16x+64+36=x^{2}\Leftrightarrow$$$$16x=100\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{25}{4}$$

     3) Из $$\Delta BHD$$: $$DH=\sqrt{(\frac{25}{4})^{2}-25}=$$$$\sqrt{\frac{625}{16}-25}=$$$$\sqrt{\frac{225}{16}}=$$$$\frac{15}{4}$$. $$\cos 2\varphi =\frac{BH}{DB}=\frac{4}{5}$$

     4) Поскольку BO-биссектриса , то $$\frac{HO}{OD}=\frac{BH}{HD}=\frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$OD=\frac{5}{9}HD=\frac{25}{12}$$. Применяя формулу понижения степени $$2 \sin^{2}\varphi =1-\cos 2\varphi$$ находим: $$\sin^{2}\varphi=$$$$\frac{1-\cos 2\varphi }{2}=\frac{1}{10}\Rightarrow$$ $$\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{10}}$$

     5) Радиус окружности , описанной около $$\Delta BOD$$, равен радиусу окружности, описанной около четырехугольника BDOK, тогда по теореме синусов из $$\Delta BOD$$: $$R=\frac{OD}{2\sin \varphi }=$$$$\frac{25}{12*2*\frac{1}{\sqrt{10}}}=$$$$\frac{25\sqrt{10}}{24}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на срок 10 лет.  Условия его возврата таковы:  

— каждый январь долг возрастает на $$r$$% по сравнению с концом предыдущего года;  

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;  

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на  июль предыдущего года. 

Найдите $$r$$%, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не  более 1,16 млн рублей, а наименьший — не менее 0,476 млн рублей.  

Ответ: 19%
Скрыть

     Поскольку долг уменьшается на одну и ту же сумму ежегодно, то уменьшене долга за год составит 400 тыс. рублей .Следовательно: $$\left\{\begin{matrix}\frac{r}{100}*4000+400\leq 1160\\\frac{r}{100}400+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4r+40\leq 116\\4r+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}r\leq 19\\r\geq 19\end{matrix}\right.$$. Следовательно, r=19

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение $$|a^{2}+3-x|+|x-a-2|+|x-3a-1|=a^{2}-a+1$$ имеет хотя бы один корень.  

Ответ: $$[0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$
Скрыть

     Используем «неравенство треугольника» :$$\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$$, где равенство достигается , если x  и y или оба неотрицательны , или оба неположительны.

     Поскольку $$a^{2}-a*1>0$$, будем иметь: $$a^{2}-a*1=\left | a^{2}-a+1 \right |=$$$$\left | (a^{2}+3-x)+(x-a-2) \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |+\left | x-3a-1 \right |=$$$$a^{2}-a+1(1)$$

     Следовательно , в цепочке (1) все неравенства обращаются в равенства. Это возможно лишь в том случае , когда $$a^{2}+3-x$$ и $$x-a-2$$ неотрицательны ( так как их сумма положительна) , а $$x-3a-1=0$$. Получим систему условий: $$\left\{\begin{matrix}x-3a-1=0\\a^{2}+3-x\geq 0\\x-a-2\geq 0\end{matrix}\right.(2)$$

     Подставим значение  $$x=3a+1$$ из первого неравенства системы (2) во второе и третье:

$$\left\{\begin{matrix}a^{2}-3a+2\geq 0\\2a-1\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty; 1]\cup [2;+\infty )\\a\geq 0,5\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a\in [0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На доске написан упорядоченный набор из семи различных натуральных чисел.  Среднее арифметическое первых четырех и среднее арифметическое последних  четырех чисел равно 12.  

А) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 12?  

Б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 8?  

В) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее  арифметическое всех чисел.

Ответ: да,нет, $$\frac{95}{7} \frac{59}{7}$$
Скрыть

     А) Например:{10;11;15;12;9;13;14}. Обозначим среднее число через $$a_{4}$$, а сумму всех чисел – через  S. Суммы первых четырех и последних четырех чисел равны 48, поэтому:  $$S=2*48 -a_{4}=96-a_{4}\Rightarrow$$ $$7*12=84=96-a_{4}$$. Значит , $$a_{4}=96-84=12$$. Остается преобразовать две тройки различных чисел с суммами по $$48-12=36$$

     Б) Если среднее арифметическое всех чисел равно 8, то   $$8 S=7*8=56\Rightarrow$$ $$a_{4}=96-56=40$$. Значит, сумма шести оставшихся чисел (без $$a_{4}$$) равна $$56-40=16$$, что невозможно, так как наименьшее значение суммы шести различных натуральных чисел равно 1+2+3+4+5+6=21

     B) Чтобы сумма $$S=96-a_{4}$$ была наибольшей, возьмем $$a_{4}=1$$ и образуем две тройки с суммами по $$47$$. Пример :{8;19;20;1;14;16;17},S=95

     Чтобы сумма  $$S=96-a_{4}$$ была наименьшей , сумма чисел первой и последней троек $$96-2a_{4}$$ (четное число) также должна быть наименьшей. Сумма шести наименьших натуральных чисел 1+2+3+4+5+6=21 - число нечетное, поэтому возьмем числа с суммой 22 и образуем две тройки с суммами 11: 1+3+7=2+4+5=11$$\Rightarrow$$ $$a_{4}=48-11=37$$, $$S=37+22=59$$. Пример :{1;3;7;37;2;4;5}