234 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Решаем ЕГЭ 234 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №234 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 234 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №234 (alexlarin.com)
Задание 1
Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно купить хозяйке для приготовления 8 литров маринада?
На 8 литров маринада понадобится : $$8*12=96$$ грамм кислоты, что соответствует $$\frac{96}{10}=9,6$$ пакета. Но мы можем приобрести только целое число пакетов, то есть округлим до большего и получим 10
Задание 2
На рисунке жирными точками показана среднемесячная цена нефти во все месяцы 1998 и 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, во сколько раз среднемесячная цена нефти в августе 1999 года превосходила среднемесячную цену нефти в декабре 1998 года.
В августе 1999 года цена 20 долларов, а в декабре 1998 - 10 долларов, следовательно, разница в 2 раза
Задание 3
Площадь квадрата, вписанного в круг, равна 3. Найдите площадь квадрата, описанного около этого круга.
Пусть а - сторона вписанного квадрата, тогда радиус круга равен половине его диагонали или $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$. С другой стороны - радиус круга составляет половину стороны описанного квадрата, то есть она равна $$a\sqrt{2}$$. Площади подобных фигур ( в нашем случае квадратов ) относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть $$(\frac{a}{a\sqrt{2}})^{2}=\frac{1}{2}$$. То есть площадь описанного в два раза больше, значит равна $$3*2=6$$
Задание 4
Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков больше или равно 10. Ответ округлите до сотых.
Найдем все исходы, когда произведение выпавших чисел больше или равно 10. Пусть первое число - первый кубик, второе число - второй кубик: 2*5 ; 2*6 ; 3*4 ; 3*5 ; 3 *6 ; 4*3....4*6 ; 5*2...5*6; 6*2....6*6. Всего 19 исходов. Общее же количество возможных исходов составляет $$6^{2}=36$$. Тогда вероятность будет равна $$P=\frac{19}{36}=0,53$$ (если округлить до сотых)
Задание 5
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки P и Q так, что BP:PA=1:2 и BQ:QC=4:1. Найдите отношение площади четырёхугольника ACQP к площади треугольника PBQ.
$$\frac{S_{BPQ}}{S_{ABC}}=\frac{BP\cdot BQ}{BA\cdot BC}=\frac{x\cdot4y}{3x\cdot5y}=\frac{4}{15}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BPQ}=\frac{4}{15}S_{ABC}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{APQC}=\frac{11}{15}S_{ABC}$$; $$\frac{S_{ACQP}}{S_{BPQ}}=\frac{\frac{11}{15}S_{ABC}}{\frac{4}{15}S_{ABC}}=$$ $$\frac{11}{4}=2,75$$
Задание 7
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
пусть а - сторона основания, тогда $$S_{ABCDEF}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}$$; $$S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$; $$\frac{S_{ABC}}{S_{ABCDEF}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$; $$\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}$$; $$\frac{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{ABC...E_{1}F_{1}}}=\frac{S_{ABC}\cdot AA_{1}}{S_{ABCDEF}\cdot AA_{1}}=\frac{1}{6}$$; $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{6}\cdot6\cdot3=3$$
Задание 8
Найдите значение выражения $$x+6^{2x+1}\div36^{x}$$ при $$x=5$$
$$x+6^{2x+1}\div36^{x}=$$ $$x+\frac{6^{2x+1}}{6^{2x}}=x+6=5+6=11$$
Задание 9
Мяч бросили под острым углом $$\alpha$$ к горизонту. Время полета мяча, выраженная в секундах, определяется по формуле $$t=\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$$. При каком наименьшем значении $$\alpha$$ (в градусах) время полета будет не меньше 1,7 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $$v_{0}=\frac{17}{\sqrt{3}}$$ м/c? Ускорение свободного падения $$g$$ считайте равным 10 м/c2.
$$\sin\alpha=\frac{\tan}{2v_{0}}=\frac{1,7\cdot10}{2\cdot\frac{17}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha=60^{\circ}$$
Задание 10
Первые 140 км автомобиль проехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км – со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
$$t_{1}=\frac{140}{50}=\frac{14}{5}$$; $$t_{2}=\frac{160}{60}=\frac{8}{3}$$; $$t_{3}=\frac{120}{100}=\frac{6}{5}$$; $$v=\frac{S}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=$$ $$\frac{140+160+120}{\frac{14}{5}+\frac{8}{3}+\frac{6}{5}}=\frac{420}{\frac{20}{3}}=\frac{420\cdot3}{20}=63$$
Задание 11
Найдите точку максимума функции $$y=11+6\sqrt{x}-2x\sqrt{x}$$
$$y=11+6x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}$$; $$y'=6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}-2\cdot\frac{3}{2}\cdot\sqrt{x}=$$ $$\frac{3}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}=0$$; $$\frac{3-3x}{\sqrt{x}}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=1$$
Задание 12
а)Решите уравнение $$\cos2x+\sqrt{2}\cos(x+\frac{5\pi}{4})=\sin x$$
Б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[6\pi;\frac{15\pi}{2}]$$
A) $$\cos2x+\sqrt{2}\cos(x+\frac{5\pi}{4})=\sin x$$; $$\cos2x+\sqrt{2}(\cos x\cos\frac{5\pi}{4}-\sin x\sin\frac{5\pi}{4})-\sin x=0$$; $$\cos2x+\sqrt{2}\cos x\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\sqrt{2}\sin x\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\sin x=0$$; $$\cos2x-\cos x+\sin x-\sin x=0$$; $$2\cos^{2}x-1-\cos x=0$$; Пусть $$\cos x=y\in[-1;1]$$; $$2y^{2}-y-1=0$$; $$D=1+8=9$$; $$y_{1}=\frac{1+3}{4}=1$$; $$y_{2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\pi n,n\in Z\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$
Задание 13
В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ $$AB=5$$, $$AD=6$$, $$AA_{1}=8$$ точка К – середина ребра $$DD_{1}$$
а) т.к. $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ - прямоугол. параллелипипед, то $$BC\perp(CC_{1}D_{1}D)$$, по $$KC_{1}\in(CC_{1}D_{1}D)$$ $$\Rightarrow$$ $$BC\perp KC_{1}$$
б) 1) $$BC_{1}$$ соединяем; $$KC_{1}$$ соединяем; $$(BCC_{1})\parallel(ADD_{1})$$ $$\Rightarrow$$ через К пройдет прямая параллельная прямая $$BC_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$KM$$; из подобия $$\bigtriangleup MKD$$ $$\bigtriangleup BC_{1}C$$; М - середина AD $$\Rightarrow$$ $$(BCKD)$$ - искомая плоскость
2) $$BCC_{1}MDK$$ - усеченная пирамида: $$V=\frac{1}{3}h(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$; $$V_{1}=\frac{1}{3}DC\cdot(S_{BCC_{1}}+S_{MDK}+\sqrt{S_{BCC_{1}}\cdot S_{MDK}})$$; $$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot5\cdot(\frac{1}{2}\cdot6\cdot8+\frac{1}{2}\cdot3\cdot4+\sqrt{\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\frac{1}{2}\cdot3\cdot4})=$$ $$\frac{5}{3}(24+6+\frac{1}{2}\cdot3\cdot2)=\frac{5}{3}(30+12)=70$$
3) $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=5\cdot6\cdot8=240$$ $$\Rightarrow$$ объем оставшейся
$$V_{2}=240-70=170$$
4) $$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{70}{170}=\frac{7}{17}$$
Задание 14
Решите неравенство $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq\log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x$$
Область допустимых значений неравенства задается системой:
$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x^{2}-3>0\\x^{2}-3\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\x\neq \pm 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (\sqrt{3}2)\cup (2+\infty )$$
Решение: $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x\Leftrightarrow$$ $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{3}-3}(7x)\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>1\\x^{2}+6\geq 7x\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<x^{2}-3<1\\x^{2}+6\leq 7x\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-4>0\\x^{2}-7x+6\geq 0(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>0\\x^{2}-4<0\\x^{2}-7x+6\leq 0(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Решим каждую из систем (1) ,(2) в отдельности:
(1): $$\left\{\begin{matrix}(x-2)(x+2)>0\\(x-1)(x-6)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>2\\x<-2\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x\geq 6\\x\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\end{matrix}\right.$$
(2): $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\-2<x<2\\1\leq x\leq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3}<x<2$$
В итоге решением будет ялвяться: $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\\\sqrt{3}<x<2\end{matrix}\right.$$
С учетом области допустимых значений неравенства окончательно получим : $$x \in (\sqrt{3}; 2)\cup [6;+\infty )$$
Задание 15
Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB , касается отрезка AD в точке Р , а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К .
А) 1) Поскольку DH серединный перпендикуляр к AB , то AD=DB, а значит $$\Delta ADB$$ - равнобедренный , тогда DH-биссектриса и $$O\in DH.$$
2) Обозначим $$\angle ABD=\angle BAD=\alpha$$; $$\angle BDA=\angle 180-2\alpha$$, откуда $$\angle BDH=\angle ADH=90-\alpha$$
3) $$\Delta AKP$$: $$\angle AKP=90-\alpha$$, тогда $$\angle OKB=90+\alpha$$
4) $$\angle BDO+\angle OKB=90-\alpha +90+\alpha =180$$, а значит около четырехугольника BDOK можно описать окружность.
Б) 1) Т.к. $$AC^{2}BC^{2}=AB^{2}$$, то $$\Delta ABC$$ - прямоугольный
2) Пусть AD=DB=x, тогда DC=8-x. Из $$\Delta BDC$$: $$(8-x)^{2}+36=x^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-16x+64+36=x^{2}\Leftrightarrow$$$$16x=100\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{25}{4}$$
3) Из $$\Delta BHD$$: $$DH=\sqrt{(\frac{25}{4})^{2}-25}=$$$$\sqrt{\frac{625}{16}-25}=$$$$\sqrt{\frac{225}{16}}=$$$$\frac{15}{4}$$. $$\cos 2\varphi =\frac{BH}{DB}=\frac{4}{5}$$
4) Поскольку BO-биссектриса , то $$\frac{HO}{OD}=\frac{BH}{HD}=\frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$OD=\frac{5}{9}HD=\frac{25}{12}$$. Применяя формулу понижения степени $$2 \sin^{2}\varphi =1-\cos 2\varphi$$ находим: $$\sin^{2}\varphi=$$$$\frac{1-\cos 2\varphi }{2}=\frac{1}{10}\Rightarrow$$ $$\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{10}}$$
5) Радиус окружности , описанной около $$\Delta BOD$$, равен радиусу окружности, описанной около четырехугольника BDOK, тогда по теореме синусов из $$\Delta BOD$$: $$R=\frac{OD}{2\sin \varphi }=$$$$\frac{25}{12*2*\frac{1}{\sqrt{10}}}=$$$$\frac{25\sqrt{10}}{24}$$
Задание 16
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:
Найдите $$r$$%, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,16 млн рублей, а наименьший — не менее 0,476 млн рублей.
Поскольку долг уменьшается на одну и ту же сумму ежегодно, то уменьшене долга за год составит 400 тыс. рублей .Следовательно: $$\left\{\begin{matrix}\frac{r}{100}*4000+400\leq 1160\\\frac{r}{100}400+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4r+40\leq 116\\4r+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}r\leq 19\\r\geq 19\end{matrix}\right.$$. Следовательно, r=19
Задание 17
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$|a^{2}+3-x|+|x-a-2|+|x-3a-1|=a^{2}-a+1$$ имеет хотя бы один корень.
Используем «неравенство треугольника» :$$\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$$, где равенство достигается , если x и y или оба неотрицательны , или оба неположительны.
Поскольку $$a^{2}-a*1>0$$, будем иметь: $$a^{2}-a*1=\left | a^{2}-a+1 \right |=$$$$\left | (a^{2}+3-x)+(x-a-2) \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |+\left | x-3a-1 \right |=$$$$a^{2}-a+1(1)$$
Следовательно , в цепочке (1) все неравенства обращаются в равенства. Это возможно лишь в том случае , когда $$a^{2}+3-x$$ и $$x-a-2$$ неотрицательны ( так как их сумма положительна) , а $$x-3a-1=0$$. Получим систему условий: $$\left\{\begin{matrix}x-3a-1=0\\a^{2}+3-x\geq 0\\x-a-2\geq 0\end{matrix}\right.(2)$$
Подставим значение $$x=3a+1$$ из первого неравенства системы (2) во второе и третье:
$$\left\{\begin{matrix}a^{2}-3a+2\geq 0\\2a-1\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty; 1]\cup [2;+\infty )\\a\geq 0,5\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a\in [0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$
Задание 18
На доске написан упорядоченный набор из семи различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых четырех и среднее арифметическое последних четырех чисел равно 12.
А) Например:{10;11;15;12;9;13;14}. Обозначим среднее число через $$a_{4}$$, а сумму всех чисел – через S. Суммы первых четырех и последних четырех чисел равны 48, поэтому: $$S=2*48 -a_{4}=96-a_{4}\Rightarrow$$ $$7*12=84=96-a_{4}$$. Значит , $$a_{4}=96-84=12$$. Остается преобразовать две тройки различных чисел с суммами по $$48-12=36$$
Б) Если среднее арифметическое всех чисел равно 8, то $$8 S=7*8=56\Rightarrow$$ $$a_{4}=96-56=40$$. Значит, сумма шести оставшихся чисел (без $$a_{4}$$) равна $$56-40=16$$, что невозможно, так как наименьшее значение суммы шести различных натуральных чисел равно 1+2+3+4+5+6=21
B) Чтобы сумма $$S=96-a_{4}$$ была наибольшей, возьмем $$a_{4}=1$$ и образуем две тройки с суммами по $$47$$. Пример :{8;19;20;1;14;16;17},S=95
Чтобы сумма $$S=96-a_{4}$$ была наименьшей , сумма чисел первой и последней троек $$96-2a_{4}$$ (четное число) также должна быть наименьшей. Сумма шести наименьших натуральных чисел 1+2+3+4+5+6=21 - число нечетное, поэтому возьмем числа с суммой 22 и образуем две тройки с суммами 11: 1+3+7=2+4+5=11$$\Rightarrow$$ $$a_{4}=48-11=37$$, $$S=37+22=59$$. Пример :{1;3;7;37;2;4;5}