Перейти к основному содержанию

389 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 389 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №389 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$5\cdot\sqrt[4]{16^{3x-7}}-2\cdot\sqrt{4^{3x-7}}=12.$$
Ответ: 3
Скрыть

$$5\cdot\sqrt[4]{16^{3x-7}}-2\cdot\sqrt{4^{3x-7}}=12$$

$$5\cdot(2^{4(3x-7)})^{\frac{1}{4}}-2\cdot(2^{2(3x-7)})^{\frac{1}{2}}=12.$$

$$5\cdot2^{3x-7}-2\cdot2^{3x-7}=12$$

$$3\cdot2^{3x-7}=12$$

$$2^{3x-7}=4$$

$$3x-7=2$$

$$3x=9$$

$$x=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В коробке лежат 5 красных, 7 зеленых и 3 синих игральных кубика. Случайным образом из коробки берут кубик, а затем бросают. Найдите вероятность того, что выпадет 5 очков на зеленом кубике? Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,08
Скрыть $$P(выбрали зел. куб., выбросили 5 очков)=p(зел. куб.)\cdot p(5 очков)=\frac{7}{15}\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{90}\approx0,08$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $$\sqrt{3}.$$

Ответ: 1,5
Скрыть

Рассмотрим равносторонний треугольник AOB (известно, что правильный шестиугольник разбивается на шесть правильных треугольников) с высотой, равной радиусу вписанной окружности r (см. рисунок ниже).

Так как все углы правильного треугольника равны 60°, то радиус r равен:

$$r=AO\cdot\sin60^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=1,5$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\frac{52\sin(\frac{6001\pi}{6})}{\sin(-\frac{15\pi}{4})\cdot\cos(-\frac{15\pi}{4})}.$$
Ответ: 52
Скрыть

$$\frac{52\sin(\frac{6001\pi}{6})}{\sin(-\frac{15\pi}{4})\cdot\cos(-\frac{15\pi}{4})}=\frac{52\sin(100\pi+\frac{\pi}{6})}{\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}}=$$

$$=\frac{52\sin(\frac{\pi}{6})}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{52\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=52$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны длины ребер $$АВ = 4, ВС = 6, АА_1 = 8.$$ Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $$А, В$$ и $$С_1.$$
Ответ: 40
Скрыть

Так как параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ прямоугольный, то все углы сечения $$ABC_1D_1$$ будут прямыми. Кроме того, противоположные стороны сечения также равны, то есть $$AD_1=BC_1$$ и $$AB=D_1C_1.$$ Следовательно, сечение представляет собой прямоугольник.

Найдем площадь сечения как произведение двух его сторон $$S=AB\cdot BC_1.$$ Сторона $$AB=4,$$ сторону $$BC_1$$ найдем из прямоугольного треугольника $$BCC_1$$ по теореме Пифагора:

$$BC_1=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

и

$$S=4\cdot10=40$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Прямая $$y = 8x + 2$$ является касательной к графику функции $$y = ax^2 + 34.$$ Найдите $$a.$$
Ответ: 0,5
Скрыть

$$ax^2+34=8x+2$$

$$ax^2-8x+32=0$$

$$D=64-128a=0$$

$$128a=64$$

$$a=\frac{64}{128}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $$I=\frac{\varepsilon}{R+r},$$ где $$\varepsilon$$ — ЭДС источника (в вольтах), $$r = 2$$ Ом — его внутреннее сопротивление, $$R$$ — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 50% от силы тока короткого замыкания $$I_{кз}=\frac{\varepsilon}{r}.$$ Ответ выразите в омах.

Ответ: 2
Скрыть

50% от $$I_{кз}:$$

$$\frac{50}{100}\cdot\frac{\varepsilon}{r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\varepsilon}{r}=\frac{\varepsilon}{2r}=\frac{\varepsilon}{2\cdot2}=\frac{\varepsilon}{4}$$

Наименьшее сопротивление:

$$\frac{\varepsilon}{4}\geq\frac{\varepsilon}{R+r}$$ $$|\cdot\frac{4}{\varepsilon}$$

$$1\geq\frac{4}{R+2}$$ $$|\cdot(R+2)$$

$$R+2\geq4$$

$$R\geq2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Несколько человек выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 ч дольше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый рабочий работал бы еще на 1 ч в день дольше, то эта работа была бы выполнена за 7 дней. Сколько было рабочих?
Ответ: 20
Скрыть

Пусть x рабочих, работая y часов выполняют всю работу за 14 дней. Тогда 14xy – вся работа.

$$(x+4)$$ рабочих, работая $$(y+1)$$ час выполняют работу за 10 дней.

$$(x+4)\cdot(y+1)$$– часть работы за один день

$$(x+4)\cdot(y+1)=\frac{14xy}{10}$$

$$(x+10)$$ рабочих, работая $$(y+2)$$ час выполняют работу за 7 дней.

$$(x+10)\cdot(y+2)$$– часть работы за один день

$$(x+10)\cdot(y+2)=\frac{14xy}{7}$$

Система двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\left\{\begin{matrix} (x+4)(y+1)=\frac{14xy}{10}\\ (x+10)(y+2)=\frac{14xy}{7} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 10xy+40y+10x+40=14xy\\ xy+10y+2x+20=2xy \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 20y+5x+20=2xy\\ 10y+2x+20=2xy \end{matrix}\right.$$

Умножаем второе на $$(–2)$$ и складываем

$$x=20$$ рабочих

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображён график функции $$f(x)=a\tg x + b.$$ Найдите $$b.$$

Ответ: -1,5
Скрыть

Точка $$(0;-1)$$ принадлежит графику функции. Тогда:

$$f(0)=b=-1$$

$$b=-1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Найдите вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 5% всей продукции является браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
Ответ: 0,7125
Скрыть

Пусть 10000 - количество изделий. Из них 5%, т.е. 500 - брак, а 95% - небракованные изделия.

Так как нам подходит всего 75% небракованных изделий, а это $$0,75\cdot(10000-500)=7125,$$ то вероятность выбрать первосортное изделие:

$$P(A)=\frac{7125}{10000}=0,7125$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=x+\frac{8}{x^4}$$ на отрезке $$[-2; -1]$$
Ответ: -1,5
Скрыть

$$y'=1-\frac{32}{x^5}=\frac{x^5-32}{x^5}=\frac{(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)}{x^5}$$

$$f(-1)=-1+\frac{8}{(-1)^4}=7$$

$$f(-2)=-2+\frac{8}{(-2)^4}=-1,5$$ - ответ

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$9-\frac{6}{2^{\tg x}}=\frac{3}{2}\cdot2^{\frac{2\cos(x-\frac{\pi}{4})}{\sqrt{2}\cos x}}$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$$ Б)$$-3\pi;-\frac{11\pi}{4};-2\pi;-\frac{7\pi}{4}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит трапеция ABCD c большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90o, плоскости РАВ и PCD перпендикулярны основанию, прямые АВ и CD пересекаются в точке К.

А) Докажите, что плоскость РАВ перпендикулярна плоскости PDC.

Б) Найдите объем РКВС, если АВ = 3, ВС = 5, CD = 4, а высота пирамиды PABCD равна 7.

Ответ: 14
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$|x|-x\cdot\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{2}-x)\leq0$$
Ответ: $$(-\infty;-\frac{5}{2}],\left\{0\right\},[\frac{1}{6};\frac{1}{2})$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

В мае 2022 года планируется взять кредит на сумму 37,5 млн рублей на 25 лет (последняя выплата запланирована в 2047 году). Условия его возврата таковы:

- пока долг больше половины, каждый январь он возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего года;

- если долг не превышает половины исходной суммы, каждый январь он возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по апрель необходимо выплатить часть долга;

- в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.

Определите r, если общая сумма выплат должна равняться 74,16 млн рублей.

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В прямоугольнике ABCD, в котором $$AD = 3+\frac{3\sqrt{2}}{2},$$ а АВ = 6, расположены две окружности. Окружность с центром в точке К, радиус которой равен 2, касается сторон АВ и AD. Окружность с центром в точке L, радиус которой равен 1, касается стороны CD и первой окружности.

А) Докажите, что точки А, К и L лежат на одной прямой.

Б) Найдите площадь треугольника CLM, если M - основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на прямую, проходящую через точки K и L.

Ответ: $$3\sqrt{2}-3,75$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите наименьшее значение параметра $$a,$$ при котором уравнение имеет хотя бы один корень:

$$\sqrt{(5x+1)^2+(5x+2)^2}+\sqrt{(5x+7)^2+(5x-6)^2}=а$$

Ответ: 10
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

На полигоне расположены 300 узлов связи, некоторые из которых соединены проводами (провода прямые, один провод соединяет ровно 2 узла, между любыми двумя узлами проходит не более одного провода). Система узлов связна, то есть из любого узла можно передать сигнал в любой другой (возможно, через промежуточные узлы). Будем называть узел значимым, если его ликвидация приводит к тому, что система оставшихся узлов перестает быть связной. При ликвидации узла все провода, которые вели непосредственно к нему, перестают функционировать.

А) Может ли в системе быть ровно 2 значимых узла?

Б) Может ли каждый значимый узел быть соединен только с незначимым?

В) Какое наибольшее количество узлов могут быть значимыми?

Ответ: А) да, Б) да, В) 298