Перейти к основному содержанию

238 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 238 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №238 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 238 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №238 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его длина, ширина и глубина равны соответственно 25 м, 12 м и 2 м. Для облицовки дна и стен бассейна решено приобрести плитку по цене 500 р. за квадратный метр. Сколько рублей будет стоить покупка, если по периметру бассейна дополнительно планируется выложить прямоугольную дорожку шириной 1 м из той же плитки?

Ответ: 263000
Скрыть

Найдем площадь плитки, необходимой на бассейн. У бассейна две пары одинаковых стенок плюс одно дно: $$25*2*2+12*2*2+25*12$$. К нему прибавим площадь дорожки, для этого найдем площадь прямоугольника со сторонами "25+2" и "12+2" и вычтем из нее площадь дна бассейна: $$27*14-25*12$$. В итоге: $$25*2*2+12*2*2+25*12+27*14-25*12=526$$
Тогда стоимость покупки составит: $$526*500=263000$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут прошло от запуска турбины до момента, когда давление в первый раз достигло наибольшего значения.

Ответ: 4
Скрыть

Впервые максимальное значение (равное 5) достигается на 4 минуте

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь треугольника ABC, если сторона клетки равна 4.

Ответ: 96
Скрыть

Для этого достроим прямоугольник размером 3 на 5, в который поместим треугольник ABC. Далее необходимо из площади прямоугольника вычесть площади "лишних" трех прямоугольных треугольников, чтобы осталась только площадь ABC: $$S=3*5-\frac{1}{2}(2*2+1*5+3*3)=6$$.
Также следует учитывать, что размер клетки составляет 4*4, то есть площадь одной клетки $$4*4=16$$. Тогда итоговая площадь $$6*16=96$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На прилавке лежат 8 одинаковых пар перчаток, но у одной пары есть незаметный снаружи брак внутри обеих перчаток. В ходе примерок все перчатки перемешались. Продавец разделил все перчатки случайным образом на 4 группы по 4 штуки. Какова вероятность того, что обе бракованные перчатки находятся в одной группе?

Ответ: 0,2
Скрыть

Пусть одна перчатка уже находится в какой-то группе, тогда свободных мест в ней (в группе) остается 3. В то же время перчаток остается 15. Следовательно, вероятность того, что вторая перчатка также попадет в эту группу: $$P=\frac{3}{15}=0,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\sqrt{x^{2}+16}=3x-4$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ: 3
Скрыть

Для данного уравнения необходимо будет делать проверку или же писать ОДЗ (так как дан корень четной степени). Будем делать проверку. Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда:
$$(\sqrt{x^{2}+16})^{2}=(3x-4)^{2} \Leftrightarrow$$$$x^{2}+16=9x^{2}-24x+16 \Leftrightarrow$$$$8x^{2}-24x=0 \Leftrightarrow$$$$8x(x-3)=0$$
Тогда $$x_{1}=0 ; x_{2}=3$$. Первый корень не подходит, так как получится при подстановке $$4=-4$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

Пусть один угол острый равен 2x, второй равен 2y, тогда по свойству углов прямоугольного треугольника: $$2x+2y=90 \Leftrightarrow$$$$x+y=45$$. То есть сумма острых углов получившегося тупоугольного треугольника составляет 45. Тогда и угол между этими биссектрисами (как внешний угол не смежный с данными острыми углами для тупоугольного треугольника) составляет 45

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$ , определённой на интервале (-4;10) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=x или совпадает с ней.

Ответ: 4
Скрыть

Раз касательная к графику параллельна графику функции y=x, то значения коэффициента при х у нее должно быть равно 1 (Графики линейных функций $$y=k_{1}x+b_{1} ; y=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны при $$k_{1}=k_{2}$$. А это значение и есть значение производной. То есть необходимо найти количество точек, где значение производной равно 1 (чертим прямую y=1 и находим количество пересечений с графиком функции). Их будет 4

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30
Скрыть

Пусть $$DH=a$$, тогда $$AB=3a$$. Из треугольника равностороннего $$ABC$$: $$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{3\sqrt{3}a}{2}$$. Точка H - точка пересечения медиан треугольника ABC, тогда $$=AH=\frac{2}{3}AM=\sqrt{3}a$$. Из треугольника AHD: $$tg \angle DAH = \frac{DH}{AH}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, тогда сам угол составляет 30 градусов

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$x+2^{3x+2}\cdot 8^{-x}$$ при x=6

Ответ: 10
Скрыть

Упростим данное выражение: $$x+2^{3x+2}\cdot 8^{-x}=x+2^{3x+2}\cdot 2^{-3x}=x+2^{2}$$
Подставим имеющиеся значения: $$6+2^{2}=10$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле $$h=5t^{2}$$ . До дождя время падения камушков составляло 1,4 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,2 с?

Ответ: 2,6
Скрыть

Найдем значение высоты при времени 1,4 секунды и при времени, на 0,2 секунды меньше (то есть 1,2)
$$h_{1}=5*1.4^{2}=9,8$$
$$h_{2}=5*1.2^{2}=7,2$$
Тогда изменение высоты составит: $$h_{1}-h_{2}=9,8-7,2=2,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. К моменту их встречи первое тело проходит на 200 м больше, чем второе, и возвращается в точку А через 25 мин после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 36 мин после встречи.

Ответ: 2200
Скрыть

Пусть S км - расстояние от B до места встречи. Тогда S+0,2 км расстояние от A до места встречи. Пусть x км/ч - скорость тела из А, у км/ч - скорость тела из В. Время движения до встречи у них одинаковое, тогда : $$\frac{S+0,2}{x}=\frac{S}{x}$$. Время, за которое первое тело доедет до В 25 минут или $$\frac{5}{12}$$ часа: $$\frac{S}{x}=\frac{5}{12}$$. Аналогично время, за которое второе доедет до А после встречи 36 минут или $$\frac{3}{5}$$ часа: $$\frac{S+0,2}{y}=\frac{3}{5}$$.

Выразим во втором и третьем уравнении х и у через S: $$x=\frac{12S}{5} ; y=\frac{5(S+0,2)}{3}$$. Подставим полученные выражения в первое уравнение: $$\frac{5(S+0,2)}{12S}=\frac{3S}{5(S+0,2)} \Leftrightarrow$$$$25(S+0,2)^{2}=36S^{2} \Leftrightarrow$$$$11S^{2}-10S-1=0$$.

Решим данное уравнение и получим, что $$S_{1}=1 ; S_{2} < 0 $$. В таком случае полное расстояние в км составит $$1+0,2+1=2,2$$, что в метрах равно 2200

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-8x+64}{x}$$ на отрезке [4;18].

Ответ: 8
Скрыть

Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю:
$$y'=\frac{(x^{2}-8x+64)'x-x'(x^{2}-8x+64)}{x^{2}}=0$$
$$y'=\frac{2x^{2}-8x-x^{2}+8x-64}{x^{2}}=0$$
$$\frac{x^{2}-64}{x^{2}}=0$$
$$x_{1}=-8 ; x_{2}=8$$
Отметим полученные значения на координатной прямой и расставим знаки производной, получим, что $$x_{2}$$ является точкой минимума. Тогда наименьшее значение функции на заданном отрезке будет именно в этой точке:
$$y(8)=\frac{8^{2}-8*8+64}{8}=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sin 2x=\sin x -2\cos x +1$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[ \frac{3\pi}{2} ; 3\pi ]$$

Ответ: а)$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n ; \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k ,n,k\in Z $$б) $$\frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{3} ; \frac{7\pi}{3}$$
Скрыть

$$\sin 2x=\sin x -2\cos x +1 \Leftrightarrow$$$$2\sin x \cos x-\sin x +2\cos x -1=0 \Leftrightarrow$$$$2\cos x(\sin x+1)-1(\sin x +1)=0 \Leftrightarrow$$$$(\sin x+1)(2\cos x - 1 )=0 \Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix} \sin x = -1\\ \cos x = \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ \left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k \end{matrix}\right.(n,k\in Z)$$

Отметим полученные корни на единичной окружности, выделим необходимый промежуток и найдем частные случаи полученных корней:

Получим: $$\frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{3} ; \frac{7\pi}{3}$$

 

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.

а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD .

б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что $$PB=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{8}}{3}$$
Скрыть

а) 1)PA=PD, тогда NP - серединный перпендикуляр для AD

2)PB = PC, тогда MP - серединный перпендикуляр для CB.

3)AM перпендикулярно CB, тогда NM также перпендикулярно CB и значит $$P \in NM ; P \in AMD$$

4)$$PB \cap DK = L$$. $$BK \perp AC \Leftrightarrow BL \perp AC$$, но по условию $$BL \perp DL$$, значит $$BL \perp (ADC)$$, то есть BL - высота пирамиды и $$P \in DKB$$. Следовательно, точка P лежит в двух плоскостях, значит принадлежит линии пересечения. $$(AMD) \cap (DKB) = PO$$, где PO - высота пирамиды, следовательно P лежит на пересечении высот

б)1) Пусть длина ребра х, тогда из треугольника ADC: $$DK=KB=\frac{\sqrt{3}x}{2}$$, $$DL=\frac{2}{3}DK=\frac{x\sqrt{3}}{3}$$ (по свойству медиан)

2)$$\sin LBD = \frac{DL}{DB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$, тогда $$\cos LBD = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ ( по основному тригонометрическому тождеству )

3)из треугольника PQB: $$QB=PB \cos LBD $$, $$QB=\frac{1}{2}x$$ (свойство медианы). Тогда $$\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{6}}{3}=1$$, тогда ребро равно 2

4)Из треугольника ABC :$$BK=\frac{\sqrt{3}}{2}*2=\sqrt{3}$$, $$OB = \frac{2}{3}BK = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

5)$$DO=\sqrt{DB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$$, тогда $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$, и объем пирамиды $$V=\frac{1}{3}S_{ABC}*DO=\frac{1}{3}*\sqrt{3}*\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{8}}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$(\log_{x} 2 -1)\log_{2} 2x \leq \frac{3}{2}$$

Ответ: $$x \in \left [\frac{1}{4};1 \right )\cup \left [ \sqrt{2};+\infty \right )$$
Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x> 0\\ x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ x \in (0;1)\cup (1;+\infty )$$

Выполним преобразования, используя формулы: $$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} ; log_{c} ab = \log_{c}a + \log_{c} b$$ $$(\frac{1}{\log_{2}x}-1)(\log_{2}2+\log_{2}x)\leq \frac{3}{2}$$

Введем замену $$\log_{2}x=y$$

$$(\frac{1}{y}-1)(1+y)\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow$$$$ \frac{2(1-y)(y+1)-3y}{2y}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{-2y^{2}-3y+2}{2y}\leq 0 |\cdot (-1) \Leftrightarrow$$$$ \frac{2y^{2}+3y-2}{y}\geq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{2(y-0,5)(y+2)}{y}\geq 0\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq -2\\ y< 0\end{matrix}\right.\\ y\geq 0,5\end{matrix}\right.$$

Найдем промежутки, на которых будут положительные значения:

Выполним обратную замену:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq -2\\ \log_{2}x< 0\end{matrix}\right.\\ \log_{2}x\geq 0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{4}\\x< 1\end{matrix}\right.\\x\geq \sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$

С учетом ОДЗ получим: $$x \in \left [\frac{1}{4};1 \right )\cup \left [ \sqrt{2};+\infty \right )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В трапецию ABCD c основаниями ВС и AD вписана окружность с центром О, СН – высота трапеции, Е – точка пересечения диагоналей.

А) Докажите, что $$\angle OHC = \frac{1}{2} \angle ADC$$

Б) Найдите площадь четырехугольника СЕОН, если известно, что .$$\angle BAD =90^{\circ} , BC = 9 , AD = 18$$

Ответ: 21
Скрыть

а) 1)Пусть $$\angle ADC = \alpha$$, тогда $$\angle DCB = 180 - \alpha$$ (по свойству трапеции). Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, тогда OC - биссектриса, следовательно, $$\angle OCD = 0,5 \angle DCB = 90-\frac{1}{2}\alpha$$

2) $$\angle DCH = 90 - \alpha$$ (из прямоугольного треугольника CHD). Тогда $$\angle OCH = \angle OCD - \angle DCH = \frac{\alpha}{2}$$

3)Проведем перпендикуляр OM на отрезок CH. O - центр окружности, следовательно M - центр CH, тогда треугольники OMC и OMH равны по двум катетам, тогда $$\angle OHC= \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}ADC$$

б)1) BC + AD = AB + CD = 27 ( по свойству вписанного четырехугольника ). CH = AB ; пусть AB = x, то CH = x , и CD = 27 - x ; AH = BC, тогда HD = 18 - 9 = 9. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CHD: $$(27-x)^{2}=x^{2}+9^{2} \Leftrightarrow$$$$x=12$$. Значит AB=12 и радиус окружности составляет 6.

2)Пусть через E проходит перпендикуляр NQ. Докажем, что он пройдет и через O. Треугольники BCE и AED подобны, тогда $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BC}{AD}$$. Но и треугольники BNE и EQD подобны, тогда $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BN}{QD}$$. Тогда $$\frac{BC}{AD}=\frac{BN}{QD}$$. Пусть BN=y, тогда QD=18-y. Получаем $$\frac{9}{18}=\frac{y}{18-y}$$. Тогда y=6=BN. Но радиус так же равен 6, тогда E и O лежат на одной прямой, параллельной CH.

3)Из пункта два (подобие треугольников) $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BC}{AD}$$, пусть NE=z, тогда EQ=12-z. $$\frac{z}{12-z}=\frac{9}{18}$$. Тогда z=4=NE, следовательно, EQ=8. Тогда $$EO=EQ-QO=8-6=2$$. $$QH=AH-AQ=9-6=3$$.

4)$$S_{CEOH}=\frac{EO+CH}{2}*QH=\frac{2+12}{2}*3=21$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле планируется взять кредит банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

‐ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

Ответ: 8
Скрыть

Пусть S-начальный кредит (S=20 млн), r - процент по кредиту (r=30%), n - количество лет. С учетом того, что сумма долга уменьшается равномерно, то ежегодный платеж будет складываться из платежа по основному долгу и начисленных процентов. Так как берется сумма S на n лет, то ежегодный платеж по основному долгу составит $$\frac{S}{n}$$. Составим таблицу платежей:

Номер года Долг на начало года Начисленный процентный долг Итоговый платеж
1 S $$\frac{r}{100}*S$$ $$\frac{r}{100}*S+\frac{S}{n}$$
2 $$\frac{n-1}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{n-1}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{n-1}{n}S+\frac{S}{n}$$
3 $$\frac{n-2}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{n-2}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{n-2}{n}S+\frac{S}{n}$$
... ... ... ...
n $$\frac{1}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{1}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{1}{n}S+\frac{S}{n}$$

Тогда итоговая сумма выплат составит: $$\frac{S}{n}*n+\frac{r}{100}*S(1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...\frac{1}{n})=47$$

При этом $$(1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...\frac{1}{n})=\frac{n+1}{2}$$ (вы можете вывести эту формулу самостоятельно рассмотрев сумму чисел при n=4 и n=5, посчитав полученный суммы вы заметите данную зависимость)

Подставим имеющиеся данные в полученное уравнение:$$20+\frac{30}{100}*20*\frac{n+1}{2}=47 \Leftrightarrow$$$$6*\frac{n+1}{2}=47-20 \Leftrightarrow$$$$n+1=9\Leftrightarrow n=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$3a(a-7)-8(a-7)(2^{x}+1)\leq (8x^{2}-16x)(2^{x}+1)-3ax^{2}+6ax$$ , при каждом из которых неравенство имеет решения на промежутке $$[-1;0)$$

Ответ: $$a \in \left [ 4 ; 7 \right )$$
Скрыть

Преобразуем данное неравенство: $$(a-7)(3a-8(2^{x}+1))\leq 8x(x-2)(2^{x}+1)-3ax(x-2) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^{x}+1))\leq x(x-2)(8(2^{x}+1)-3a) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^{x}+1)) + x(x-2)(3a-(2^{x}+1))\leq 0 \Leftrightarrow$$$$(8(2^{x}+1)-3a)(x^{2}-2x+a-7) \geq 0 (1)$$

Рассмотрим по отдельности обе скобки и представим их как функции $$a(x)$$:

$$8(2^{x}+1)-3a = 0\Leftrightarrow$$$$a=\frac{2^{x+3}}{3}+\frac{8}{3}$$ - график степенной функции

$$x^{2}-2x+a-7=0 \Leftrightarrow$$$$a=-x^{2}+2x+7\Leftrightarrow$$$$a=-(x^{2}-2x-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x^{2}-2x+1-1-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x-1)^{2}+8$$ - график квадратичной функции.

По условии задачи необходимо, чтобы решения были на промежутке $$[-1;0)$$, тогда так же построим графики $$x=-1 ; x=0$$ и графики полученных функции в системе координат AoX.

Найдем пересечение степенной функции с прямыми $$x=-1 ; x=0$$:

$$x=-1 ; a(-1)=\frac{2^{-1+3}}{3}+\frac{8}{3}=4$$

$$x=0 ; a(0)=\frac{2^{0+3}}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$$

Как видим по графикам мы получили три области, необходимо проверить, точки каких областей удовлетворяют неравенству (1). Для этого будем брать из каждой области точку, и подставлять координаты в наше неравенство:

1) Возьмем точку (0;0) : $$(8(2^{0}+1)-3*0)(0^{2}-2*0+0-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$16*(-7)\geq 0$$ - неравенство неверно, следовательно, первая область не подходит

2) Возьмем точку (0;6): $$(8(2^{0}+1)-3*6)(0^{2}-2*0+6-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-2*(-1)\geq 0$$ - неравенство верно, следовательно, вторая область подходит и по а она находится в промежутке [4;7) (7 не входит, так как по условию $$x \neq 0$$)

3) Возьмем точку (0;8) : $$(8(2^{0}+1)-3*8)(0^{2}-2*0+8-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-8*1 \geq 0$$ - неравенство неверно, следовательно, третья область не подходит

Итоговый ответ: $$a \in \left [ 4 ; 7 \right )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Для членов последовательности целых чисел $$a_{1},a_{2},...,a_{6}$$ при всех натуральных $$k \leq 4$$ имеет место неравенство $$a_{k+2} < 3a_{k+1} -2a_{k}$$

А) Приведите пример такой последовательности, для которой $$a_{1}=0 , a_{6}=10 $$

Б) Существует ли такая последовательность, для которой $$a_{1}=a_{3}=a_{6}$$

В) Какое наименьшее значение может принимать $$a_{2}$$, если $$a_{1}=0 ,a_{6}=1000$$

Ответ: А)0 ,2,4,6,8,10 Б)нет В)34
Скрыть

А) 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10. Необходимо просто проверить выполнение условия неравенства $$a_{k+2} < 3a_{k+1} -2a_{k}$$
Б) Распишем неравенство всех членов, начиная с третьего:
$$a_{3} < 3a_{2}-2a_{1}$$. Так как по условию $$a_{3}=a_{1}$$, то получаем: $$a_{1} < 3a_{2}-2a_{1} \Leftrightarrow$$$$a_{1} < a_{2}$$. Так как все числа последовательности - целые, то первый и второй член будут различаться на какое-то натуральное число (пусть оно равно x) : $$a_{2}=a_{1}+x (1)$$
$$a_{4} < 3a_{3}-2a_{2}$$. Но $$a_{3}=a_{1}$$, следовательно, подставляя равенство (1) получим: $$a_{4} < 3a_{1}-2a_{1}-2x \Leftrightarrow$$$$a_{4} < a_{1} - 2x$$. Так как неравенство строгое, то можно записать: $$a_{4} = a_{1} - 2x - y$$, где y - натуральное число.
Аналогично распишем два оставшихся неравенства:
$$a_{5} < 3a_{4}-2a_{3} \Leftrightarrow$$$$a_{5} < 3a_{1}-6x-3y -2a_{1} \Leftrightarrow$$$$ a_{5}< a_{1} - 6x - 3y$$. Тогда $$a_{5} = a_{1} - 6x-3y - z$$, где z - число натуральное.
$$a_{6} < 3a_{5}-2a_{4} \Leftrightarrow$$$$a_{6} < 3a_{1}-18x-9y - 3z -2a_{1}+4x+2y \Leftrightarrow$$$$ a_{6} < a_{1} - 14x - 7y - 3z$$. Но $$a_{6}=a_{1}$$, тогда $$a_{1} < a_{1} - 14x - 7y - 3z \Leftrightarrow$$$$ 0 < a_{1} - 14x - 7y - 3z $$. Что невозможно, так как правая часть это три натуральных числа, взятых с минусом, то есть число отрицательное. Значит ответ на пункт Б) нет
В) Рассуждение будет аналогично пункту Б). Единственное, что необходимо учитывать, что данная прогрессия будет возрастающая, и чем меньше различия между, тем меньше будет каждый из них ( то есть мы будем брать не числа x;y;z, а минимально возможное натуральное, то есть 1):
$$a_{1}=0$$, тогда $$a_{3} < 3a_{2}$$ , следовательно, $$a_{3}=3a_{2}-1$$
$$a_{4} < 3a_{3}-2a_{2} \Leftrightarrow$$$$a_{4} < 9a_{2}-3-2a_{2} \Leftrightarrow$$$$ a_{4} < 7a_{2}-3$$. Тогда $$a_{4}=7a_{2}-4$$
$$a_{5} < 3a_{4}-2a_{3} \Leftrightarrow$$$$a_{5} < 21a_{2}-12-6a_{2}+2 \Leftrightarrow$$$$ a_{5} < 15a_{2}-10$$. Тогда $$a_{5}=15a_{2}-11$$
$$a_{6} < 3a_{5}-2a_{4} \Leftrightarrow$$$$a_{6} < 45a_{2}-33-14a_{2}+8 \Leftrightarrow$$$$ a_{6} < 31a_{2}-25$$. Тогда $$a_{6}=31a_{2}-26=1000$$. Тогда $$1000 < 31a_{2}-25 \Leftrightarrow$$$$ 33,064 < a_{2}$$. С учетом того, что все члены последовательности целые, получаем, что $$a_{2}=34$$