Перейти к основному содержанию

357 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.



Решаем ЕГЭ 357 вариант Ларина ЕГЭ 2021 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №357 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В июне 1 кг помидоров стоил 80 рублей. В июле цена помидоров снизилась на 40%, а в августе еще на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг помидоров после снижения цены в августе?
Ответ: 24
Скрыть

В июне = 80 руб. за кг.

В июле = 80 руб. - 40% = 60% от 80 руб. = $$0,6\cdot80 = 48$$ руб. за кг.

В августе = 48 руб. - 50% = $$48\cdot0,5 = 24$$ руб. за кг.

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия.

Определите по графику, на сколько градусов Цельсия нагрелся двигатель со конца второй по конец седьмой минуты разогрева.

Ответ: 40
Скрыть

Из графика видно, что температура двигателя на второй минуте равна 40 °C, а на седьмой  — 80 °C. Следовательно, двигатель со второй по седьмую минуту разогрелся на $$80 − 40 = 40$$ °C.

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: 4
Скрыть

Посчитаем по формуле Пика:

$$​S=A+\frac{B}{2}−1$$​, где $$А$$ - количество точек внутри многоугольника, $$B$$ - количество точек на границах многоугольника

$$​S=3+\frac{4}{2}-1=4$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На трех крючках в ряд висели три полотенца — красное, синее и зеленое. Их отправили в стирку, а потом снова повесили на те же крючки в случайном порядке. Найдите вероятность того, что теперь полотенца висят не в том порядке, в каком висели раньше. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,83
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Всего возможных расположений: $$N=3!=1*2*3=6$$, 5 из них не соответствуют первоначальному расположению. Тогда не в том же порядке : $$P=\frac{5}{6}\approx 0,83$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\sin\frac{\pi x}{12}=0,5$$. В ответе укажите наименьший из тех корней, которые больше 4.
Ответ: 10
Скрыть

$$\sin\frac{\pi x}{12}=0,5\left[\begin{matrix} \frac{\pi x}{12}=\frac{\pi}{6}+2\pi n\\ \frac{\pi x}{12}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=2+24n\\ x=10+24n, n\in Z \end{matrix}\right.$$

$$2+24n>4\Rightarrow 24n>2\Rightarrow n>\frac{1}{12}\Rightarrow n=1: 2+24\cdot1=26$$

$$10+24n>4\Rightarrow 24n>-6\Rightarrow n>-\frac{1}{4}\Rightarrow n=0: 10+24\cdot0=10$$

Наименьший 10.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В одну и ту же окружность вписаны квадрат ABCD и треугольник BEC, у которого $$\angle BEC$$ тупой. Найдите величину этого угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 135
Скрыть

Равные хорды отсекают равные дуги. Тогда получим $$4$$ дуги по $$90^{\circ}$$: $$\angle BEC$$ опирается на $$3$$ дуги, то есть $$270^{\circ}$$. При этом угол вписанный $$\Rightarrow \angle BEC=\frac{270^{\circ}}{2}=135^{\circ}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции $$y=f(x)$$. Найдите $$f(2)$$.

Ответ: -0,5
Скрыть

Производная первообразной равна $$y=f(x)$$

По геометрическому смыслу производной ​$$\tg\beta=f(2)​$$ (значение производной $$f'(x_0)$$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$)

$$\tg\alpha=\frac{1}{2}=0,5$$​

​$$\tg\beta=−0,5$$, так как углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ смежные

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 162
Скрыть

Найдем площадь поверхности этого многогранника как сумму площадей поверхности большого (6х6х2) и малого (3х3х4) прямоугольных параллелепипедов и вычтем дважды площадь поверхности соприкосновения граней этих параллелепипедов, которая имеет размер 3х4, получим:

$$S=2\cdot(6\cdot6+6\cdot2+2\cdot6)+2\cdot(3\cdot3+3\cdot4+4\cdot3)-2\cdot3\cdot4$$

$$S=120+66-24=162$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{49\cdot\sqrt[9]{b}}}{b\cdot\sqrt[18]{b}}$$, если $$b = 2$$
Ответ: 3,5
Скрыть

$$\frac{\sqrt{49\cdot\sqrt[9]{b}}}{b\cdot\sqrt[18]{b}}=\frac{7\sqrt{\sqrt[9]{b}}}{b\sqrt[18]{b}}=\frac{7\sqrt[18]{b}}{b\sqrt[18]{b}}=\frac{7}{b}=\frac{7}{2}=3,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $$v = 2,5$$ м/с под острым углом а к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $$u=\frac{m}{m+M}v\cos\alpha$$ (м/с), где $$m = 75$$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $$M = 300$$ кг— масса платформы. Под каким максимальным углом $$\alpha$$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Ответ: 60
Скрыть

$$\frac{mv\cos\alpha}{m+M}\geq u$$

$$75\cdot4\cos\alpha\geq0,4(75 + 300)$$

$$300\cos\alpha\geq150$$

$$\cos\alpha\geq\frac{150}{300} $$

$$\cos\alpha\geq\frac{1}{2}$$

$$-60^{\circ}\leq\alpha\leq60^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 160 метров, второй — длиной 90 метров. Сначала второй сухогруз отстаёт от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 9 минут после этого уже первый сухогруз отстаёт от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 700 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Ответ: 9
Скрыть Представим, что скорость 1-го сухогруза 0 км/ч, он не двигается.

2-й сухогруз прошёл расстояние за 9 минут:

$$400 + 160 + 700 + 90 = 1350$$ м

Скорость 2-го сухогруза больше скорости 1-го сухогруза на:

$$\frac{1350}{9}=150$$ м/минуту

Переведём в км/ч:

$$150\cdot\frac{60}{1000}=9$$ км/ч
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=\log_{\sqrt{3}}(x-4\sqrt{x-2}+5)$$ на отрезке [5;10].
Ответ: 2
Скрыть

Находим произвоную и приравниваем ее к нулю

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{x-2}}}{\ln(\sqrt{3})(x-4\sqrt{x-2}+5)}=0$$

$$\sqrt{x-2}=2$$

$$x=6​$$

и подставляем в функцию

$$​y(6)=\log_{\sqrt{3}}(3)=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

А) Решите уравнение $$1+\frac{1}{3^{\ctg x}}=4\cdot9^{\frac{\cos(x-\frac{\pi}{4})}{\sqrt{2}\sin x}}$$

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\pi]$$

Ответ: А)$$\frac{3\pi}{4}+\pi n,n\in Z$$ Б)$$-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре ВВ1 отмечена точка Q такая, что BQ:QB1=2:7. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки А и Q параллельно прямой BD. Эта плоскость пересекает ребро СС1 в точке М.

А) Докажите, что С1М:СС1=5:9

Б) Найдите площадь сечения, если АВ=$$3\sqrt{2}$$, АА1=18.

Ответ: 30
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{\log_6(x^2+\frac{1}{x^2}-10)}{\log_6(x+\frac{1}{x})}\geq1$$
Ответ: $$(0;2-\sqrt{3}],[2+\sqrt{3};\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 10, ВС = 12. На стороне АВ отметили точки М1 и М1 так, что АМ1 < АМ2. Через точки М1 и М2 провели прямые, перпендикулярные стороне АВ и отсекающие от треугольника АВС пятиугольник, в который можно вписать окружность.

а) Докажите, что АМ1 : ВМ2 = 1:3.

б) Найдите площадь данного пятиугольника.

Ответ: $$\frac{282}{7}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Строительство нового завода стоит 340 млн рублей. Затраты на производство $$x$$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $$0,3x^2+x+12$$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $$p$$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $$px-(0,3x^2+x+12)$$. Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы годовая прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции $$p = 14$$ тыс. рублей за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$(\ctg x+3)^2+2a^3+3a^2=(a^2+2a+3)(\ctg x+3)$$

имеет ровно 2 решения на интервале $$(-\frac{\pi}{2};\pi)$$

Ответ: $$\left\{-1\right\},[\sqrt{3};3),(3;\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Ученик решил построить таблицу умножения всех целых неотрицательных чисел меньших некоторого натурального числа $$n$$. При этом он все время делал одну и ту же ошибку - вместо значения произведения записывал в таблицу остаток от деления этого произведения на число $$n$$. Например, таблица для $$n = 4$$ приведена на рисунке.

А) Может ли на диагонали такой таблицы стоять ровно 9 нулей?

Б) Может ли общее количество нулей (не считая тех, которые находятся в первой строке или первом столбце - шапке таблицы) в таблице быть равным 41?

В) Найдите максимальное количество нулей в одной строке таблицы (исключая строку со всеми нулями), если $$n$$ - нечетное и $$15\leq n\leq35$$.

Ответ: А) да, n=81, Б) нет, В) 11, n=33