396 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.
Больше разборов на моем ютуб-канале
Задание 1
$$(x+1)^2+(1-\frac{1}{x})^2=2(\frac{1}{x}-x)=0\Leftrightarrow (x^2+2x+1)+(1-\frac{2}{x}+$$
$$\frac{1}{x^2})-\frac{2}{x}+2x=0$$ $$(*)$$
Удачно применяя законы сложения и умножения рациональных чисел преобразуем равенство $$(*)$$ в уравнение $$(x^2-2+\frac{1}{x^2})+(4x-\frac{4}{x})x+4=0,$$ которое решим методом введения новой переменной.
Пусть $$x-\frac{1}{x}=t.$$ Тогда:$$ t^2 + 4t + 4 = 0\Leftrightarrow (t + 2)^2 = 0\Leftrightarrow t = -2.$$
Перейдем к переменной $$х.$$
$$x-\frac{1}{x}=-2.$$ $$x^2+2x-1=0.$$ $$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{1+1}=-1\pm\sqrt{2}$$
Очевидно, что $$(-1 + -\sqrt{2})\cdot(-1 - \sqrt{2}) = 1 - 2 = -1.$$
Задание 2
Пусть $$P(B) = 0,35$$ - вероятность, что Вера занята
Пусть $$P(A) = 0,35$$ - вероятность, что Анна занята
Тогда $$P(¬B) = 1 - P(B) = 1-0,35 = 0,65$$ - вероятность, что Вера свободна
Тогда $$P(¬А) = 1 - P(А) = 1-0,35 = 0,65$$ - вероятность, что Анна свободна
И $$P(¬B⋂¬А) = 0,4$$ - Вероятность события, что одновременно свободна Вера и Анна
Тогда вероятность, что свободна одна из официанток Вера или Анна:
$$P(¬B⋃¬А) = P(¬B) + P(¬А) - P(¬B⋂¬А) = 0,65 +0,65 - 0,4 = 0,9$$
Тогда вероятность что обе заняты:
$$P(B⋂A) = 1 - P(¬B⋃¬А) = 1 - 0,9 = 0,1$$
Задание 3
Cумма углов в выпуклом четырёхугольнике DOEC равна 360°, следовательно,
$$\angle DOE=360^{\circ}-\angle CDO-\angle CEO-\angle C=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-$$
$$-(180^{\circ}-58^{\circ}-72^{\circ})=130^{\circ}$$
Задание 4
$$\sqrt{\frac{7-4\sqrt{3}}{5-2\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{6-4\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}}}-4\sqrt{2}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-2)^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}}-\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}}-4\sqrt{2}=$$
$$=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-4\sqrt{2}=$$
$$=(2-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(2-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-4\sqrt{2}=$$
$$=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}-3-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+\sqrt{6}-2-4\sqrt{2}=-5$$
Задание 5
Сместим "вдавленную" часть параллельным переносом граней как показано на рисунке.
Получим параллелепипед с измерениями $$5, 4$$ и $$4$$
$$S=(5\cdot4+5\cdot4+4\cdot5)\cdot2=56\cdot2=112$$
Задание 6
Учтём, что $$x'(t)=v(t)$$
Получим:
$$x'(t)=\frac{1}{2}\cdot2t+6=14\Leftrightarrow t+6=14\Leftrightarrow t=8$$
Задание 7
$$qvB\sin\alpha\geq2\cdot10^{-8}$$
$$2\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 4\cdot 10^{-3}\sin\alpha\geq 2\cdot 10^{-8}$$
$$8\cdot5\cdot10^{-1}\sin\alpha\geq2$$
$$4\sin\alpha\geq2$$
$$\sin\alpha\geq\frac{2}{4}$$
$$\sin\alpha\geq\frac{1}{2}$$
$$30\leq\alpha\leq150$$
наименьший угол $$30^{0}$$
Задание 8
переводим:
а) мин в часы: $$20 мин = \frac{20}{60} = 1 час; 36 мин =\frac{36}{60}=\frac{3}{5} час;$$
б) десятичную дробь разницы скоростей в обыкновенную $$0,5 км/час = \frac{1}{2} км/час$$
$$x$$ час - время первого;
$$x - (\frac{1}{3}) = \frac{3x-1}{3}$$ (час) - время второго;
$$\frac{12}{\frac{3x-1}{3}} = \frac{36}{3x-1}$$ (км/час) - скорость второго $$(x\neq\frac{1}{3});$$
$$x - (\frac{3}{5}) = \frac{5x-3}{5}$$ (час) - время третьего;
$$\frac{12}{\frac{5x-3}{5}} = \frac{60}{5x-3}$$ (км/час) - скорость третьего $$(x\neq\frac{3}{5});$$
$$\frac{60}{5x-3} - \frac{36}{3x-1} = \frac{1}{2}$$ - разница скоростей по условию;
$$120(3x-1) - 72(5x-3) = (5x-3)\cdot(3x-1)$$ - привели к общему знаменателю и избавились от него;
$$360x-120-360x+216=15x^2-9x-5x+3$$ - раскрыли скобки;
$$15x^2 - 14x - 93 = 0$$ - после приведения подобных членов получили квадратное уравнение;
$$D= 14^2+4\cdot15\cdot93=196+5580=5576; D>0,$$ продолжаем решение
$$x_1 = \frac{14+\sqrt{D}}{2\cdot15} = \frac{14+\sqrt{5576}}{30} = \frac{14+76}{30} = 3$$ (час)
$$x_2 = (14-76)\cdot30$$ не берем, так как отрицательное время не имеет смысла;
$$\frac{12}{3} = 4$$ (км/час) - скорость первого пешехода;
Задание 9
График проходит через $$(4;-1)$$ и $$(2;-3)$$
Получим: $$\left\{\begin{matrix} -1=\frac{1}{4+a}+c\\ -3=\frac{1}{2+a}+c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -c-1=\frac{1}{4+a}\\ -c-3=\frac{1}{2+a} \end{matrix}\right.$$
Вычтем из второго уравнения первое:
$$-2=\frac{1}{2+a}-\frac{1}{4+a}\Leftrightarrow -2=\frac{4+a-2-a}{(4+a)(2+a)}$$
$$-2(8+6a+a^2)=2\Leftrightarrow a^2+6a+8=-1\Leftrightarrow a^2+6a+9=0$$
$$\Rightarrow a=-3\Rightarrow -c-1=\frac{1}{4-3}\Rightarrow -c=1+1\Rightarrow c=-2$$
Задание 10
$$C^4_5=C^1_5=5$$ - 4ыхзначных чисел: 1234, 2345, 3451, 4512, 5123.
Среди них одно число 4512 делится на 3 (сумма цифр 12). Тогда:
$$P(A)=\frac{1}{5}=0,2$$
Задание 11
$$y'=1-\frac{16}{x^2}=0\Rightarrow \frac{x^2-16}{x^2}=0\Rightarrow x=\pm4$$
На отрезке $$[1;7]$$ имеем точку минимума, т.е. $$y_{min}=y(4)=4+\frac{16}{4}=8$$
Задание 12
Задание 13
Задание 15
Задание 16
Задание 18
В десятичной записи числа $$a>1$$ только чередующиеся единицы и нули: $$a=1010... .$$
А) Может ли это число быть квадратом натурального числа?
Б) Какие числа такого вида будут простыми?
В) Сколько единиц в записи этого числа, если оно делится на 13?