Перейти к основному содержанию

396 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 396 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №396 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$(x+1)^2+(1-\frac{1}{x})^2=2(\frac{1}{x}-x).$$ В ответе укажите произведение корней этого уравнения.
Ответ: -1
Скрыть

$$(x+1)^2+(1-\frac{1}{x})^2=2(\frac{1}{x}-x)=0\Leftrightarrow (x^2+2x+1)+(1-\frac{2}{x}+$$

$$\frac{1}{x^2})-\frac{2}{x}+2x=0$$ $$(*)$$

Удачно применяя законы сложения и умножения рациональных чисел преобразуем равенство $$(*)$$ в уравнение $$(x^2-2+\frac{1}{x^2})+(4x-\frac{4}{x})x+4=0,$$ которое решим методом введения новой переменной.

Пусть $$x-\frac{1}{x}=t.$$ Тогда:$$ t^2 + 4t + 4 = 0\Leftrightarrow (t + 2)^2 = 0\Leftrightarrow t = -2.$$

Перейдем к переменной $$х.$$

$$x-\frac{1}{x}=-2.$$ $$x^2+2x-1=0.$$ $$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{1+1}=-1\pm\sqrt{2}$$

Очевидно, что $$(-1 + -\sqrt{2})\cdot(-1 - \sqrt{2}) = 1 - 2 = -1.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В кафе работают две официантки — Вера и Анна. Вероятность того, что Вера занята обслуживанием зала, составляет 0,35. Вероятность того, что Анна занята обслуживанием зала, тоже составляет 0,35 Вероятность того, что обе свободны одновременно, составляет 0,4. Найдите вероятность того, что и Вера и Анна заняты одновременно.
Ответ: 0,1
Скрыть

Пусть $$P(B) = 0,35$$ - вероятность, что Вера занята

Пусть $$P(A) = 0,35$$ - вероятность, что Анна занята

Тогда $$P(¬B) = 1 - P(B) = 1-0,35 = 0,65$$ - вероятность, что Вера свободна

Тогда $$P(¬А) = 1 - P(А) = 1-0,35 = 0,65$$ - вероятность, что Анна свободна

И $$P(¬B⋂¬А) = 0,4$$ - Вероятность события, что одновременно свободна Вера и Анна

Тогда вероятность, что свободна одна из официанток Вера или Анна:

$$P(¬B⋃¬А) = P(¬B) + P(¬А) - P(¬B⋂¬А) = 0,65 +0,65 - 0,4 = 0,9$$

Тогда вероятность что обе заняты:

$$P(B⋂A) = 1 - P(¬B⋃¬А) = 1 - 0,9 = 0,1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 130
Скрыть

Cумма углов в выпуклом четырёхугольнике DOEC равна 360°, следовательно,

$$\angle DOE=360^{\circ}-\angle CDO-\angle CEO-\angle C=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-$$

$$-(180^{\circ}-58^{\circ}-72^{\circ})=130^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\sqrt{\frac{7-4\sqrt{3}}{5-2\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{6-4\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}}}-4\sqrt{2}.$$
Ответ: -5
Скрыть

$$\sqrt{\frac{7-4\sqrt{3}}{5-2\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{6-4\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}}}-4\sqrt{2}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-2)^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}}-\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}}-4\sqrt{2}=$$

$$=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-4\sqrt{2}=$$

$$=(2-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(2-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-4\sqrt{2}=$$

$$=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}-3-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+\sqrt{6}-2-4\sqrt{2}=-5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 112
Скрыть

Сместим "вдавленную" часть параллельным переносом граней как показано на рисунке.

Получим параллелепипед с измерениями $$5, 4$$ и $$4$$

$$S=(5\cdot4+5\cdot4+4\cdot5)\cdot2=56\cdot2=112$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=\frac{1}{2}t^2+6t+19,$$ где x ‐ расстояние от точки отсчета в метрах, t ‐ время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 14 м/с?
Ответ: 8
Скрыть

Учтём, что $$x'(t)=v(t)$$

Получим:

$$x'(t)=\frac{1}{2}\cdot2t+6=14\Leftrightarrow t+6=14\Leftrightarrow t=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом $$q=2\cdot10^{-6}$$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $$v = 5$$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол $$\alpha$$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $$B=4\cdot10^{-3}$$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $$F_л=qvB\sin\alpha$$ (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $$\alpha\in [0^{\circ};180^{\circ}]$$ шарик оторвется от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $$F_л,$$ была не менее чем $$2\cdot10^{-8}$$ Н? Ответ дайте в градусах.
Ответ: 30
Скрыть

$$qvB\sin\alpha\geq2\cdot10^{-8}$$

$$2\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 4\cdot 10^{-3}\sin\alpha\geq 2\cdot 10^{-8}$$

$$8\cdot5\cdot10^{-1}\sin\alpha\geq2$$

$$4\sin\alpha\geq2$$

$$\sin\alpha\geq\frac{2}{4}$$

$$\sin\alpha\geq\frac{1}{2}$$

$$30\leq\alpha\leq150$$

наименьший угол $$30^{0}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Расстояние между двумя посёлками 12 км первый пешеход проходит на 20 мин дольше второго пешехода и на 36 мин дольше третьего. Скорость третьего пешехода на 0,5 км/ч больше скорости второго пешехода. Найти скорость первого пешехода в км/ч.
Ответ: 4
Скрыть

переводим:

а) мин в часы: $$20 мин = \frac{20}{60} = 1 час; 36 мин =\frac{36}{60}=\frac{3}{5} час;$$

б) десятичную дробь разницы скоростей в обыкновенную $$0,5 км/час = \frac{1}{2} км/час$$

$$x$$ час - время первого;

$$x - (\frac{1}{3}) = \frac{3x-1}{3}$$ (час) - время второго;

$$\frac{12}{\frac{3x-1}{3}} = \frac{36}{3x-1}$$ (км/час) - скорость второго $$(x\neq\frac{1}{3});$$

$$x - (\frac{3}{5}) = \frac{5x-3}{5}$$ (час) - время третьего;

$$\frac{12}{\frac{5x-3}{5}} = \frac{60}{5x-3}$$ (км/час) - скорость третьего $$(x\neq\frac{3}{5});$$

$$\frac{60}{5x-3} - \frac{36}{3x-1} = \frac{1}{2}$$ - разница скоростей по условию;

$$120(3x-1) - 72(5x-3) = (5x-3)\cdot(3x-1)$$ - привели к общему знаменателю и избавились от него;

$$360x-120-360x+216=15x^2-9x-5x+3$$ - раскрыли скобки;

$$15x^2 - 14x - 93 = 0$$ - после приведения подобных членов получили квадратное уравнение;

$$D= 14^2+4\cdot15\cdot93=196+5580=5576; D>0,$$ продолжаем решение

$$x_1 = \frac{14+\sqrt{D}}{2\cdot15} = \frac{14+\sqrt{5576}}{30} = \frac{14+76}{30} = 3$$ (час)

$$x_2 = (14-76)\cdot30$$ не берем, так как отрицательное время не имеет смысла;

$$\frac{12}{3} = 4$$ (км/час) - скорость первого пешехода;

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображен график функции $$y=\frac{1}{x+a}+c,$$ где $$a,c$$ ‐ целые числа. Найдите $$c.$$

Ответ: -2
Скрыть

График проходит через $$(4;-1)$$ и $$(2;-3)$$

Получим: $$\left\{\begin{matrix} -1=\frac{1}{4+a}+c\\ -3=\frac{1}{2+a}+c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -c-1=\frac{1}{4+a}\\ -c-3=\frac{1}{2+a} \end{matrix}\right.$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$-2=\frac{1}{2+a}-\frac{1}{4+a}\Leftrightarrow -2=\frac{4+a-2-a}{(4+a)(2+a)}$$

$$-2(8+6a+a^2)=2\Leftrightarrow a^2+6a+8=-1\Leftrightarrow a^2+6a+9=0$$

$$\Rightarrow a=-3\Rightarrow -c-1=\frac{1}{4-3}\Rightarrow -c=1+1\Rightarrow c=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В коробке 5 шариков, пронумерованных цифрами от 1 до 5. Один за другим по очереди вынимают 4 шарика, записывая каждый раз цифру. Получается четырёхзначное число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?
Ответ: 0,2
Скрыть

$$C^4_5=C^1_5=5$$ - 4ыхзначных чисел: 1234, 2345, 3451, 4512, 5123.

Среди них одно число 4512 делится на 3 (сумма цифр 12). Тогда:

$$P(A)=\frac{1}{5}=0,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=x+\frac{16}{x}$$ на отрезке $$[1;7].$$

Ответ: 8
Скрыть

$$y'=1-\frac{16}{x^2}=0\Rightarrow \frac{x^2-16}{x^2}=0\Rightarrow x=\pm4$$

На отрезке $$[1;7]$$ имеем точку минимума, т.е. $$y_{min}=y(4)=4+\frac{16}{4}=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$\cos x+2\sin(2x+\frac{\pi}{6})+1=\sqrt{3}\sin 2x$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[4\pi;\frac{11\pi}{2}]$$

Ответ: а)$$\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z;$$ б)$$\frac{14\pi}{3};\frac{16\pi}{3};\frac{9\pi}{2};\frac{11\pi}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Основание ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси $$ОО_1$$ цилиндра ($$О_1$$ – центр верхнего основания цилиндра). Объем цилиндра равен $$450\pi,$$ объем пирамиды равен 50.

А) Докажите, что $$О_1S:SO=5:1$$

Б) Найдите расстояние между AS и CD, если диаметр основания цилиндра равен $$5\sqrt{2} .$$

Ответ: $$\frac{60}{13}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\frac{(|3x+2|-x-6)\cdot(\log_{\frac{1}{2}}(x+10)+3}{2^{x^2+2}-2^x}\geq0$$
Ответ: $$(-10;2]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

В сентябре планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 2,5% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по август каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года.

Чему равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты долга составит 7,74 млн рублей?

Ответ: 19,35
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу АВ опущена высота CН. В треугольнике ACН проведена биссектриса СЕ угла ACН.

А) Докажите, что треугольник ВСЕ – равнобедренный.

Б) Найдите ЕО, где О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, и известно, что АС=8, ВС=6.

Ответ: $$2\sqrt{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$\log_a\sqrt{10+3a^{2\cos x}}=2\cos x$$

имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$(0;\frac{1}{\sqrt{5}}],[\sqrt{5};\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

В десятичной записи числа $$a>1$$ только чередующиеся единицы и нули: $$a=1010... .$$

А) Может ли это число быть квадратом натурального числа?

Б) Какие числа такого вида будут простыми?

В) Сколько единиц в записи этого числа, если оно делится на 13?

Ответ: а) нет; б) 101; в) 3n