Перейти к основному содержанию

322 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.

Решаем 322 вариант Ларина ЕГЭ 2021 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №322 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Стрекоза и муха двигаются по прямой. Стрекоза догоняет муху, их скорости равны 1,2 м/с и 30 см/с. Через сколько секунд расстояние между насекомыми сократится с 6,5 м до 20 см?

Ответ: 7
Скрыть $$\triangle S=6,5-0,2=6,3$$ м - изменение расстояния $$\triangle V=1,2-0,3=0,9$$м/с - разность скоростей $$t=\frac{\triangle S}{\triangle V}=\frac{6,3}{0,9}=7$$ c
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике (см. рис.) показан процесс нагревания некоторого прибора. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения прибора, на оси ординат температура прибора в градусах Цельсия. 

Определите по рисунку, за сколько секунд прибор нагреется от $$30{}^\circ C$$ до $$80{}^\circ C$$

Ответ: 240
Скрыть $$30{}^\circ $$ на 2-ой минуте, $$80{}^\circ $$ на 6-ой минуте $$\to $$ за 4 минуты или 240 секунд
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $$\times$$ 1 см отмечены прямая АВ и точка С. Найдите расстояние в см от точки С до прямой АВ. В ответе записать найденное расстояние, умноженное на $$\sqrt{10}$$.

Ответ: 11
Скрыть

Построим треугольник CKM по целым клеткам. Найдем его площадь, вычитая из площади прямоугольника (внутри которого можно поместить данный треугольник) площади прямоугольных треугольников (площади отмечены на рисунке, как половина произведения катетов). То есть: $$3\cdot 5-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3-\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5=5,5$$

Учтем, что его площадь можно так же найти как половину произведения KM на высоту h(расстояние от C до KM). При этом KM найдем по теореме Пифагора $$KM=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$$. Тогда $$h=\frac{2\cdot 5,5}{\sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{10}}$$. В ответ укажем число, умноженное на $$\sqrt{10}$$, то есть 11

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На отрезке $$\left[-7;18\right]$$ числовой оси случайным образом отмечают одну точку. Найти вероятность того, что координата отмеченной точки будет больше $$-5$$, но меньше 9.

Ответ: 0,56
Скрыть Длина отрезка $$\left[-7;18\right]:18-\left(-7\right)=25$$. От -5 до 9: $$9-\left(-5\right)=14$$, тогда $$P\left(A\right)=\frac{14}{25}=0,56$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\left|x^2-8x+5\right|=2x$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший рациональный корень.

Ответ: 5
Скрыть $$\left|x^2-8x+5\right|=2x\to \left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x^2-8x+5=2x \\ x^2-8x+5=-2x \end{array} \right. \\ 2x\ge 0 \end{array} \right.\to$$ $$\to\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x^2-10x+5=0 \\ x^2-6x+5=0 \end{array} \right. \\ x\ge 0 \end{array} \to\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x=\frac{10\pm 4\sqrt{5}}{2} \\ x=5 \\ x=1 \end{array} \right. \\ x\ge 0 \end{array} \right.\right.\to x=5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике MNP известно, что $$MM_1$$ и $$PP_1$$ - медианы, $$MM_1=9\sqrt{3},PP_1=6,\angle MOP=150{}^\circ .$$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$MOP$$.

Ответ: 14
Скрыть По свойству медиан: $$MO=\frac{2}{3}\cdot 9\sqrt{3}=6\sqrt{3}$$ $$PP_1=\frac{2}{3}\cdot 6=4\to MP=\sqrt{MO^2+OP^2-2MO\cdot OP\cdot {\cos MOP\ }}=14$$ $$S_{MOP}=\frac{MO\cdot OP\cdot MP}{4R}\to R=\frac{6\sqrt{3}\cdot 4\cdot 14}{4\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 4\cdot \frac{1}{2}}=14$$ или $$R=\frac{MP}{2{\sin MOP\ }}=\frac{14}{2\cdot \frac{1}{2}}=14$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) до точки отсчета изменялось по закону: $$S\left(t\right)=5t^2-t^3+9t$$, где t - время в секундах, прошедшее от начала движения. Через сколько секунд после начала движения ускорение тела было равно 1 м/с$${}^{2}$$?

Ответ: 1,5
Скрыть $$S'\left(t\right)=V\left(t\right);V'\left(t\right)=a\left(t\right)\to S''\left(t\right)=a(t)$$ $${\left(5t^2-t^3+9t\right)}'=10t-3t^2+9;{\left(10t-3t^2+9\right)}'=10-6t$$ Тогда $$10-6t=1\to 6t=9\to t=1,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны отношения длин ребер: $$AB:AD:{AA}_1=16:15:34$$. Расстояние от центра грани $$ABB_1A_1$$ до вершины D равно $$34\sqrt{2}.$$ Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.

Ответ: 520
Скрыть $$BD_1=HM$$, где $$BH\bot AB$$, $$M$$ - середина $$DD_1$$ Пусть $$AB=16x\to AH=8x$$ $$MD=17x\to HD=\sqrt{{\left(8x\right)}^2+{\left(15x\right)}^2}=17x;$$ $$HM=\sqrt{{\left(17x\right)}^2+{\left(17x\right)}^2}=34\sqrt{2}\to \sqrt{578x^2}=\sqrt{1156\cdot 2}\to x=2 \to$$ $$\to AB=32;AD=30;AA_1=68.$$ Сумма длин: $$\left(32+30+68\right)\cdot 4=520$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{{{\sin }^3 \alpha \ }-{{\cos }^{{\rm 3}} \alpha \ }}{{\sin \alpha \ }-{\cos \alpha \ }}-\frac{{\cos \alpha \ }}{\sqrt{1+{{\cot }^{{\rm 2}} \alpha \ }}}-2{\tan \alpha \ }{\cot \alpha \ }$$, если известно, что $$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $$

Ответ: -1
Скрыть $$\frac{{{\sin }^3 \alpha \ }-{{\cos }^{{\rm 3}} \alpha \ }}{{\sin \alpha \ }-{\cos \alpha \ }}=\frac{({\sin \alpha \ }-{\cos \alpha \ })({{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }+{\sin \alpha \ }{\cos \alpha \ }+{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ })}{{\sin \alpha \ }-{\cos \alpha \ }}=1+{\sin \alpha \ }{\cos \alpha \ }$$ $$\sqrt{1+{{\cot }^{{\rm 2}} \alpha \ }}=\sqrt{\frac{1}{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}}=\frac{1}{\left|{\sin \alpha \ }\right|};\ {\tan \alpha \ }{\cot \alpha \ }=1$$ Получим: $$1+{\sin \alpha \ }{\cos \alpha \ }-{\cos \alpha \ }\left|{\sin \alpha \ }\right|-2$$. Так как $$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $$, то $${\sin \alpha \ }\ge 0\to \left|{\sin \alpha \ }\right|={\sin \alpha \ }\to $$ получим $$1-2=-1$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $$U=U_0{\sin (\omega t+\varphi )\ }$$, где t - время (в секундах), амплитуда напряжения $$U_0=2$$ В, частота $$\omega =\frac{2\pi }{3}$$, фаза $$\varphi =\frac{\pi }{12}$$. Датчик настроен так, что если напряжение U в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени, в процентах, на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ: 87,5
Скрыть $$1=2{\sin \left(\frac{2\pi }{3}t+\frac{\pi }{12}\right)\to \frac{2\pi }{3}t+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\ n\in Z\ }$$. Учтем, что рассматривается первая секунда $$\to \frac{2}{3}t+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}\to \frac{2}{3}t=\frac{1}{12}\to t=\frac{1}{8}$$. То есть с момента 0,125 с будет гореть лампочка $$\to 87,5\%$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

На вагоноремонтном заводе в определенный срок должно быть отремонтировано 330 вагонов. Перевыполняя план ремонта в среднем на 3 вагона в неделю, на заводе уже за две недели до срока отремонтировали 297 вагонов. Сколько вагонов в неделю ремонтировали на заводе?

Ответ: 33
Скрыть Пусть срок $$x$$ недель, в неделю по $$y$$ вагонов $$\to \ \left\{ \begin{array}{c} xy=330 \\ \left(y+3\right)\left(x-2\right)=297 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} xy=330 \\ xy-2y+3x-6=297 \end{array} \right.$$ Вычтем из первого второе: $$2y-3x=27\to y=\frac{27+3x}{2}$$. Подставим в первое: $$\left(27+3x\right)x=660\to 3x^2+27x-660=0\to $$ $$x^2+9x-220=0\to \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2=-9 \\ x_1x_2=-220 \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} x_1=-20 \\ x_2=11 \end{array} \right.\right.\to $$ $$y=\frac{27+33}{2}=30$$ вагонов - было, а 33 ремонтировали.
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку минимума функции $$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x$$
Ответ: -3
Скрыть $$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x\to g\left(x\right)=\frac{2-x}{x+4}+6x$$ при $$x\in \left(-4;2\right)\ (M(x))$$ $$g'\left(x\right)=\frac{{\left(2-x\right)}'\left(x+4\right)-(x+4)'(2-x)}{{\left(x+4\right)}^2}+6=\frac{-x-4-2+x}{{\left(x+4\right)}^2}+6=0$$ $$\to {\left(x+4\right)}^2=1\to \left[ \begin{array}{c} x=-5\ \\ x=-3 \end{array} \right.$$, где $$x=-5$$ не принадлежит $$M\left(x\right)\to x=-3-min$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $${\cos 2x\ }-{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }\cdot {\cos x\ }+1={{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 3}} x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$\left(-arctg2;\pi \right)$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все ребра равны 1.

а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости $$BED_1$$

б) Найдите расстояние между прямыми $$ED_1$$ и $$FE_1$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$2\cdot {\left(\frac{7^x+7^{-x}}{2}\right)}^2-7\cdot \frac{7^x+7^{-x}}{2}+3\le 0$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся его сторон ВС, АС и АВ в точках Р, Q, R соответственно.

Известны длины катетов: $$AC=4$$, $$BC=3$$.

а) Доказать, что $$AO\cdot BO\cdot CO=10$$

б) Найдите площадь треугольника PQR

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Банк предоставляет кредит сроком на 10 лет под 19% годовых на следующих условиях: ежегодно заемщик возвращает банку 19% от непогашенной части кредита и 1/10 суммы кредита. Так, в первый год, заемщик выплачивает 1/10 суммы кредита и 19% от всей суммы кредита, во второй год заемщик выплачивает 1/10 суммы кредита и 19% от 9/10 суммы кредита и т.д. Во сколько раз сумма, которую выплатит банку заемщик, будет больше суммы кредита, если заемщик не воспользуется досрочным погашением кредита?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых неравенство $${{\sin }^{{\rm 4}} x\ }+{{\cos }^{{\rm 4}} x\ }>a\cdot {\sin x\ }\cdot {\cos x\ }$$ выполнено при любом значении $$x$$.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма всех записанных на доске чисел равна 1135.

а) Может ли на доске быть ровно 31 четное число?

б) Могут ли ровно семь чисел на доске оканчиваться на 7?

в) Какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

Ответ: