385 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.

$$x^2+\log_7 x+\log_7\frac{7}{x}=50\Leftrightarrow x^2+\log_7 x+\log_7 7-\log_7 x=50\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2+1=50\\ x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2=49\\ x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x=\pm7\\ x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=7$$

На 1 месте может быть любая цифра от 1 до 9, то есть 9 вариантов.

На 2, 3, 4 и 5 месте - любая от 0 до 9, то есть по 10 вариантов.

Всего $$9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=90000$$ вариантов.

На каждом месте может быть одна из 5 цифр - 1,3,5,7,9.

Всего $$5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5=3125$$ вариантов.

$$P(A)=\frac{3125}{90000}\approx0,0347$$

Так как CH - высота, то треугольник СНВ - прямоугольный, в нём СВ - гипотенуза, ВН и СН - катеты.

Найдем катет СН по теореме Пифагора:

$$СВ^2=ВН^2+СН^2$$

$$289=225+СН^2$$

$$СН^2=64$$

$$СН=8$$

$$\ctg B=\frac{ВН}{СН}=\frac{15}{8}=1,875$$

Так как треугольник АВС - прямоугольный, то $$\angle А=90-\angle В$$:

$$\tg A=\tg (90-\angle В)=\ctg B=1,875$$

$$\frac{3\cos a-2\sin a}{4\sin a+5\cos a}=\frac{3\cdot\frac{\cos a}{\sin a}-2}{4+5\cdot\frac{\cos a}{\sin a}}=\frac{3\cdot(-3)-2}{4+5\cdot(-3)}=\frac{-9-2}{4-15}=1$$

$$\ctg a=-3\Leftrightarrow \frac{\cos a}{\sin a}=-3$$

Пусть $$AB=x,$$ тогда $$BC=\frac{AB}{\tg 30}=\sqrt{3}x.$$

$$AC_1=\sqrt{AA_1^2+AB^2+BC^2}\Rightarrow 16\cdot3=4\cdot3+x^2+3x^2\Rightarrow 4x^2=36\Rightarrow x^2=9\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x=3$$

$$V=x\cdot x\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=6\cdot x^2=54$$

Чтобы прямая $$y=8x+11$$ была параллельна касательной к графику функции, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты совпадали, то есть были бы равны 8 (множитель перед x). В свою очередь угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной функции в соответствующей точке. То есть, чтобы найти абсциссу точки касания, необходимо вычислить производную от функции и приравнять ее 8:

$$y'=2x+7=8$$

$$2x=1$$

$$x=0,5$$

Выразим квадрат синуса из формулы энергии:

$$\sin^2 a=\frac{Q}{mv^2}$$

Подставим сюда числовые величины, получим:

$$\sin^2 a=\frac{750}{10\cdot10^2}=\frac{3}{4}$$

откуда

$$\sin a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

В задаче спрашивают наименьший угол и в физике углы берутся из положительной области, поэтому имеем уравнение

$$\sin a=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a=\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=60^{\circ}$$

И, окончательно, угол $$2a=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ}.$$

В первый раз стрелки встретятся между 7 и 8 часами, второй раз — между 8 и 9 часами, ..., шестой — между 12 и 13 часами. то есть ровно в 13 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 5 часов 45 минут, что составляет 345 минут.

Прямая проходит через $$(-2;-3)$$ и $$(0;5).$$ Получим:

$$\left\{\begin{matrix} -3=-2k+b\\ 5=0k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -2k=-8\\ b=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=4\\ b=5 \end{matrix}\right.$$

Гипербола проходит через $$(-2;-3).$$ Тогда:

$$-3=\frac{k}{-2}\Rightarrow k=6.$$ Получим $$y=\frac{6}{x}.$$

$$\frac{6}{x}=4x+5\Leftrightarrow 4x^2+5x-6=0$$

$$D=25+96=121$$

$$x_1=\frac{-5+11}{2\cdot4}=\frac{1,5}{2}=0,75$$

$$x_2=\frac{-5-11}{2\cdot4}=-2$$

Событие А — изделие прошло упрощенный контроль, Г1 – изделие удовлетворяет стандарту, Г2 – изделие бракованное.

$$Р(Г1)=0,95,Р(Г2)=0,05,Р(\frac{A}{Г1})=0,95,Р(\frac{A}{Г2})=0,06$$

$$Р(A)=Р(Г1)\cdot Р(\frac{A}{Г1})+Р(Г2)\cdot Р(\frac{A}{Г2})=0,95\cdot0.95+0,05\cdot0,06=$$

$$=0,9025+0,003=0,9055$$

$$Р(\frac{Г1}{A})$$ – изделие удовлетворяет стандарту, если оно прошло упрощенный контроль.

По формуле Бейеса:

$$Р(\frac{Г1}{A})=\frac{0,95\cdot0.95}{0,9055}\approx0,997$$

$$y=(x+8)^2\cdot е^{-x-3}$$

Найдём производную функции:

$$y'=((x+8)^2)'\cdot е^{-x-3}+(x+8)^2\cdot(e^{-x-3})'=2(x+8)\cdot e^{-x-3}+(x+8)^2\cdot(-e^{-x-3})=$$ $$=e^{-x-3}\cdot(2(x+8)-(x+8)^2)=e^{-x-3}\cdot(-x^2-14x-48)$$ 

Найдём нули производной:

$$e^{-x-3}\cdot(-x^2-14x-48)=0$$

$$e^{-x-3}>0$$ всегда

$$-x^2-14x-48=0$$

$$x^2+14+48=0$$

Через дискриминант находим корни уравнения:

$$x_1=-8$$

$$x_2=-6$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-8.$$